专题02勾股定理基础与几何综合期末复习讲义+(16大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

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知识点01:勾股定理完整定义
定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
专属说明
1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立；
2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。
知识点02:勾股定理符号表达
在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2
常用变形
1.已知斜边、一直角边，求另一直角边：
a2=c2−b2 b2=c2−a2
2.边长计算式：
c=a2+b2​a=c2−b2​；b=c2−a2​；
✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值
知识点03:勾股定理的逆定理(判断直角三角形)
内容
如果三角形的三边长a、b、c满足：
a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。
几何语言：
在 △ABC 中，若 AC2+BC2=AB2，则 △ABC 为直角三角形，且 ∠C=90∘。
知识点04:定理推导｜看透原理 拒绝死记
1.采用经典面积割补法证明，也是课本重点考法：
通过拼接全等直角三角形、组合大小正方形，利用整体面积与分割面积相等，
以 “面积搭桥”，巧妙推导出三边平方关系，体现数形结合核心数学思想。
直角三角形的两条直角边为 a、b，斜边为 c。
大正方形（边长为 c）的面积：S大 = c2
大正方形可分割为 4 个全等直角三角形 + 1 个小正方形
分割后总面积：
由 “整体面积 = 分割面积” 得：c2 =a2+b2即勾股定理。
2. 弦图法（赵爽弦图）
结构：由 4 个全等直角三角形和 1 个小正方形拼成大正方形。
推导：大正方形面积 c2=4×12ab+(b−a)2，化简后得 a2+b2=c2。
1.未确认三角形是直角三角形，直接套用公式；
2.混淆直角边与斜边，导致公式代入错误；
3.折叠问题中，错误分析对应线段关系，列错方程；
4.实际应用中单位不统一（如米与厘米混用），造成计算结果错误。
知识点05:勾股数
1. 定义
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
必备条件：① 均为正整数；② 满足 a2+b2=c2。
2. 常用基础勾股数（熟记，解题提速）
基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17
倍数规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得三组数仍是勾股数。
例：3,4,5 扩大 2 倍得 6,8,10，依旧为勾股数。
知识点06:高频几何综合模型（期末重难点、压轴考点）
模型 1：最短路径问题（平面 + 立体图形）
(1)平面最短路径：两点之间，线段最短，结合直角三角形用勾股定理计算；
(2)立体图形最短路径（圆柱、长方体）：
解题核心：将立体图形侧面展开为平面图形，构造直角三角形，再用勾股定理求两点间线段长。
模型 2：图形折叠问题（必考综合题）
折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等；
解题思路：① 利用折叠性质标注相等线段；② 设未知线段长为 x；③ 在直角三角形中根据勾股定理列方程求解。
模型 3：面积型勾股定理（弦图 / 面积和模型）
(1)以直角三角形三边为边长向外作正方形，两个直角边上正方形的面积和 = 斜边上正方形的面积；
(2)拓展：作等边三角形、半圆等图形，该面积关系依然成立。
模型 4：动点问题
点在线段、多边形边上运动，分类讨论：
(1)当动点运动到某一位置时，三角形为直角三角形；
(2)结合勾股定理列方程，求解动点位置、线段长度。
知识点07:常用解题方法
1.方程法：出现未知线段时，设未知数，利用勾股定理建立方程求解（折叠、动点题型主流方法）；
2.分类讨论法：题目未指明斜边 / 直角边时，分情况讨论，避免漏解；
3.建模法：实际问题、立体图形转化为标准直角三角形；
4.面积法：利用 “等面积” 求直角三角形斜边上的高。
公式：直角三角形斜边上的高h=abc
知识点08:三大核心考法｜全覆盖期末考点
1.基础运算应用:已知直角三角形任意两条边长，快速求解第三条边长，夯实基础得分点。
2.几何综合应用:结合折叠图形、长方形、等腰三角形等，构造隐藏直角三角形，求解线段、高、对角线长度。
3.生活实际应用:破解测量高度、两地距离、航海路线等实际问题，通过作辅助线构造直角三角形，学以致用。
知识点09高频易错点（考场避坑专区）
1.乱用定理：在非直角三角形中直接套用勾股定理；
2.概念混淆：分不清直角边与斜边，计算时代入数据错误；
3.忽略分类讨论：已知两边长，未分 “两边均为直角边”“一斜边一直角边” 两种情况；
4.勾股数误区：小数、分数不属于勾股数（勾股数必须是正整数）；
5.折叠题型失误：不会利用折叠的等量关系，无法构造直角三角形列方程；
6.立体图形展开错误：展开方式不对，导致直角三角形边长取值错误。.
