浙江省台州市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试卷

这是一份浙江省台州市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了06等内容，欢迎下载使用。
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共 58 分）
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知一组数据为：1，2，2，3，3，3，4，6，8，9，则该组数据的第 70 百分位数是
A．4B．5 C．6D．7 2．在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则
C．
B．
D．
若变量 与 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 ， ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
B． C． D．
已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到．依据 的独立性检验，结论为
（第 5 题）
变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过
变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过
变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过
变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．
A．
已知正方体的 8 个顶点都在球的球面上，且过， ， 三点的平面截球所得截面面积为 ，则球的体积为
D．
在 的展开式中，设含 项的系数为 ，则 除以 8 的余数为
A．1B．3C．5D．7
，
，
如图，在 中，
， 分别交， 于 ， 两
点，交 于点，记 的面积为 ， 的面积为 ，则
C．
B．
A．
D．
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
已知复数 ， ，为虚数单位，则
当 时，为纯虚数B．
的最大值为
若复数满足，则一定为实数
某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件．甲生产线的产量占全部产量的，乙生产线的产量占全 部产量的，甲生产线的次品率为 6%，乙生产线的次品率为 3%．现从该工厂生产的零件中随机抽取一件，设事件 表示“抽到的零件为次品”，设事件 表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机变量
则
B．C．D．
已知直线 ， ， ，点 ， 位于的两侧，现将半平面沿直线 翻折，
设二面角 的大小为， ， ，则
当时， 为钝角B．当 时，
当 时， 的最小值为
翻折过程中，不存在某个位置，使得
非选择题部分（共 92 分）
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知某校高二年级有 50 人参加市高中数学联赛，其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间 内的人数为．
已知函数 ，则关于 的方程的解集为．
用 4 种不同的颜色给如图 8 个方格涂色，要求有公共边的方格不同色，则不同的涂色方法一共有
种．（用数字作答）
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）在一个口袋中装有 2 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中随机摸出 2 个球，设随机变量为摸到红球的个数．
求恰好摸到 2 个红球的概率；
求的分布列及数学期望．
，
．
16．（15 分）已知函数
当 时，求证：函数 是奇函数；
当 时，求的最小值．
17．（15 分）为了研究某地区高三学生的学习与生活，随机抽取了该地区部分高三学生，并对其一周内的睡眠时长进行统计分析，得知该地区高三学生一周内的日均睡眠时长（单位：小时）服从正态分布 ．
若从该地区随机抽取 1 名高三学生，求其日均睡眠时长不低于小时的概率（精确到 ）；
，则
，
若从该地区随机抽取名高三学生，假定一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立，记事件“至少有 1 人日均睡眠时长不低于小时”，且 ，求 的最小值．
参考数据：①若随机变量服从正态分布
，
．
；②
，
，
18．（17 分）如图，在三棱锥 中，， ， ．
求的值；
求证：平面平面 ；
当 时，求直线与平面 所成角的正弦值．
19．（17 分）已知函数，其中， ．
若 ，求不等式 的解集；
若对任意 ，恒成立，求 的最大值；
若对任意 ，恒成立，求 的取值范围．
台州市 2025 学年第二学期高二年级期末质量评估试题答案
数 学2026.06
选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
9
10
11
BCD
ABD
ABC
选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．1613．14．4116
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）解：（1）由题意知，服从超几何分布，
因此，恰好摸到 2 个红球的概率为． 4 分
，
，
（2）的所有可能取值为 0，1，2，因为服从超几何分布，所以
由（1）知， 10 分得的分布列为：
故
． 13 分
16．（15 分）（1）当 时， ，定义域为，
因为 ，即
，
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
A
B
C
D
B
所以函数 是奇函数． 7 分
（2）由函数解析式可得
，，
得，由 ，得 ，
根据基本不等式，，
当且仅当，即时， 取到最小值． 15 分 17．（15 分）（1）因为日均睡眠时长服从正态分布 ，
所以，
故其日均睡眠时长不低于小时的概率为 ． 6 分
（2）由已知，一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立，因此， ，
因为，所以，即，得，又因为，
所以的最小值为 3． 15 分
18．（17 分）（1）法一：因为，，且 ，
所以 ，
即，得 ，故． 5 分法二：设 ，取 中点，连接 ，
是
则
的中位线，得 ，
因为是 的中点，所以也是 的中点，
由已知 ，得 为等腰三角形，即 ，
又因为 ，所以．
设 ，连接 ，
，
，
由（1）知， ，因此， ，又因为 ，所以点为 的中点，在 和 中， ，
因此， ，得 ，
因为点为 的中点，所以 ，
由已知 ， 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面平面 ． 11 分
不妨设 ，则 ，
在 中， ，得，
在 中， ，得，
，
，
在 中，
由（2）知， 平面 ， 平面 ，得平面 平面 ， 设点 在平面 内的射影为，则点在直线 上，且平面 ，
，
，
连接 ， ，则 为直线与平面 所成角，在 中，易知，
得，即 ，
中，
，
因此， ，
在
故直线与平面 所成角的正弦值为． 17 分 19．（17 分）（1）当 时，，
由 ，即，解得 ， 2 分由余弦函数图象知， ， ，
故不等式 的解集为 ， ． 4 分
，
，
由二倍角公式得，设
，
，
则问题等价于：对任意 ，存在实数 ，使得不等式恒成立，记
①当时，因为函数 的图象开口向上，
所以 的最大值为 ，
得
且
，即 ，
因此，要存在实数，则 ，得，
当时， ，此时函数恒成立；
②当时，易知；
综上， 的最大值为 1． 10 分
，
，
由（2）知，设
，
，
则问题等价于：对任意 ，不等式恒成立，记
①当 时，因为 ，所以关于的方程 在上有两个不同的解，
或
，
，且
，则
否则，与矛盾，不妨设，则当 时，
，
，
不成立，因此，当 时，不满足条件；
②当时，问题等价于：对任意 ，不等式恒成立，易知，当时，取到最大值 2，得，
因此，当，时，对任意，不等式恒成立；
，
，故
综上，
． 17 分