浙江省温州市十校2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试题

这是一份浙江省温州市十校2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试题，共11页。试卷主要包含了06x  4，5B． t  3，04，5  Z  98，在四棱锥 P-ABCD 中，，a=0，法一， f等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
高二数学学科练习
本题共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。
结束后，只需上交答题卡。
选择题部分
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知复数 z 在复平面内对应的点为（-2,1），则 z  （）
A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i
已知集合 A  0，1，2,3， B  x ln x  1，则 A ∩ B  （）
A．B． 1,2
C． 1，2,3
D． 0,1,2
x
(x  1 )3 展开式中的常数项为（）
A．1B．2C．3D．4
在三角形 ABC 中，M 是线段 BC 上的一个动点，且满足 AM  x AB  y AC ，求 1  1
xy
的最小值（）
A. 2B. 4C. 8D. 1
第5题图
如图是函数 y  f (x) 的导函数 y  f ( x) 的图像，则在下列区间内， f (x) 一定存在最大值的是（）
A．（ 3，2）
C．（0，4）
B．（ 3，4）
D．（ 2，5）
3
在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A  2 , a  2，
3
3
ABC 的面积为，则b  c  （）
3
3
A. 4B. 6C. 2D. 4
历史上第一个给出函数一般定义的是 19 世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在 1829

年定义了一个“奇怪的函数”： f (x)  1，x  Q
0，x  CRQ
，其中R 为实数集， Q 为有理数集．
则关于函数 f  x 的如下四个命题中，不．正．确．的是（）
x  R 都有 f  f (x)  1
x  R，y  Q ，都有 f (x  y)  f (x)
x, y  R ，都有 f (xy)  f (x)  f ( y)
x, y  R ，都有 f (x  y)  f (x)  f ( y)
一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯中，内部装有高度为 h 的水，现将一个半径为
2 的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如右上图），则 h3 =（）
A. 100B. 120C. 144D. 216
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列命题正确的有（）
若 ，则cs cs
若  ，则sin cs
2
若tan 2 ，则3sincs sin 2  2
若sin cs 1 ，则sincs  12
525
1
某学校数学兴趣小组在“探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况”的数学建模活动中，将时间 x （分钟）与温度 y （摄氏度）的关系用模型 y  c ec2 x （其中e 为自然对数的底数）
拟合.设 z  ln y ，变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程 z  0.06x  4.16 ，则（）
样本数据 x 的下四分位数为 2.5B． t  3.96
1
C. 当 x=4 时，残差为 0.01D. c  e4.16
已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 棱长为 2， E, F 分别为边 AB ， A1B1 的中点，且存在点
P，满足 AP  AB  AD,,（0,1], 则下列选项中正确的是（）
2
若直线C1P //平面 AB1D1 ,点 P 的轨迹长度为 2
若 ，则直线 D P 与 AC 所成角的取值范围是  
x
2
2.5
3
3.5
4
z
4.04
4.01
3.98
t
3.91
11 1
[， ]
6 2
若 2，则平面 AB1P ⊥平面 DEF
21
若 1 ，则| D P |  | PF | 的最小值为
21
非选择题部分
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
曲线 f (x)  ex  x 在 x=0 处的切线方程为.
 an 1，a 为奇数
若正项整数数列{an}满足，an1  2n，已知 a4  3, 则 a1 的所有可能取值
2an 1，an为偶数
的和为.
暑假即将来临，某同学制定了一个 5 天游玩 5 个不同景点的旅游攻略，他计划每天游玩一个景点，但第一天不去 A 景点，第二天不去 B 景点，最后一天不去 C 景点，其余两天没有限制，则不同的游玩日程安排有种.（用数字作答）
解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
a
a
已知向量 →  sin x, cs 2x ， b  2 cs x, 3，若函数 f (x)  →  b ，

