湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题含答案

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1．以下不同成对数据的散点图, 从左到右对应的样本相关系数分别是, 最小的是
A． B． C． D．
【答案】B
2．已知随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
3．已知等差数列中, , 其前项和为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】, 而, 则, .
4．苏轼, 字子瞻, 号东坡居士, 眉州眉山人, 北宋文学家､书法家､画家. 现有苏轼的4本不同诗集全部奖励给3名同学, 每人至少分得一本, 不同分配方案的种数为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】先将4本不同诗集分成3组, 每个人至少一本共有种分配方案.
5．某地天气预报: 下雨时预报下雨的概率为, 不下雨时预报下雨的概率为. 该地某季节下雨的概率为. 小明按“预报下雨则带伞”行事. 若某天小明带伞, 则实际下雨的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设事件为“实际下雨”, 事件为“预报下雨”, 则事件为“实际下雨且预报下雨”, , , 所以．
6．袋中装有2个红球和1个白球, 除颜色外完全相同, 从袋中有放回地依次取出个球, 定义数列为, 记为数列的前项和, 则的概率为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意说明只有两次摸到白球, 由于每次摸球的结果数之间没有影响, 摸到红球的概率是, 摸到白球的概率是.故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是．
7．已知函数的图象在点处的切线与直线平行, 设数列的前项和为, 则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵, ∴在点处的切线斜率为, 由条件知,
∴, ∴, ∴数列的前项和, ∴.
8．已知, , 若方程有三个不等的实根, 则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令, 则. 令, 则,
因此当或时, 单调递减, 当时, 单调递增.
当时, , 当时, , ,
因此要使得与的图象有三个交点, 的取值范围为.
二、多项选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分.
9．某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位: 小时）与语文作业中错别字个数（单位: 个）的关系, 随机抽取5位学生的数据如下表所示:
根据表中的数据计算得经验回归方程为, 下列结论正确的是
A．y与x负相关B．
C．当与时, 残差相等D．每增加小时,平均减少个
【答案】ABD
【详解】, , 知, 解得, 所以回归模型为, 故样本中心点为, A, B, D正确; 当时, 残差为, 当时, 残差为, C错.
10．下列结论正确的是
A. 随机变量, 则;
B. 某同学参加米达标训练, 次训练的成绩为:秒, 秒, 秒, 秒, 秒, 从这次训练的成绩中不放回任意抽取两次, 则两次抽取的成绩都比秒好的概率为;
C. 已知,,则是的充要条件;
D. 已知甲、乙两位选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率是, 乙获胜的概率是, 那么对甲而言“三局两胜” 比“五局三胜” 更有利.
【答案】ABC
【详解】对于A, , 则.
对于B, 次训练的成绩中比秒用时更少的有次, 概率为.
对于C, , 则,即事件与事件独立.
对于D, 甲赢的概率大于, 赛制越长对甲越有利.三局两胜: 甲获胜的情况为甲前两局全胜或甲前两局一胜一负第三局胜, 概率为. 五局三胜: 甲获胜的情况为前三局甲全胜, 前三局甲两胜一负第四局甲赢, 前四局甲两胜两负且第五局甲胜, 概率为.
11．已知随机变量的取值为不大于的正整数, 它的分布列为:
其中满足: , 且.
定义的生成函数, , .
若, , 则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】, A正确. ,
, B正确.,
, 又由, 可得, 则, 故C正确, D错误.
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分.
12．在的展开式中, 含项的系数为_______.
【答案】
【详解】.
13．现有道四选一的单选题, 小明对其中道题有思路, 道题没有思路. 有思路的题答对的概率为, 没有思路的题只好任意猜一个答案, 猜对答案的概率为. 小明从这道题中随机选择题, 他答对该题的概率为________.
【答案】
【详解】记事件小明选择的是有思路的题, 记事件答对该题,
则, , , ,
由全概率公式可得.
14．在平面直角坐标系中, 动点从出发, 每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动个单位长度, 移动秒后到达原点, 则不同的移动路径共有________条.
【答案】
【详解】 设在6秒内,向正北方向移动步, 正南方向移动步, 因为最后要回到原点, 所以向正东和正西移动的距离相等, 设为步, 由题意可得, 所以,
所以当时, , 此时共有种移动方法;
当时, , 此时共有种移动方法;
当时, , 此时共有种移动方法;
当时, （舍）;
综上, 一共有种移动方法.
