（中考真题卷）2026年四川巴中市中考真题数学试卷及答案

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1．（4分）下列实数中最大的是（ ）
A．πB．−2C．﹣1D．0
2．（4分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．3a+2b＝5ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
4．（4分）一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（ ）
A．12B．13C．23D．34
5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点P′的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）
6．（4分）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）函数y＝kx﹣k与y=kx（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则可列方程为（ ）
A．1000x=5502x−4B．10002x−4=550x
C．1000x=5502x+4D．10002x+4=550x
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，以点B为圆心任意长为半径画弧分别交BC、BA于M、N两点，分别以点M、N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点F．则△ABF的面积为（ ）
A．103B．253C．403D．653
10．（4分）关于二次函数y=14x2−x，下列说法正确的个数是（ ）
①它的图象经过第一、二、三象限；
②当x＞3时，y随x的增大而增大；
③它的图象可由y=14x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到；
④直线y＝kx+1（k为常数）与它的图象一定有两个交点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）(5+1)(5−1)= ．
12．（4分）代数式1x−3有意义时，x的取值范围是 ．
13．（4分）如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC，∠OAB＝60°，则∠ABC的度数为 ．
14．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，则x12+x22的最小值是 ．
15．（4分）如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点（不与端点重合），过点D作DG⊥AB于点G．下列说法正确的有 ．（填写序号）
①0＜DG＜1；
②S△ADG＞S△BDG；
③设AG＝x，则△ADG的面积S是关于x的二次函数；
④仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分）
16．（14分）（1）计算：(2026−π)0−12+6sin60°−|1−3|；
（2）求不等式组4x−5＜3(x−1)3x+12≥4x−13的解集；
（3）先化简(2x−3x−2−1)÷x−1x2−4x+4，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值．
17．（8分）如图，在▱ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若EF⊥AC，BC＝AC，∠B＝70°，求∠BAF的度数．
18．（10分）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A非常喜欢，B喜欢，C一般，D不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了 名学生，并补全条形统计图．
（2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数．
（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
19．（10分）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡NC的长为12m，坡比为1：3．（计算结果保留整数）
（参考数据：sin42.3°≈0.67，cs42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cs52.4°≈0.61tan，52.4°≈1.30）
（1）求无人机距河面的高度PM．
（2）求两艘皮划艇之间的距离AB．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+8与双曲线y=kx（k≠0）交于A（1，a）、B两点，与x轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标．
（2）直接写出不等式kx＜x+8的解集．
（3）若点P为x轴上的动点，当△ADP为直角三角形时，求点P的坐标．
21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，AC、DB交于点G，H在AB延长线上且∠BCH＝∠CAB．
（1）求证：CH为⊙O的切线．
（2）求证：AF＝DF．
（3）若DG＝2，GB＝3，求AD的长．
22．（12分）四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，∠AEF＝90°．
【教材重现•提出问题】
（1）如图1，AB＝BC，G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F．求证：△AGE≌△ECF．
【模型建构•应用意识】
（2）如图2，AB＝BC＝4，EF交矩形外角的平分线于点F，延长CF交AD的延长线于点H，求2BE+HF的值．
【拓展推广•实践能力】
（3）如图3，AB＝mBC，AE＝mEF（m为常数），求CFBE的值（用含m的代数式表示）．
23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值．
（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2026年四川省巴中市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．【答案】A
【解答】解：∵所有正数都大于0，所有负数都小于0，
又∵−2，﹣1是负数，0不是正数，π≈3.14是正数，
∴π＞0＞−1＞−2，
因此所给实数中最大的实数是π．
故选：A．