题型01.用勾股定理理解三角形
1．在中，，，若，则（ ）．
A．56B．12C．D．
【答案】C
【分析】利用含角的直角三角形的性质求出斜边，再结合勾股定理计算边长即可．
【详解】解：中，，，a是的对边，，
斜边，
直角边．
2．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为____．
【答案】3
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理得，进而可将阴影部分的面积求出．
【详解】解：由题意得：S阴影=12AC2+12BC2+12AB2=12AB2+AC2+BC2，
在中，AC2+BC2=AB2=32=3，
，
．
3．如图，在四边形中，，边的垂直平分线分别交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，设，根据，利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】解：连接，设，
∵垂直平分，
∴，即：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即：的长为：.
.
4．如图，中，，点D、E在上，且，，垂足为G，的延长线与相交于点F．
(1)在图中找出与线段相等的线段，并证明；
(2)探究线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】（1）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，进而判断出，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：．
证明：如图，连接．
∵，，，
∴，．
∵，，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：结论：．
证明：如图，过点作，且，连接，．
则，
∵
∴．
∵，，
∴
∴，．
∴．
∴．
在中，
又∵
∴．
题型02.由两点坐标求两点距离
5．已知，，那么P、Q两点间距离为______．
【答案】5
【分析】根据两点间距离公式代入坐标计算即可．
【详解】解： 和，
．
6．在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则___________．
【答案】1或
【分析】根据坐标系中两点之间的距离，列方程求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得， ．
7．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】解：点到原点的距离是
8．已知：，，，且是直角三角形，其中，求的值．
【答案】
【分析】利用勾股定理建立方程解答即可求解．
【详解】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
整理得，，
解得．
题型03.勾股数问题
9．写一组你喜欢的勾股数______．
【答案】
【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数．
【详解】解：∵，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是．
故答案为：．
10．“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个．
【答案】96
【分析】由已知图形观察规律，可得到第5个图形中正方形的个数，第7个图形中正方形的个数，即可．
【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个，
第2个图形中正方形有个，
第3个图形中正方形有个，
第4个图形中正方形有个，
……，
由此推出第n个图形中正方形有个，
∴第5个图形中正方形有个，第7个图形中正方形有个，
∴第7个图形里的正方形比第5个图形多个．
11．毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形．
【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式
该类勾股数的三边可表示为、和，
其中最大数为，
另外两个数为和，
当为正整数时，，
所以，
因此，较小数的表达式是
故选：C．
12．如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形．
(1)正方形的面积之间有什么关系？
(2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？
(3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案．
【答案】(1)
(2)
(3)这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？答案：每次生长增加的正方形面积之和是
【分析】此题主要考查了三角形、正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式．
（1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可；
【详解】（1）解：正方形和是通过在正方形的边上构建直角三角形后形成的，根据勾股定理，直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和，
因此，正方形的面积等于正方形和的面积之和，即：．
（2）解：正方形、、、是通过在正方形和 的边上构建直角三角形后形成的．根据勾股定理，正方形和的面积之和等于正方形的面积，而正方形、、、的面积之和等于正方形和的面积之和．
因此，正方形、、、的面积之和等于正方形的面积，即：．
（3）解：这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？
答案：每次生长增加的正方形面积之和是．
题型04直角三角形三边的图形面积
13．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________．
【答案】
【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出．
【详解】解：由题意得：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
14．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】5
【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，由此求出，结合图形即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理可得：，
由题意可得：，，，
∴，