求 f (
) 的值；
3
求不等式 f (x)  1的解集.
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PA  PD ,
6
PA  PD ， PB .
求证： 平面PAD  平面ABCD ；
求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了 100 件产品，整理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为 10）：
求图中 a 的值及平均值 x （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
由直方图可以认为，这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 N (，2 ) ，其中近似 为样本平均数 x ，方差2  121 .利用该正态分布求 P(65.5  Z  98.5) ；
现从生产线中取出 5 件产品，其中恰有 2 件次品，但不能确定哪 2 件为次品，需对 5
件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪 2 件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了 X 次，求随机变量 X 的分布列与期望.
参考数据：
若Z ~ N (，2 ) ，则 P( Z  )  0.6827，P( 2 Z   2)  0.9545
数列{a }中， S 是数列{a }的前 n 项和，已知 2S  n（2  a ），n  N *.
nnnnn
求证：{an}是等差数列；
已知 a2 =3，
n
若bn （an 1） 3an ，求数列{b }的前 n 项和；
若在 ak 和 ak1 之间插入{2n} 的前 k 项（ k  N * ），得到新数列{cn} ，且{cn} 的前 n
项和为Tn ，求Tn >2026 时，n 的最小值.
已知 f (x)  a  (1 a) ln x  x  2a ；
x
讨论 f (x) 的单调性；
若 f (x1 )  f (x2 )  0，且x1  x2 ；
(Ⅰ) 求 a 的取值范围；(Ⅱ) 求证： x1  x2  2a.
高二期末数学参考答案
单选题
多选题
填空题
12. y  2x 113. 2414. 64
15. 解：（1） f (x)  2 sin x cs x  3 cs 2x
 sin 2x  3 cs 2x
 2 sin（2x   ）4 分
3
（如果化简过程写在第二问，则在第二问中加 2 分，下面直接求值即给 4 分）
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
B
C
A
D
B
9
10
11
BD
ABD
ACD
f (
3
)  2 sin 
3

3
…6 分
（说明：向量的数量积对了给 1 分，二倍角公式对了给 1 分；若函数没有化简，直接算出答案给 4 分）
（2）由（1）知2 sin（2x   ） 1
3
sin（2x   ） 18 分
32
2k5
 2x 
63
 2k 
, k z
6
…11 分
所以k  
4
 x  k  7
12
, k  z
即不等式的解集为[k  
4
, k  7 ], k  z13 分
12
16.（1）在四棱锥 P-ABCD 中，
∵PA=PD，PA⊥PD，∴三角形 PAD 为等腰直角三角形.
取 AD 中点 O，连接 OB.则 OP⊥AD2 分
5
∵四边形 ABCD 为正方形，∴OB=，OP=1，∴OB2+OP2=PB2.∴OP⊥OB.4 分
又∵OB∩AD=O，且 OB,AD  平面 ABCD，∴OP⊥平面 ABCD6 分
又∵OP  平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 ABCD7 分
（2）法一：（建系）由（1）得，如图，以 OA 为 x 轴，垂直 AD 为 y 轴，OP 为 z 轴.
P（0,0,1），B（1,2,0），C（-1,2,0），D（-1,0,0）9 分
（建系正确，并给出两个点坐标，给 2 分）
∴ DP  (1,0,1)，DC  (0,2,0)，PB （1,2,1）
设平面 PCD 的一个法向量为n  (x, y, z) ，
DP  n  x  z  0

DC  n  2 y  0
,令z  1,则n  (1,0,1) ，12 分
（若法向量错误，有法向量运算列式，给 2 分）
∴ cs
PB, n

PB  n
3
| PB |  | n |3
3
∴直线 PB 与平面PCD 所成角的正弦值为
3
…15 分
（答案错误，有向量运算公式，给 2 分）
BQ  QP
法二：（补型）直三棱柱 PAD-QBC，可证BQ  QC  BQ  平面PDCQ

∴∠BPQ 为直线 PB 与平面 PDC 所成角的平面角.
2
6
在 RtPBQ中， sin BPQ  QB 3
2
PB3
法三：（等体积）由VBPDC
 VPBCD
得： 1  S
3
PDC
 dB
 1  S 3
BDC
 OP ，解得： dB
.
∴ sin   dB
PB
3
2
6
3
（以上法二、法三不同解法，酌情给分）
17.（1）a=0.035； x =76.56 分
（a 和 x 各 3 分）
P(65.5  Z  98.5)  0.9545  0.6827  0.6827  0.818610 分
2
P（X  2） 2  1  1
5410
P（X  3） 3  2  1  2  3  2  1  3
54354310
P（X  4） 2  3  2  3  3
5435
…13 分
E( X )  2  1  3 3  4  3  715 分
101052
（分布列对直接给 3 分，分布列错，一个概率对给 1 分，E（X）错的话，有列式给 1 分）
18.（1）法一：当n  1时， a1  2
 2Sn  n(2  an )
X
2
3
4
P
1
10
3
10
3
5
 2Sn1  (n 1)(2  an )
(n  2)
2an  2Sn  2Sn1  nan  (n 1)an1  2
(n  2)an  (n 1)an1  2  0
(n  3)1
an 
n 1
an1 
n  2
2
(n 1)(n  2)
 02
an  2  an1  2  0（n  3）3
n 1n  2
 an  2  是常数列，设该常数为 k，则a
 k(n 1)  2，（n  2) ，
 n 1 n

