广东省广州市部分学校2025_2026学年高二数学下学期6月学情调研试题

这是一份广东省广州市部分学校2025_2026学年高二数学下学期6月学情调研试题，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知双曲线 等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．复数 的虚部为
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 的真子集个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3． 的展开式中 的系数为
A．80 B．60 C．40 D．20
4．从点 ， ， ， 中随机抽取 2 个点，恰有 1 个点在直线 上的概率为
A． B． C． D．
5．在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为 ，成本为 L，当要素供给函数为线
性函数 （ 且 a，b 均为常数）时，可得 ，这里记 b 为供给公差．当
时，供给公差为
A． B． C． D．
6．已知直线 与圆 有公共点，则该圆面积的最小值为
A． B． C． D．
7．已知定义在 上的函数 满足 ，且 在 上单调递增，
，则关于 x 的方程 的实数解的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
8．某博物馆有 A，B，C，D 四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻 6 次（某展厅可能未巡逻），每次只
访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天 A 展厅恰好被访问 2 次，则满足条件
的巡逻路线共有
A．270 条 B．360 条 C．402 条 D．480 条
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知双曲线 ： 的左焦点为 ，右顶点为 ，其右支上有一点 位于第一象
限， ， ， ，则
A．点 的坐标可表示为 B．
C． 的渐近线方程为 D．点 到 的右焦点的距离与 之差为
10．已知集合 ，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集 ， ，记事件 为“ 是
的真子集”，事件 为“子集 中恰有 2 个元素”，则
A． B． C． D．
11．已知函数 ，则下列说法正确的是
A．若 ，则函数 无极值点
B．若 ，则函数 恰有 1 个极值点
C．若 ，则曲线 存在 1 条斜率最小的切线
D．若 ，则曲线 恰有 2 条斜率为 0 的切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ______________．
13．在公比为整数的等比数列 中， ， ， 成等差数列，且 ，则 _____________
．
14．在三棱锥 中， ， ， ， ，若该三棱锥
的 4 个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，记时间为 ，刀具的厚度为 ，得到如
下数据：
时间 1 2 3 4 5 6
厚度 26.7 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3
关于 的经验回归方程为 ．
（1）现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中随机抽取两把，求这两把质量均较好
的概率；
（2）求 关于 的经验回归方程，并预测时间为 时刀具的厚度．
参考数据： ．
参考公式：对于经验回归方程 ， ， ．
16．（本小题满分 15 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 在区间 上的最小值；
（2）若 在 处取得极小值，求 的值．
17．（本小题满分 15 分）
某校对 200 名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计
得到下表．
学习成绩较好 学习成绩较差
心理情况较好 80 45
心理情况较差 15 60
（1）依据小概率值 的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关；
（2）从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 3 人，记这 3
人中心理情况较差的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
附： ， ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（本小题满分 17 分）
记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）证明： ．
19．（本小题满分 17 分）
在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 ： 的距离之比为 ，记点 的轨迹为
曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）点 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点．
（ⅰ）当 时，求 的方程；
（ⅱ）直线 与过点 且垂直于 的直线交于点 ，判断点 是否在定直线上，并说明理由．
高二学情调研
数学参考答案及解析
一、选择题
1．D 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C
二、选择题
9．ACD 10．ACD 11．ABD
三、填空题
12．0.15 13．18 14．
四、解答题
15．解：（1）抽到的两把刀具质量均较好的概率为 ． （3 分）
（2）由题得 ， ， （5 分）
， （7 分）
所以 ， （9 分）
所以 关于 的经验回归方程为 ， （11 分）
当 时， ，
故可预测时间为 时刀具的厚度为 ． （13 分）
16．解：（1）当 时， ， ，
则 ， （2 分）
令 ，得 或 ，
则
， （10 分）
.
则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增， （5 分）
所以 在区间 上的最小值为 ． （6 分）
（2）由题得 ， ，
因为 在 处取得极小值，
所以 ，解得 或 ． （8 分）
当 时， ，
令 ，得 或 ，
则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
此时 在 处取得极小值，符合题意； （11 分）
当 时， ，
令 ，得 或 ，
则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
此时 在 处取得极大值，在 处取得极小值，不符合题意． （14 分）
综上， ． （15 分）
17．解：（1）零假设 ：学生的学习成绩与心理情况无关，
， （3 分）
所以依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此
推断犯错误的概率不大于 ． （5 分）
（2）由题可得抽取的 7 人中，心理情况较好的人数为 ，
心理情况较差的人数为 ， （8 分）
则 的可能取值为 ， ， ， ，
，
，
，
， （12 分）
所以 的分布列为：
则 ． （15 分）
18．解：（1）因为 ， ，
所以当 时， ，
得 ； （2 分）
当 时， ，
得 ． （4 分）
（2）因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
则 ． （6 分）
当 时， ； （7 分）
当 时 ， ，
（8 分）
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增， （10 分）
所以由 ，
得 ，
故 ， ，
则 ， ， （12 分）
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减， （14 分）
所以由 ，
得 ， ，
则 ，
则 ，
故 ， ． （16 分）
综上， ． （17 分）
19．解：（1）设 ，
由题得 ，
即 ， （2 分）
整理得 ，
所以 的方程为 ． （4 分）
（2）（ⅰ）由题得 ， （5 分）
当 的斜率为 时，可取 ， ，
则 ，符合题意，
此时 的方程为 ； （6 分）
当 的斜率不为 时，设 ： ， ， ，
联立 ，
得 ，
则 ，
， ． （8 分）
，
，
所以 ，
即 ，不成立． （10 分）
综上， 的方程为 ． （11 分）
（ⅱ）假设点 在定直线上，
由椭圆的对称性可知该定直线必然与 轴垂直． （12 分）
由题可知 的斜率不为 ，且直线 ： ，
直线 ： ， （14 分）
联立 ，
得
，
所以点 在定直线 上． （17 分）