浙江省台州市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试题含答案

这是一份浙江省台州市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了06等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C A B C D B
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9 10 11
BCD ABD ABC
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．16 13． 14．4116
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）解：（1）由题意知， 服从超几何分布，
因此，恰好摸到 2 个红球的概率为 ． 4 分
（2） 的所有可能取值为 0，1，2，
因为 服从超几何分布，所以 ， ，
由（1）知 ， 10 分
得 的分布列为：
故 ． 13 分
16．（15 分）（1）当 时， ，定义域为 ，
因为 ，即
，
所以函数 是奇函数． 7 分
（2）由函数解析式可得
， ，
得 ，由 ，得 ，
根据基本不等式， ，
当且仅当 ，即 时， 取到最小值 ． 15 分
17．（15 分）（1）因为日均睡眠时长 服从正态分布 ，
所以 ，
故其日均睡眠时长 不低于 小时的概率为 ． 6 分
（2）由已知，一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立，
因此， ，
因为 ，所以 ，即 ，得 ，
又因为 ，
所以 的最小值为 3． 15 分
18．（17 分）（1）法一：因为 ， ，且 ，
所以 ，
即 ，得 ，故 ． 5 分
法二：设 ，取 中点 ，连接 ，
则 是 的中位线，得 ，
因为 是 的中点，所以 也是 的中点，
由已知 ，得 为等腰三角形，即 ，
又因为 ，所以 ．
（2）设 ，连接 ，
由（1）知， ，因此， ，
又因为 ，所以点 为 的中点，
在 和 中， ， ， ，
因此， ，得 ，
因为点 为 的中点，所以 ，
由已知 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ． 11 分
（3）不妨设 ，则 ，
在 中， ，得 ，
在 中， ，得 ，
在 中， ， ，
由（2）知， 平面 ， 平面 ，得平面 平面 ，
设点 在平面 内的射影为 ，则点 在直线 上，且 平面 ，
连接 ， ，则 为直线 与平面 所成角，
在 中，易知， ， ，
得 ，即 ，
因此， ，
在 中， ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 17 分
19．（17 分）（1）当 时， ，
由 ，即 ，解得 ， 2 分
由余弦函数图象知， ， ，
故不等式 的解集为 ， ． 4 分
（2）由二倍角公式得 ，设 ， ，
则问题等价于：对任意 ，存在实数 ，使得不等式 恒成立，
记 ， ，
①当 时，因为函数 的图象开口向上，
所以 的最大值为 ，
得 且 ，即 ，
因此，要存在实数 ，则 ，得 ，
当 时， ，此时函数 恒成立；
②当 时，易知 ；
综上， 的最大值为 1． 10 分
（3）由（2）知 ，设 ， ，
则问题等价于：对任意 ，不等式 恒成立，
记 ， ，
①当 时，因为 ，所以关于 的方程 在 上有两个不同的解 ，
，且 ，则 或 ，
否则 ，与 矛盾，
不妨设 ，则当 时， ， ，
不成立，因此，当 时，不满足条件；
②当 时，问题等价于：对任意 ，不等式 恒成立，
易知，当 时， 取到最大值 2，得 ，
因此，当 ， 时，对任意 ，不等式 恒成立；
综上， ， ，故 ． 17 分