∵，
∴，
由图形可得：图中阴影部分的面积为．
15．如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握手拉手的全等模型是解题的关键．
如图连接，证，得到，证，得到三点共线且，再证，由勾股定理，得，结合全等，得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据题意，可知四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
是直角三角形，
，
三点共线，
；
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
根据勾股定理，可知正方形的面积等于正方形面积之和，
，
又，，
，
；
综上所述，可知图形①、②的面积与的面积相等．
故选：A．
16．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，，（正方形四边相等，四个角都是直角），连接．
(1)过点C作的垂线，分别交，于点D，G；求证：G为的中点；
(2)连接，，若，，则六边形的面积为__________．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；
（1）分别过点作，垂足分别为，由题意易得，则有，然后可得，则有，同理可得，进而通过证明可得答案；
（2）分别过点作，垂足分别为，由题意易得，，则有，同理可得：，然后根据割补法可求解面积．
【详解】（1）证明：分别过点作，垂足分别为，如图所示：
在正方形，中，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴G为的中点；
（2）解：分别过点作，垂足分别为，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
；
故答案为．
题型05.勾股定理与网格问题
17．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为______．
【答案】
【分析】先由图形及平移性质得到平移路径，在网格中用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知平移路径为，如图所示：
平移距离为．
18．如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据平移性质，平移的距离是的长，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
由图知，，
∴平移的距离是．
19．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点，求的长．
【答案】
【分析】由勾股定理求出，再由三角形面积求出．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，
∴的面积=，
∴
题型06.勾股定理与折叠问题
20．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到，，
，
，
四边形是长方形，
，
，
，
，
．
21．如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______．
【答案】7
【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理，得，
由翻折的性质，得．
的周长．
22．如图，折叠三角形纸片，使得点落在边上的，处，得到折痕．已知，，．则的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理、含有角的直角三角形的性质、轴对称图形的性质等，可求得，进而求得的长度，设，结合，即可求得答案．
【详解】解：因为，，，
所以，
所以．
设，则．
根据图形翻折的性质可知，，，
所以，．
在中，
，即
．
解得
．
所以．
23．如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到，进而证明即可；
（2）由折叠得，，，设，则，然后根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：四边形是长方形，
，
，
由折叠得，，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：由折叠得，，，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，
．
题型07.勾股定理求线段平方和差
24．定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则_______．
【答案】5或13
【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可．
【详解】解：分两种情况：
①当为最大线段时，
∵点是线段的勾股分割点，
；
②当为最大线段时，
∵点是线段的勾股分割点，
；
综上所述：的长为5或13．
故答案为：5或13．
25．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．
【答案】25或16/16或25
【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【详解】解：，
，解得：，
，
，，
解得，，
①当a，b为直角边，
该直角三角形的斜边长的平方为，
②4也可能为斜边，
该直角三角形的斜边长的平方为16，
故答案为：25或16．
【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
26．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可；
（2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），
证明如下：过B作，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
题型08勾股定理证明线段平方关系
27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即，
∴在中，，在中，，
∴，
在中，，在中，，
∴，
∴，
故选：．
28．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（ ）
A．12B．16C．20D．28
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴．
∵，，
∴．
29．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．
(1)若，，，，请求出，，，的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)136
