新高考数学二轮复习专项训练圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题（2份，原卷版+解析版），共3页。
A．直线B．两条射线C．椭圆D．双曲线
【答案】B
【详解】由题可知，，
因此动点P的轨迹为两条射线，
故选：B.
例2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】依题意得，圆，圆心，半径为；
圆，化为标准方程为，圆心，半径为；
设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，
因此，，
由此可得；
因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆；
所以，椭圆的短半轴长，
因此动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A.
例3．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为，所以两圆相内切于点，
设动圆的圆心为，半径为，则，
，
因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点），
所以该动圆的圆心的轨迹方程为.
故答案为：
例4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知，则的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】圆的方程可化为，
设圆心的坐标为，则满足，
由，得，且，
所以，圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
例5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为 ，的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由为中点，则，故，
故动点的轨迹为以为原点，半径为的圆，即为；
对，令，解得，故过定点，
对，令，解得，故过定点，
又，故，故，
故点在以为直径的圆上，又中点为，
，且直线斜率存在，
则点的轨迹方程为（除点），
由为中点，则，则，
又，，，
，则，
由，点在直线上，
故，
即，则.

故答案为：；.
变式1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ）
A．抛物线B．双曲线的一支C．椭圆D．圆
【答案】C
【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为，
由题意得圆：，圆：，
则，，，
所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）.
故选：C.
变式2．（2025·江苏·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经点，且轴交于另一点，与轴交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知：为圆的直径，所以圆心坐标为，半径为，
因为点在圆上，所以，
整理得.
故选：C.
变式3．（25-26高三上·福建泉州·月考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】解法一：当直线斜率存在时，设点，，直线斜率为，弦中点坐标为，
则，作差得，即①，
又因为抛物线的焦点，所以②，
联立①②得，即，
当直线斜率不存在时，易知线段的中点为，在上，
所以所求轨迹方程为，
故答案为：
解法二：抛物线的焦点为，设点，，
若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，
则设直线的方程为，
联立得，，
则，所以，
设线段的中点为，则，，即，
所以，化简可得，
所以线段的中点的轨迹方程为，
故答案为：
变式4．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知椭圆，直线，为直线上一点，射线交于点，点在上，且有，当点在上移动时，点的轨迹方程为 ．
【答案】（不含原点）
【详解】设，且，则，由，
可得，从而，则，结合，
可得.又由题可得，，故，，
将分别代入中，可得，，
所以点的轨迹方程为，即（不含原点）．
故答案为：（不含原点）．
变式5．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设线段的中点为，点的坐标为.
因为是的中点，所以可得，即.
因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得：
故答案为：.
考点二 离心率问题
例1．（25-26高二上·陕西汉中·月考）如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可知
方法一：因为，
则，
即，可得，所以椭圆的离心率.
方法二：由在以为直径的圆上可设，则，
易知，则，
所以，即，可得，所以椭圆的离心率.
故选：A.
例2．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线，与的两支交于两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知双曲线的焦点在轴上，过作圆的切线，设切点为，
因为，所以在双曲线的右支上.如图，
则，且，，由勾股定理知.
设，则，.
设，
由，即，得.
在中，
.
由正弦定理得，
所以，.
又，
所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
例3．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过点的直线与C的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【详解】的周长为.
因为周长的最小值为8a，所以可得的最小值为.
因为直线过点，所以当时，取得最小值.
令，得，则，解得.
故的离心率为.
故选：A
例4．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】
，
因为。所以，
所以，
所以
故答案为：
例5．（25-26高三上·辽宁·期末）已知为椭圆的左焦点，过且斜率为的直线与 在第四象限相交于点，设为坐标原点，若为等腰三角形，则的离心率为 .
【答案】
【详解】由直线的斜率为可得，所以，
因为为等腰三角形，点在第四象限，设，其中，
若，可得，整理得，
因为，所以，矛盾，舍去；
若，可得点在的垂直平分线上，
因为，与矛盾，舍去；
所以为等腰三角形，点在第四象限，可得，
又因为，
由余弦定理得，可得，
如图所示，设椭圆的右焦点为，连接则，
在中，由余弦定理得，则，
由椭圆的定义可知，即，即，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.