2．【答案】D
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意，
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴a2•a5＝a2+5＝a7≠a10，A不符合题意．
B、∵3a与2b所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴3a+2b≠5ab，B不符合题意．
C、∵根据完全平方公式，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2≠a2﹣b2，C不符合题意．
D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴a（a﹣b）＝a•a﹣a•b＝a2﹣ab，D符合题意．
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：由题意可得，
取出红球的概率为824=13，
故选：B．
5．【答案】A
【解答】解：∵关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于x轴对称的点是P'（﹣2，﹣3）．
故选：A．
6．【答案】C
【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3条对角线，
所以至少要钉上3根木条．
故选：C．
7．【答案】D
【解答】解：由题意，∵y＝kx﹣k＝k（x﹣1），
∴当x＝1时，y＝0，则一次函数的必过（1，0），
∴排除A选项．
又当k＞0时，则﹣k＜0，
∴一次函数为y＝kx﹣k的图象经过第一、第三、第四象限，反比例函数y=kx分布在第一、第三象限，故C不合题意．
当k＜0时，则﹣k＞0，
∴一次函数为y＝kx﹣k的图象经过第一、第二、第四象限，反比例函数y=kx分布在第二、第四象限，故B不合题意，D符合题意．
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少4mg，
∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x﹣4）mg．
∵一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数为10002x−4，一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数为550x，且两种树叶的片数相同，
∴可列方程：10002x−4=550x．
故选：B．
9．【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
由勾股定理得：AC=AB2−BC2=132−52=12，
如图，∠C＝90°，即FC⊥BC，过点F作FD⊥AB于点D，
由尺规作图可知，BF是∠ABC的角平分线，
∴FD＝FC，
∵S△ABC＝S△ABF+S△CBF，
∴12AC⋅BC=12AB⋅FD+12BC⋅FC，
即12×12×5=12×13×FC+12×5×FC，
解得：FC=103，
∴FD=103，
∴S△ABF=12AB⋅FD=12×13×103=653．
故选：D．
10．【答案】C
【解答】解：∵y=14x2−x=14(x−2)2−1，
∵a=14＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
①令y＝0，得14x2−x=0，
解得x＝0或x＝4，即抛物线与x轴交于（0，0）和（4，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＜0时，y=14x2−x＞0恒成立，不存在x＜0且y＜0的点，
∴图象不经过第三象限，故①错误；
②∵开口向上，对称轴为x＝2，
∴x＞2时，y随x的增大而增大，又3＞2，
∴x＞3时y随x的增大而增大，故②正确；
③根据平移规律可得，y=14x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为y=14(x−2)2−1，与原函数一致，故③正确；
④联立y=14x2−xy=kx+1，整理得x2﹣4（k+1）x﹣4＝0，
∵Δ＝[﹣4（k+1）]2﹣4×1×（﹣4）＝16（k+1）2+16＞0恒成立，
∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确；
综上所述，正确的说法共3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．【答案】4．
【解答】解：原式＝5﹣1＝4，
故答案为：4．
12．【答案】x＞3．
【解答】解：要使代数式1x−3有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式的定义，被开方数需大于等于0，可得 x﹣3≥0．
根据分式的定义，分母不能为0，可得x−3≠0，
即x﹣3≠0，
联立两个条件可得 x﹣3＞0，
解不等式得x＞3．
故答案为：x＞3．
13．【答案】30°．
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝60°，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，则∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∵OA⊥BC，
∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠OBA﹣∠OBC＝60°﹣30°＝30°，
故答案为：30°．
14．【答案】12．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×t≥0，
解得t≤14，
由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1x2＝t，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=12−2t=1−2t，
∵﹣2＜0，
∴x12+x22=1−2t随t的增大而减小，
∴当t取最大值14时，x12+x22取得最小值，
代入得，最小值为1−2×14=12．
故答案为：12．
15．【答案】①②③④．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为1，
∴∠C＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝1，
∵DG⊥AB，
∴DG=BD⋅sin∠B=32BD，BG=BD⋅cs∠B=12BD，
∵D为BC边上的动点（不与端点重合），
∴0＜BD＜1，
∴0＜DG＜32＜1，0＜BG＜12，故①说法正确；
∵AG＝AB﹣BG＝1﹣BG，
∵0＜BG＜12，
∴12＜AG＜1，
∴AG＞BG，