【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解；
（2）由（1）可得，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，
，
∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，．
（2）解：由（1）有，，，．
∴
，
，，
．
题型09.勾股定理的证明方法
30．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是______．

【答案】
【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵正方形A的边长为，
∴正方形A的面积为45，
∴，整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键．
31．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：、边长为正方形的面积边长为正方形的面积2个长为，宽为的长方形的面积大正方形的面积，
，属于完全平方公式，不能用来证明勾股定理，符合题意；
、三个直角三角形的面积和梯形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意．
32．勾股定理是证明方法最多的数学定理之一． 如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：
【答案】见解析
【分析】利用梯形的面积进行证明即可．
【详解】证明：根据梯形的面积可得，，
整理得，
∴．
题型10.以弦图为背景的计算题
33．（数学文化）勾股定理在《九章算术》中被表述为：“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为勾，为股，为弦）．若“勾”为，“股”为，则“弦”的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：“勾”为，“股”为，弦的计算公式为，
，选项符合题意．
34．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中，，则中间小正方形的边长____．
【答案】
【分析】由四个全等的直角三角形可知，已知，，先根据勾股定理求出，再求出的长度即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，
∴．
35．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，，进而得到，再结合对称性即可求解．
【详解】解：连接，
图形由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，
，
，
又，
，
，，
，
又空白部分面积为，
则图中阴影部分与空白部分面积之比为．
36．学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ）
A．竖直摆放可以直接进门B．水平横放可以直接进门
C．斜着沿门框对角线能进门D．怎么都无法进门
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先排除竖直、水平摆放的错误选项，再利用勾股定理计算门框对角线长度，与正方形泡沫板边长比较即可得到结论．
【详解】解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽，
竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B，
斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为：
∵
∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门，
因此C正确，D错误．
题型11.勾股定理构造图形解决问题
37．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________．
【答案】6
【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，
， ，
的周长为12，
，
，
∴BD+DE=8，
∴BD+CD=8，即，
设，则，，
在中，， 由勾股定理得
∴，解得：，
．
38．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
，
设的长为，则，
，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴绳索的长是．
39．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？
【答案】能通过该隧道
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，取的中点，作于点，连接．设，则．结合勾股定理求出，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作，取的中点，作于点，连接．

设，则．
由题意可知：，
在中，由勾股定理，得．
．
．
这辆卡车能通过该隧道．
题型12.勾股定理与无理数型
40．如图所示的数轴，点表示的数是________．
【答案】
【分析】求出长度，进而可知点表示的数．
【详解】解：如图，
可知，
由作图可知，
∴点表示的数是．
41．如图，在中，，，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是_______________．
【答案】/
【分析】利用勾股定理求出，再根据a所在数轴上的位置即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
．
42．如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先利用勾股定理求出的长，确定对应的数，进而求出，，，等点对应的数，通过观察数据找出的规律，最后代入的值求解．
【详解】解：由图可知，点坐标为，点坐标为，
∴，
∵以长度为半径，原点为圆心画圆交数轴正半轴于点，
∴对应的数为，
∵，在的右侧取最近整数点，
∴对应的数为3，
∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点，
∴，
∴对应的数为，
∵，在的右侧取最近整数点，
∴对应的数为4，
∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点，
∴，
∴对应的数为，
同理可得对应的数为5，对应的数为，
，
观察规律可知：
对应的数为，
对应的数为，
，
对应的数为，
∵，
∴对应的数为．
故选：A．
