江苏扬州市2025-2026学年高一第二学期期末调研数学试卷

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1.（ ）
A. B. C. D.
2.若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数为3，方差为5B. 平均数为4，方差为11
C. 平均数为4，方差为12D. 平均数为3，方差为12
3.已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
6.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知正五边形内接于半径为2的圆，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于统计量的说法正确的有（）
A. 一组数据的众数唯一B. 一组数据的平均数唯一
C. 一组数据的第60百分位数唯一D. 一组数据的方差越大，数据波动越小
10.已知，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B.
C. ，，使得D. 的最大值为
11.如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 平面
C. 二面角的大小为
D. 若为线段上的一动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A，B相互独立，且，则 ．
13.在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为 ．
14.在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，，，，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
16.(本小题15分)
如图，正方体中，．
(1)若点为棱的中点，求证：平面平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．
17.(本小题15分)
某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）：

(1)求条形图中的频数m，n；
(2)从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率；
(3)若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差．
18.(本小题17分)
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
(1)求的值；
(2)已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且．
①若，求角的大小；
②求面积的最大值．
19.(本小题17分)
如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】0.16
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1），，且，
，
即，整理得，
所以；
（2）由，，可得，即，
则，解得，，
，，则，
，
．

16.【答案】解：(1)如图，连接，，．
正方体，
四边形为正方形，平面，平面，
且，平面，，
平面.
，平面，.
设正方体的棱长为2，则，，，
由勾股定理得，，，
，.
（方法一），平面，，平面，
平面平面平面.
（方法二）由得二面角的大小为，
所以平面平面.
(2)如图，连接，过点作交于，
则为平面与正方体上表面的交线．
正方体，
平面平面，且，
∴四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，
，
.

17.【答案】解：（1）由题意，总人数为50，0次频数：；
2次频数：；3次频数：；4次及以上频数：3；
所以1次频数：；
（2）用分层抽样法抽取的5人中，使用自行车1次的居民有人，记为，，
使用2次的居民有人，记为，，．
记“2人使用次数不同”为事件，
样本点表示“抽取的两人为，”，
则样本空间：
，共10种，
其中，共6种，
所以，；
（3）记30名男性样本为，平均数为，方差为；
记20名女性样本为，平均数为，方差为；
所有样本的总平均数为，方差为，样本容量为50．
（次），
则
.

18.【答案】解：（1）由，利用正弦定理得，
可得，
则，即，由正弦定理得，；
（2）①由（1）得，由题意知为的中点，故，即，
，，
由于角的平分线交于，故，而，
可得，结合，可得，，
不妨设，，
在中，由余弦定理可得，，
即，
在中，,
即，和联立，得，
则,
在中，，，则；
②在中，不妨设，，，，
得到，
可得，即，
同理在中，，所以，
则，，
而，
即，，
故，
由于，，故，则，
故，即，
当且仅当取得等号，则最大值为．

19.【答案】解：(1)延长交于，连接．
，，，
，，
∵点为等边的重心，，为的中点，
，平面，，
平面，即平面；
（2）∵正三角形中，，，，
，
，，，
，，
；
（3）作于，连接．
平面，平面，，
，平面，，平面，
，，
，
与所成角的正弦值为，且，
，，
过点作交于，所以与所成角的正弦值为．
，，即．
使用次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
频率
0.1
a
0.3
b
c