四、解答题: 本题共5小题, 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
在二项式的展开式中:
(1)若展开式中各二项式系数的和是, 求展开式中的系数;
(2)若展开式中第项和第项的二项式系数相等, 求展开式中奇数项的二项式系数的和;
(3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大, 求展开式的所有项的系数的和.
【答案】(1) 112; (2); (3).
【详解】(1), 的通项为, 令, 得, 系数为.
(2)=, 得, 即, 共有项, 二项式系数和为, 其奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等, 都为.
(3), 令, 得, 即展开式的所有项的系数和为.
16．（15分）
记等比数列的前项和为, 已知, ,
(1)求的通项公式;
(2)求, 并判断是否成等差数列, 说明理由．
【答案】(1). (2), 是.
【详解】(1)设等比数列的公比为, 当时, , 所以,
, 解得.故的通项公式.
(2),
, ,
,
即, 所以, , 是等差数列.
17.（15分）
汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一, 源于战国时期的楚绣, 色彩浓艳、针法粗犷, 被誉为“荆楚艺术瑰宝, 针尖上的传奇”, 其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序. 已知某工艺师每道工序成功的概率分别为, , , 且相互独立, 当且仅当三道工序都成功, 该作品为优秀作品. 在某次汉绣比赛中, 该工艺师制作了件作品.
(1)求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率;
(2)求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值;
(3)若每件优秀作品得分, 不优秀作品扣分, 求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差.
【答案】(1); (2)分布列见解析, ; (3), .
【详解】(1)一件作品优秀的概率为.
(2)的所有可能取值为, , .
, , ,
, ,
X的分布列为:
(2)设该工艺师在本次比赛中得分为Y, 则,
由(1)知, , 则,
, 所以均值为, 方差为.
18.（17分）
已知
(1)求函数的极值;
(2)设,当时, 不等式恒成立, 求的最大值;
(3)若, 请判断集合与集合是否相等, 并证明.
【答案】(1)极小值为, 无极大值. (2)3. (3)相等.
【详解】(1)函数的定义域为,且 , 令, 解得. 当变化时, 的变化情况如下表所示:
因此当时, 有极小值, 并且极小值为, 无极大值.
(2)不等式化为, 所以对任意恒成立．
令, 则,
令,, 则, 所以函数在上单调递增．
又,, 方程在上存在唯一实根, 且．
当时, , 即, 当时, , 即,
所以函数在上单调递减, 在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是．
(3),下面进行证明: .
当时, ; 当时,; 当时, .所以.
设, 则.
当时, ,单调递减; 当时, ,单调递增.
所以, 所以.所以.
19.（17分）
某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异, 按性别分层随机抽样, 在全体学生中抽取100人进行调查, 设“学生报名篮球社团”, “学生为男生”, 据统计,, ．
(1)根据已知条件, 完成下列列联表, 并依据小概率值的独立性检验, 能否推断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？
(2)篮球社团的选拔设置了如下投篮测试规则: 测试活动不限时间, 不限次数, 测试多少轮由学生自行确定. 每轮均设置次投篮, 学生参与该轮测试, 则至少投一次篮, 一旦投中一球, 则其本轮测试结束, 投不中则继续投篮, 直到第次投完, 本轮测试结束．已知甲同学报名参加篮球社团, 假设甲每次投篮是否投中相互独立, 且每次投篮命中的概率均为．求甲在一轮测试中投篮次数的数学期望(用表示).
参考公式与数据: , 其中．
【答案】(1)有关. (2).
【详解】(1)因为, 所以报名参加篮球社团的人数为,
又因为, 所以报名参加篮球社团的男生人数为, 女生人数为,
又, 所以样本中男生人数为, 女生人数为50, 得到列联表为:
: 学生报名参加篮球社团与性别无关, : 学生报名参加篮球社团和性别有关.
则, 依据小概率值的独立性检验, 我们推断不成立, 即认为学生报名篮球社团与性别有关联.
(2)设甲完成一轮测试, 投篮数量为随机变量, 则的所有可能取值为,
其中, ,
所以.
,
以上两式错位相减得:
, 所以
.
1
2
0
1
2
3
4
单调递减
单调递增
性别
报名
男生
女生
合计
未报名篮球社团
报名篮球社团
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
男生
女生
合计
未报名篮球社团
20
35
55
报名篮球社团
30
15
45
合计
50
50
100