43．数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点．
(1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点；
(2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点．
(3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果．
【答案】(1)，图见解析；
(2)，图见解析；
(3)．
【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数．
根据面积的公式可知：面积为的正方形的边长为，在数轴上构造直角边长为的等腰直角三角形，以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，圆与数轴的交点表示的数即为，
把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是；
在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形，以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为，这一点在点的左侧，根据两点的位置关系比较两数的大小．
【详解】（1）解：面积为的正方形的边长为，
点表示的数是，
如下图所示，在数轴上作直角边长为的等腰直角三角形，
以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，
圆与数轴的交点表示的数即为，
故答案为：；
（2）解：把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是，
在数轴上表示点如下图所示，
故答案为：；
（3）解：如下图所示，在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形，
以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为，
这一点在点的左侧，
．
题型13.勾股定理与动点问题
44．如图，等边三角形的边长为6，D为边的中点，P是线段上一动点，当的值最小时，的长为________．
【答案】
【分析】先理解题意，结合等边三角形的性质得，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，得出，运用三边关系以及垂线段最短得当时，有最小值，故，，此时的值最小，最后把数值代入计算，即可作答．
【详解】解：过点P作，连接，如图所示：
∵等边三角形的边长为6，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
当三点共线时，，
当时，有最小值，垂线段最短，
则，，
此时的值最小，
在中，，
∴，
∴，
解得（负值已舍去）．
45．如图，已知中，，，，点是上一个动点，从点出发，沿着运动，的最小值是____．
【答案】
【分析】在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再结合题意及三角形三边关系确定，则当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是．
46．如图，在等边中，于，为上一动点，以为一边作等边（，不在的同侧），点在边上，，，分别连接，．则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为2
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【分析】当时，有最小值，据此计算可判断选项A；连接，证明，推出，则当时，有最小值，据此计算可判断选项B；连接，得到当重合时，有最小值，最小值为的长，据此计算可判断选项C；作点关于的对称点，连接，，作于点，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此计算可判断选项D．
【详解】解：∵等边中，于，
∴，
∵为上一动点，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为1，故选项A正确，不符合题意；
连接，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，
∵等边中，于，
∴，
∴，
∴的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；
连接，
∵，
∴当重合时，有最小值，最小值为的长，
作于点，
同理，，
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
作点关于的对称点，连接，，作于点，
∵等边中，于，
∴点在上，
∴，
∴，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∴，
同理，，
∴，
∴，故选项D错误，符合题意．
47．在中，是上的动点，点在的三边上移动．
(1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长．
(2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长．
(3)如图3，当点在上，时，若，，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答．
（2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答．
（3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答．
【详解】（1）解：如图1，连接．
是的中点，
．
由勾股定理，得，
，
∴DE=AD⋅CDAC=8×610=4.8．
（2）解：
由题意，知 ，
．
设，则．
在中，，
，
解得，
．
（3）证明：如图2，过点作，且，
连接，．
，，
．
又 ，
，
，

．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
．
在中，，
．
题型14.勾股定理与最值问题
48.在平面直角坐标系中，点A(0,2)，B(4,0)，点P是直线y=2x上一动点，则使PA+PB
最小值______．
【答案】
【分析】考查两点在直线异侧时，距离和的最小值为两点间的线段长度；同侧时才需要作对称点转化．易错点：误将异侧问题当作同侧 “将军饮马” 问题，额外作对称点导致计算错误．
两点在直线异侧时，的最小值就是两点间的线段长度（当 P 为直线与的交点时取到）．
【详解】解：∵ 点与在直线异侧，
∴的最小值为的长度．
∴的最小值为．
故答案为：．
49．如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)．
【答案】