∵S△ADG=12AG⋅DG，S△BDG=12BG⋅DG，
∴S△ADG＞S△BDG，故②说法正确；
设AG＝x，则有BG＝1﹣x，
∴DG=BG⋅tan∠B=3(1−x)，
∴S=12AG⋅DG=12x⋅3(1−x)=−32x2+32x，
∴△ADG的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确；
过点D作DH⊥AC，如图所示：
∵DH=DC⋅sin∠C=32DC，
设AG＝x，则BG＝1﹣x，
∴BD＝2BG＝2﹣2x，
∴DC＝BC﹣BD＝2x﹣1，
∴DH=32(2x−1)=3x−32，
∴S△ADC=12AC⋅DH=32x−34，
∵S△ADG=−32x2+32x，S△ACD＝S△ADG，
∴−32x2+32x=32x−34，
解得：x=22（负根舍去），
∴仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG，
故④说法正确；
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分）
16．【答案】（1）2；
（2）﹣5≤x＜2；
（3）x﹣2；1．
【解答】解：（1）原式＝1﹣23+6×32−（3−1）
＝1﹣23+33−3+1
＝2；
（2）将第一个不等式去括号得：4x﹣5＜3x﹣3，
移项，合并同类项得：x＜2，
将第二个不等式去分母得：9x+3≥8x﹣2，
移项，合并同类项得：x≥﹣5，
故原不等式组的解集为﹣5≤x＜2；
（3）原式=2x−3−x+2x−2•(x−2)2x−1
=x−1x−2•(x−2)2x−1
＝x﹣2；
∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴x＝3，
原式＝3﹣2＝1．
17．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）30°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）解：∵BC＝AC，∠B＝70°，
∴∠BAC＝∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝40°，
∵EF⊥AC，O为AC中点，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠ACB＝40°，
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝70°﹣40°＝30°．
18．【答案】（1）25，补全条形统计图如下：
（2）估计对活动“非常喜欢”的学生人数为112人；
（3）12．
【解答】解：（1）本次抽样调查中，学校一共抽取的学生人数为（2+1）÷12%＝25（名），
∴B类的学生人数为25×44%＝11（名），
A类的学生人数为25﹣11﹣（2+2）﹣（2+1）＝7（名），
∴A类男生应为3人、女生4人，B类男生应为5人、女生6人，
故答案为：25，
补全条形统计图如下：
（2）400×725=112（人），
答：估计对活动“非常喜欢”的学生人数为112人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，
∴抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为612=12．
19．【答案】（1）无人机距河面的高度PM为21米；
（2）两艘皮划艇之间的距离AB为7米．
【解答】解：（1）∵坡比为1：3，
∴tan∠NCM=MNMC=13=33，
∴∠NCM＝30°，
∴在Rt△MCN中，MN=12NC＝6（m），
∵PN＝15m，
∴PM＝PN+MN＝15+6＝21（m），
答：无人机距河面的高度PM为21米；
（2）∵C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°，
∴∠PBM＝52.4°，∠PAM＝42.3°，
在Rt△PBM中，tan∠PBM=PMBM，
∴BM=PMtan∠PBM≈211.30≈16（m），
在Rt△PAM中，tan∠PAM=PMAM，
AM=PMtan∠PAM≈210.91≈23（m），
∴AB＝AM﹣BM＝23﹣16＝7（m），
答：两艘皮划艇之间的距离AB为7米．
20．【答案】（1）反比例函数的表达式为y=9x，B（﹣9，﹣1）；
（2）不等式y=kx＜x+8的解集为﹣9＜x＜0或x＞1；
（3）点P的坐标为（1，0）或（10，0）．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝x+8①上，
∴a＝1+8＝9，
∴A（1，9），
∵点A在双曲线y=kx上，
∴k＝1×9＝9，
∴反比例函数的表达式为y=9x②，
联立①②解得，x=1y=9或x=−9y=−1，
∴点B（﹣9，﹣1），
即反比例函数的表达式为y=9x，B（﹣9，﹣1）；
（2）∵A（1，9），B（﹣9，﹣1），
∴不等式y=kx＜x+8的解集为﹣9＜x＜0或x＞1；
（3）∵点D，P在x轴上，
∴只有两种情况：如图，
①当∠APD是直角，即AP⊥x轴，
∴点P的坐标为（1，0），
②当∠DAP'是直角，
∵点D在直线y＝x+8上，
∴D（﹣8，0），
∴DP＝9，
∵A（1，9），
∴AP＝9，
∴AP＝DP，
∴∠DAP＝45°，
∵∠DAP'＝90°，
∴∠PAP'＝45°，
∴∠DP'A＝45°＝∠PAP'，
∴PP'＝AP＝9，
∴P（10，0），
即点P的坐标为（1，0）或（10，0）．
21．【答案】（1）连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCH＝∠CAB，
∴∠BCH+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCH+∠OCB＝90°，即∠OCH＝90°，
∴OC⊥CH，
∵OC是⊙O的半径，
∴CH为⊙O的切线；
（2）∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵CD=CD，
∴∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，
∴AF＝DF；
（3）10．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCH＝∠CAB，
∴∠BCH+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCH+∠OCB＝90°，即∠OCH＝90°，
∴OC⊥CH，
∵OC是⊙O的半径，
∴CH为⊙O的切线；
（2）证明：∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵CD=CD，
∴∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，
∴AF＝DF；
（3）解：∵DG＝2，GB＝3，