a2  k  2 ， a2  a1  k 也符合上式，因此an 是等差数列。5 分
法二：
 2Sn  n(2  an )
 2Sn1  (n 1)(2  an ) (n  2)
2an  2Sn  2Sn1  nan  (n 1)an1  2
(n  2) an  (n 1)an1  2  0 ①1
2Sn2  (n  2)(2  an-2 ) (n  3)
(n  3)an-1  (n  2)an2  2  0 ②2
② - ①
an  an2  2an1 4
则数列an 是等差数列5 分
法三：
当 n  1时，解得a1  2
当 n  3时， 2S3  （3 2  a3)  3(a1  a3)
即（2 a1  a2  a3 )  3(a1  a3 )
2a2  a1  a3 , a1, a2 , a3 成等差数列1
猜想 an  a1  (n 1)d, d  a2  a1
n  1, 2, 3时，a1, a2 , a3 成等差数列，猜想显然正确，
假设n  k（k  3) 时猜想正确
即a  a  (k 1)d , S  ka  k(k 1) d2
k1k12
则当n  k 1时，2Sk1  (k 1)(a1  ak1)
（2 Sk  ak 1 )  (k 1)a1  (k 1)ak 13
2ka1  k(k 1)d  (k 1)a1  (k 1)ak 1
（k 1)ak 1  (k 1)a1  k(k 1)d4
 k  3,k 1  0
ak 1  a1  kd  a1 [(k 1) 1]d
n  k 1时，猜想也正确，
综上所述， an  a1  (n 1)d, 对n  N * 都成立，…5
an 是等差数列
1
(2）（Ⅰ） a2  a1  3  2  1，an  2  (n 1) 1  n 1 ， bn  n  3n ，7 分
（说明：算出a1 给 1 分，算出 an 给 1 分，若第一问没写出来，直接用第一问结论解决第二问，同样可以得分）
设数列bn 的前 n 项和为 Hn
n
H  1 32  2  33  3 34  n  3n1①
3Hn 
②  ①
1 33  2  34  (n 1)  3n1  n  3n2②
n
 2H  32  33  34  3n1  n  3n2 8
 9(1 3n ) 
1 3
n  3
n2
 3n2  9 
2
n  3
n2
10
 (1  2n)  3n2  9 
Hn 
2
(2n 1) 3n2  9
4
…11 分
（2）(Ⅱ）插入的k 项之和为： 21  22  2k  2k1  2 ;
新数列{cn}为： a ,21, a ,21,22 , a ,a ,21,22 ,2k , a ，12 分
123k
k 1
将此数列分成若干组， a ,21 为第一组； a ,21，22 为第二组；…… a ,21，22 ,,2k 为第 k 组
1
ak 与 ak 1 之间的 k 项数列的和为：
2
2（1- 2k ) 
1- 2
k
2k 1  2
数列C 取到 a 后的第 k 项时： n  k  k 1  k(k  3)
nk22
前 k 组之和为：
2
k
Tn  a1  21  a  21  22  a  21  22  2k
1
 (a1  a2 ak )  (22  23  24 2k 2k)
2k
 k(2  k 1)  4(1 2k ) 

21 2
 k 2  k  8 
2
2k 2
………………………………………………………………………………………… 15 分
Tn 显然随 k 的增大而增大，
当 k=8 时， n  64  24  44 ， T =10480 时，
当x (0, a)时，f ' (x)  0；当x (a,)时, f ' (x)  0 f (x)在(0，a)上单调递减，在(a,)上单调递增
…6 分
（2）
由（1）得，当 a≤0 时， f (x)单调，不可能有两个零点.
∴a>0，此时 f (x)min  f (a) 1 (1 a) ln a  a  (1 a)(ln a 1)
∵ x  0或  时， f (x)   ，∴只需 f (a)  0即可
∴ 0  a  1 或a  110 分
e
要证： x1  x2  2a ，只要证 x2  2a  x1
∵显然0  x1  a  x2 ，∴ 2a  x1  a
又∵ f (x)在（a， ）单调递增，∴只要证 f (x2 )  f (2a  x1)
又∵ f (x1)  f (x2 ) ，即证 f (x1)  f (2a  x1)
∵ x1 (0, a)
∴只要证 g(x) 
f (x)  f (2a  x)  0 ，对 x (0, a) 恒成立.
∵ g' (x)  f
' (x)  f
' (2a  x) 
(x 1)(x  a) x2
 (2a  x 1)(a  x) (2a  x)2
 2(x  a)2 (x2  2ax  2a)
x2 (2a  x)2
∵ x (0, a) 时， x2  2ax  2a  0恒成立
∴ x (0, a) 时， g' (x)  0恒成立，g(x)在(0，a)单调递减
而 g(a)  f (a)  f (a)  0 ，∴ g(x)  0对x （0，a）恒成立
即 x1  x2  2a 成立15 分