【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质确定当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理以及线段的和差进行求解．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，
∴，
∴，
当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
由勾股定理得，
∴的最小值为．
50．如图，在Rt中，，点在上，且是的中点，点在上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．5
【答案】B
【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握最短路线模型是解题的关键．
延长至，使，连接，，作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质求出的长度，再证得，最后根据两点之间线段最短确定最小值就是，据此求解即可．
【详解】延长至，使，连接，，作于点，如图所示，
在Rt中，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt中，由勾股定理，得，
即，
，
∴，，
在Rt中，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，最小值为．
51．在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．
(1)【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内：
①画出顶点在格点的，其中，，；
②求出①中所画的面积．
(2)【拓展运用】
①在图3中，设，，轴，轴，于点，则_____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：；
②求代数式的最小值为_____．
【答案】(1)①见解析；② 2
(2)①，；②
【分析】（1）①根据题意画出三角形即可；②利用割补法计算即可；
（2）①根据题意和坐标系写出答案即可；②通过将所求代数式变形，可知该式可以表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长，利用两点间的距离公式求出即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：①由题意得，，；
②原式，
表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和，
由图可知，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长，
，
的最小值为．
题型15.勾股定理规律探究题
52．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____．
【答案】
【分析】根据勾股定理找到规律即可．
【详解】解：，
以此类推，可得
．
53．图1是第七届国际数学教育大会（）会徽图案，它可以看成由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．如果图2中的，那么的长为__________．
【答案】6
【分析】利用勾股定理依次求出，，，可总结出，由此可解．
【详解】解：∵OA1=A1A2=A2A3=⋯=A8A9=2，
∴OA2=22+22=22，
，
，
，
，
．
54．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______．
【答案】2027
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积和为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积和，总结出一般规律，即可进行解答．
【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，则，
根据勾股定理可得：，
∴第一代勾股树中所有正方形的面积和为；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积和为；
第三代勾股树中所有正方形的面积和为；
第n代勾股树中所有正方形的面积和为；
∴第2026代勾股树中所有正方形的面积和为2027．
55．2026马年春晚的合肥分会场，22580架无人机腾空而起，列阵翻飞，碰撞出科技与人文的璀璨火花．
一个无人机表演的兴趣小组打算设计无人机表演的图案，他们通过调查了解到：无人机在升空表演时，为了确保安全，两架无人机之间的距离不能小于米；为了展现出图案的整齐和连贯，两架无人机之间的距离不能超过2米，否则会太松散而影响视觉效果．兴趣小组将不小于米且不超过2米的距离叫做“表演距离”．为方便分析，无人机大小忽略不计．
【线段图案】兴趣小组先研究最简单的图案“线段”．为了能让无人机群在空中展现出一条线段，需要让多架无人机按照一定的间距排列在一条直线上，如图（1），每个点都表示一架无人机，所有的点都位于同一条直线上，两端的无人机表示线段的两个端点．
若要在空中展现出一条长度为10米的线段，端点处各有一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求，那么最多需要多少架无人机？最少需要多少架无人机？兴趣小组的解决方法如下：
设需要n架无人机，可列出不等式组，解得，所以最多需要7架无人机，最少需要6架无人机．
【正方形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出正方形图案，正方形的四个顶点处各有一架无人机，每条边上都有多架无人机按照一定的间距排列，如图（2），每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求．
(1)若要在空中展现出一条边长为10米的正方形，那么最多需要_______架无人机，最少需要_______架无人机．
兴趣小组认为单独的正方形图案太单调，于是设计出如图（3）的图案．该图案由多个全等的正方形组成，并且相邻的两个正方形有一条公共边，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求．
(2)若正方形的边长为15米．当正方形的个数为4时，最少需要_______架无人机；当正方形的个数为m时（m为正整数），最少需要_______架无人机．
【等边三角形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出等边三角形组成的图案，如图（4），由三个全等的等边三角形组成，三个等边三角形有一个公共顶点，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求．