∴DB＝DG+BG＝5，
∵∠ABD＝∠GAD，∠ADB＝∠GDA，
∴△ABD∽△GAD，
∴ADGD=DBDA，
∴AD2＝DG•DB＝10，
∴AD=10．
22．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，
∵AB＝BC，G、E分别是AB、BC的中点，
∴AG＝BG＝BE＝EC，
∴∠BGE＝45°，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EAG＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAG＝∠FEC，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF=12∠DCM=45°，
∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；
（2）42；
（3）m2+1m．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，
∵AB＝BC，G、E分别是AB、BC的中点，
∴AG＝BG＝BE＝EC，
∴∠BGE＝45°，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EAG＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAG＝∠FEC，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF=12∠DCM=45°，
∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；
（2）解：在AB上截取一点P，使得BP＝BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°＝∠DCN＝∠CDH，AB＝CD＝4，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EAP＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAP＝∠FEC，
∵AB＝BC，BP＝BE，
∴AP＝EC，
∵∠B＝90°，BP＝BE，
∴∠BPE＝45°，PE=2BE，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝135°，
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF=12∠DCN=45°，
∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠APE，
∴△APE≌△ECF（ASA），
∴PE=CF=2BE，
∵∠CDH＝90°，∠DCH＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH=2CD=42，
∵CH=CF+FH=2BE+HF，
∴2BE+HF=42；
（3）解：连接AC，AF，如图所示：
∵AB＝mBC，AE＝mEF，
∴ABBC=AEEF=m，
∴ABAE=BCEF，
∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴△ABC∽△AEF，
∴ABAE=ACAF，∠BAC＝∠EAF，
∴ABAC=AEAF，∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC，∠CAF＝∠EAF﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴ABAC=BECF，
∵AB＝mBC，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=m2+1BC，
∴BECF=mBCm2+1BC=mm2+1，
∴CFBE=m2+1m．
23．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；
（2）1；
（3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，Q(−67，10449)．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点，
∴4a−2b+2=0a+b+2=0，
解得：a=−1b=−1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）由（1）可知：抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴令x＝0时，则有y＝2，即C（0，2），
连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0，
∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴OA＝OC＝2，S△AOC=12OA⋅OC=2，S△AOD=12OA⋅yD=−t2−t+2，S△COD=12OC⋅|xD|=−t，
∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
当t＝﹣1时，△ACD的面积最大，最大值为1；
（3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，理由如下：
∵A（﹣2，0），C（0，2），B（1，0），
∴OA＝OC＝2，OB＝1，
∴BC=OB2+OC2=5，∠ACO＝45°，
过点O作OE∥CQ，交AC于点E，过点E作EG⊥OC，取OA的中点F，连接CF，过点F作FH⊥BC，过点O作OP⊥AC，如图所示：
∴OF=12OA=1=OB，∠ACQ＝∠OEC，OP=OC⋅sin45°=2=CP，
∵OC⊥BF，
∴CF=BC=5，
∴∠BCO＝∠FCO，
∴∠BCF＝2∠BCO＝∠ACQ＝∠OEC，
∵S△BCF=12BF⋅OC=12BC⋅FH，
∴FH=2×25=455，
∴sin∠FCB=FHFC=45，
∴sin∠OEC=OPOE=45，
∴OE=524，
∴PE=OE2−OP2=324，
∴CE=CP+PE=724，
∴EG=CG=CE⋅sin45°=74，
∴OG=OC−CG=14，
∴E(−74，14)，
设OE的解析式为y＝kx，则有−74k=14，
∴k=−17，，
∴OE的解析式为y=−17x，
∵OE∥CQ，
∴设直线CQ的解析式为y=−17x+m，把点C（0，2）代入得：m＝2，
∴直线CQ的解析式为y=−17x+2，
联立y=−17x+2y=−x2−x+2，
解得：x=−67y=10449或x=0y=2（不符合题意，舍去），
∴Q(−67，10449)．
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
A
C
D
B
D
C