2025-2026学年北京市第九中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市第九中学高二（下）期中数学试卷，文件包含江苏扬州市2026年高一下学期期末调研数学试卷pdf、江苏扬州市2026年高一下学期期末调研数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
1.若数列{an}的通项公式an=2-n,则此数列（ ）
A. 是公差为-1的等差数列B. 是公差为1的等差数列
C. 是首项为2的等差数列D. 是公差为n的等差数列
2.已知6件产品中有3件正品，其余为次品．现从6件产品中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品B. 至少有1件次品和全是次品
C. 至少有1件正品和至少有1件次品D. 至少有1件次品和全是正品
3.等比数列{an}中，a1，a5是方程x2+12x+16=0的两根，则a3等于（ ）
A. -4B. 4C. ±4D. 以上都不对
4.我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种.
A. 12B. 24C. 36D. 72
5.设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A. 若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B. 若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C. 若a1＜0，则（a2-a1）（a2-a3）＞0D. 若0＜a1＜a2，则
6.已知随机变量X的分布列为
则P（X≤1）=（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列{an}是无穷项等比数列，公比为q,则“q＞1”是“数列{an}单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
8.若{an}是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ）
A. {|an|}B. {an+1-an}
C. {pan+q} （p,q为常数）D. {2an+n}
9.已知数列{an}满足，a1=2，则a2025=（ ）
A. -1B. C. 2D. 2025
10.定义：已知数列{an}，{bn}，k∈N*，若∃n∈N*，n≠1，使|an-bn|＜k,则称{an}，{bn}互为k阶友好数列.已知{an}为无穷项等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，{bn}为公比为q的无穷项等比数列，a1=2，b1=2.下列说法正确的是（ ）
A. 若a2=4，则∀q∈（0，+∞），{Sn}，{bn}互为5阶友好数列
B. 若a2=3，则∀q∈（0，+∞），{an}，{bn}互为5阶友好数列
C. 若a2=4，则∃q∈（-1，0），使{Sn}，{bn}互为4阶友好数列
D. 若a2=3，则∃q∈（-1，0），使{an}，{bn}互为4阶友好数列
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a4=7，则S10= ______．
12.的二项展开式中的常数项为 .
13.已知数列，则a3= ，数列{an}的通项公式an .
14.在100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是 ．
15.下面是关于公差d＞0的等差数列（an）的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中的真命题为______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求a1+a3+a5+a7+a9.
17.(本小题15分)
在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委从本区A，B，C，D四所高中中随机抽查了100名学生，了解他们的参与情况，并将调查结果进行整理后制成如表：
（1）在这100名学生中，随机抽取1名学生，求该学生没有参与“创城”活动的概率；
（2）对于上述样本，从B，C两校没有参与“创城”活动的学生中随机抽取2人，求B，C两校恰好各有1人的概率；
（3）在抽查的100名学生中随机抽取2人，求其中一名学生来自D校，另外一名学生来自其他学校的概率.
18.(本小题14分)
已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
19.(本小题15分)
某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（Ⅱ）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）；
（Ⅲ）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y，试判断数学期望E（Y）与（Ⅱ）中的E（X）的大小.（结论不要求证明）
20.(本小题12分)
①a5=b3+b5，②S3=87③a9-a10=b1+b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，________，a1=b6，若对于任意n∈N*都有Tn=2bn-1，且Sn≤Sk（k为常数），求正整数k的值.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
21.(本小题15分)
设{an}为无穷数列，给定正整数k（k≥2），如果对于任意n∈N*，都有an+2k+an=2an+k，则称数列{an}具有性质P（k）.
（1）判断下列两个数列是否具有性质P（2）；（结论不需要证明）
①等差数列M：1，4，7，…；
②等比数列N：1，2，4，….
（2）已知数列{an}具有性质P（2），a1=1，a2=2，且满足（即：数列的所有项构成整数集），求{an}的通项公式；
（3）若既具有性质P（6）又具有性质P（k）的数列{an}一定是等差数列，求k的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】100
12.【答案】60
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】p1，p4
16.【答案】an=2n+2 60
17.【答案】
18.【答案】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q==3，
bn=b2qn-2=33n-2=3n-1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d==2，
则an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）cn=an+bn=2n-1+3n-1，
则数列{cn}的前n项和为：
[1+3+…+（2n-1）]+（1+3+9+…+3n-1）
​=n+
=n2+．
19.【答案】解：（Ⅰ）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为（0.00375+0.001+0.00025）×（700-620）×1500=600人；
（Ⅱ）用频率估计概率，阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为（0.005+0.00375+0.001+0.00025）×（700-620）=0.8，
则X～B（3，0.8），
∴P（X=k）=×0.8k×0.23-k，k=0，1，2，3，
P（X=0）=×0.80×0.23=0.008，P（X=1）=×0.8×0.22=0.096，P（X=2）=×0.82×0.2=0.384，P（X=3）=×0.83×0.20=0.512．
X的分布列为：
E（X）=3×0.8=2.4．
（Ⅲ）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，这10人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8，
从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y，则Y的可能取值为：1，2，3．
P（Y=1）==，P（Y=2）==，P（Y=3）==．
X的分布列为：
E（Y）=1×+2×+3×=2.4．
∴E（Y）=E（X）=2.4
20.【答案】解：由Tn=2bn-1，可得n=1时，b1=1；n≥2时，Tn-1=2bn-1-1，相减可得bn=2bn-2bn-1，即bn=2bn-1，
由此可得{bn}为首项为1，公比为2的等比数列，故bn=2n-1，
①当a5=b3+b5，a1=b6=32，a5=4+16=20，
设{an}的公差为d,则20=32+4d,解得d=-3，
所以an=32-3（n-1）=35-3n.因为当n≤11时，an＞0，当n＞11时，an＜0，
所以当n=11时，Sn取得最大值，
因此正整数k的值为11．
②当S3=87时，a1=32，3a2=87，
设{an}的公差为d,则3（32+d）=87，解得d=-3，
所以an=32-3（n-1）=35-3n.因为当n≤11时，an＞0，当n＞11时，an＜0，
所以当n=11时，Sn取得最大值，
因此正整数k的值为11．
③当a9-a10=b1+b2时，a1=32，a9-a10=3，
设{an}的公差为d,则d=-3，
所以an=32-3（n-1）=35-3n.因为当n≤11时，an＞0，当n＞11时，an＜0，
所以当n=11时，Sn取得最大值，
因此正整数k的值为11．
21.【答案】数列M具有性质P ；数列N不具有性质P ；
{ an}的通项公式为或；
5 X
0
1
2
P
学校
A
B
C
D
抽查人数
50
15
10
25
参与“创城”活动的人数
40
10
9
15
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
Y
1
2
3
P