(3)若兴趣小组一共有124架无人机，他们用全部的124架无人机展现出图（4）中的图案，那么等边三角形每条边上有_______架无人机，整个图案的面积最大是_______平方米．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据架无人机组成正方形，则正方形的每条边都有架无人机，则有个间隔，根据一条正方形的边长10米，列出不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）根据题意，找到规律：个正方形的顶点数为，边数为，设无人机的间隔个数为，无人机的数量为，则正方形的每条边上有架无人机，每边内部（除顶点外）的无人机数为，得出，根据题意得出取最小值，得出，将代入，即可求解；
（3）设每条边上有架无人机，根据题意求得总无人机数为架，解方程，求得等边三角形每条边上有架无人机；进而求得最大间隔距离时的边长，进而根据等边三角形的性质，求得面积，即可求解．
【详解】（1）解：设需要n架无人机，依题意，可列出不等式组，
解得，
又∵是的倍数，
所以最多需要架无人机，最少需要架无人机．
（2）解： 1个正方形的顶点数为，边数为，
个正方形的顶点数为，边数为，
个正方形的定点数为，边数为，
……
个正方形的顶点数为，边数为，
设无人机的间隔个数为，无人机的数量为，则正方形的每条边上有架无人机，每边内部（除顶点外）的无人机数为，
∴
∵正方形的边长为15米
∴，且为正整数，
∴,则t=8,9,10
∵要求最少无人机数，则取最小值
∴n=2m+2+3m+18−1=23m+9
当时，n=23×4+9=101；
（3）解：如图，设三个等边三角形的公共顶点为，
设每条边上有架无人机（即图中的点的数），图中共有个顶点，则每条边内部有 个非顶点，三个等边三角形的边长相等，共有条边，
∴总无人机数为：7+9x−2=9x−11
当时，
解得：，
∴等边三角形每条边上有架无人机
设等边三角形的边长为，
如图，过点作于点，
是等边三角形，，
∴AD=a2，
在中，
，
∴S△ABC=12×a×32a=34a2；
∵每条边上有架无人机，则有个间隔，间距为
∵满足“表演距离”的要求，则最大间隔为米
∴a14≤2
解得：
∴的最大值为
∴三个等边三角形的面积的最值为3×34×282=5883（平方米）
题型16.勾股定理面积综合题
56．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________．
【答案】
【分析】根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，画出对应的示意图可得的边上的高满足，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，其中中间的四边形也是正方形，
∴，，
∴．
57．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______．
【答案】
【分析】可求出，由作图方法可知，平分，则，据此可求出的长，由，可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
由作图方法可知，平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
58．如图，在中，分别以的顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交边于点E；再分别以的顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线，交边于点F，连接，．若，，，则的面积是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【分析】如图，过作于，证明，，为等边三角形，可得，求解，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
由作图知，分别是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积是.
故选：A
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
59．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，．
(1)求证：点D在的垂直平分线上；
(2)若，．
①求的周长；
②，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①24；②24
【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上；
（2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，；
②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴点D在的垂直平分线上；
（2）解：①∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长为24；
②由①知，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形且为斜边，
∵，
∴，
由①知，的周长为24，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
知识目标
能力目标
应试目标
1.熟记勾股定理内容及推导过程，掌握直角三角形三边之间的数量关系。
2.掌握勾股定理的逆定理，能够利用逆定理判定直角三角形，辨别勾股数。
3.熟记常见常用勾股数，理解勾股数的特征，能快速用于解题。
4.掌握勾股定理相关拓展模型，理解折叠、最短路径、面积类经典几何结论。
1.计算能力：能够利用勾股定理求解直角三角形未知边长、周长与面积。
2.判定能力：结合边长数据，利用逆定理判断三角形形状，区分锐角、直角、钝角三角形。
3.建模能力：能将实际问题、立体图形问题转化为直角三角形模型求解。
4.综合能力：熟练解决勾股定理与折叠、动点、平行线、四边形相结合的几何综合题
1.基础题型：轻松拿下选择、填空题，熟练求边长、判断直角三角形、识别勾股数。
2.基础解答：规范书写解题步骤，熟练运用勾股定理及逆定理解决基础计算题。
3.综合题型：掌握立体最短路径、图形折叠、面积法等高频综合必考题型。
4.规避易错：分清直角边与斜边；避免未分类讨论；杜绝乱用定理、计算失误等失分。
题型01.用勾股定理理解三角形
题型02.由两点坐标求两点距离
题型03.勾股数问题
题型04直角三角形三边的图形面积
题型05.勾股定理与网格问题
题型06.勾股定理与折叠问题
题型07.勾股定理求线段平方和差
题型08勾股定理证明线段平方关系
题型09.勾股定理的证明方法
题型10.以弦图为背景的计算题
题型11.勾股定理构造图形解决问题
题型12.勾股定理与无理数型
题型13.勾股定理与动点问题
题型14.勾股定理与最值问题
题型15.勾股定理规律探究题
题型16.勾股定理面积综合题