例6．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【详解】
连接，因为点分别为和的中点，
所以，
又，
所以
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
又代入上式，
整理为：，
双曲线的离心率.
故答案为：
变式1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知，点，
则线段的方程为，则，
在线段上取一点，
则，
所以
，
由 ，得，
因为，所以，
从而，整理得，即，
即，即，结合，解得.
故选：B
变式2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知椭圆的左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【详解】不妨设E的半焦距为c，记右焦点为T，易知，，
由定义知，
记，显然其为锐角，故由，解得，在中由余弦定理得
，
于是，即，
可得离心率或.
故选：A.
变式3．（25-26高三上·河北·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】不妨设，记，，，由，得，
在中，由余弦定理，得，两式相减，得，
因为为的中点，所以，
所以，又，所以，
所以，又，所以，解得，
所以.
故选：D
变式4．（25-26高三上·河南南阳·月考）双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为
【答案】或
【详解】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，
不妨设双曲线的标准方程为，则，
设过的直线与圆相切于点，则在中，，
且点位于双曲线的右支，如图所示，

在中，由正弦定理得，
，
又，
，
在中，，
即，
化简得，即.
当直线与双曲线交于一支时，如图，

设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以为锐角，
，，，
过作直线的垂线，垂足为，
由此可得：，，
设，由，得，，
，，
由于，得：，
解得：，
所以.
故答案为：或
变式5．（25-26高二上·陕西延安·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．若椭圆上存在点P，使得，该离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，且，代入得：
，，即，
则：，
因为椭圆上的点到焦点的距离范围为（，且），
则的范围：，将代入，
两边同时除以得：
该不等式可拆分为和，
当时：因 ，，且 ，故该不等式恒成立，
当时，得，解得（负根舍去），
结合椭圆离心率，可得.
所以离心率的取值范围：.
故答案为：.
变式6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】设直线与双曲线的两个交点坐标分别为、，
联立可得，
由题意可得，整理可得，可得，
故双曲线的离心率为，
即双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.
考点三 弦长问题
例1．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于A，B两点，若线段的中点为，求直线的方程及线段的长度.
【答案】(1)；
(2)直线的方程；.
【详解】（1）由椭圆：的离心率为，
得，则，
由椭圆过点，得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
（2）设交点坐标，，，
因为线段的中点为，所以，.
因为，两式相减得，
又因为，可得，即，
所以直线AB的方程为，即.
联立方程，消去y得，
可得，，，
所以.
例2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，的面积是，所以，
点在椭圆上，解得，
故椭圆的方程为.
（2）依题意得，设直线，
联立消去得，
由解得，
设，，则，，
所以，
因为，所以，
所以，即的取值范围是.
例3．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆：（）过点与，是椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点（点不在轴上），直线交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的焦距.
由题意可得，解得.
因为，所以，
则椭圆C的离心率为.
（2）由椭圆的对称性不妨设点，，直线的方程为，.
由得，则，，
故.
因为，所以，所以，
所以，所以，
则，即的取值范围为
例4．（25-26高二上·四川成都·期末）已知为坐标原点，双曲线的实轴长为2，且经过点.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围；
(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足?若存在，求出圆的半径，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)的方程为.
(2).
(3)存在，圆的方程为，半径为.
【详解】（1）双曲线的实轴长为2，，即，
又双曲线经过点，，解得，
故的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，
将其代入双曲线方程，得，
又，解得，
此时，
当直线的斜率存在时，设其方程为，设，
联立，
故，
则
化简，得，此时，
，
当时，此时，
当时，此时，
，，故，
因此，
综上可得.
（3）存在，理由如下：
设直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，即,
设，
联立，
根据韦达定理，得，
又总满足，根据切线的性质和双曲线的对称性可知，即，
又，，即，
要使上式对任意的都成立，则，解得，
故圆的方程为，半径为.
当或斜率不存在时，此时，显然满足题意.
综上，圆的方程为，半径为.
变式1．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，当时，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，
又由点在双曲线上，有，
代入，有，可得，，
故双曲线的标准方程为.
（2）设，两点的坐标分别为，
当时，

联立方程，消去后整理为，
则，可得，.
所以.
变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设双曲线，
因为，
所以，直线的方程为，
联立方程解得，
故，
又因为，
所以，
所以，则，
而．
所以双曲线C的标准方程为；
（2）如图所示：

法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为，
1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍），
2）当存在时，设直线的方程为，即，
联立方程得①，
设，则，
因为为中点，所以，，解得，
故直线的方程为，即，
将代入①，得，
则，
，
故直线的方程为，弦长，
法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
为线段的中点可知，直线的方程不是，
设，直线的斜率为，
由，得，
所以，
因为为中点，则
即，
直线的方程为，即，
联立方程，得，
则，
，
故直线的方程为，弦长.
变式3．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是抛物线的焦点，是上的一点，且.
(1)求的方程.
(2)已知点均在上，且点与均不重合.
（i）若直线经过点，且，求直线的方程.
（ii）若直线与直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）是定值，定值为.
【详解】（1）抛物线的焦点，点在抛物线上，
则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）（i）由（1）知，抛物线的方程，焦点，
直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去并整理得，设，
则，
，解得，
所以直线的方程为，即.
（ii）由（1）得，设，，
直线的斜率，
由直线与直线的倾斜角互补，得，则，
因此，直线的斜率，
所以直线的斜率是定值，该定值为.
变式4．（25-26高三上·上海·期中）已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若点的坐标为，求 的面积；
(3)证明：.
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为拋物线，
所以，
故焦点坐标为，准线方程为.
（2）如图，

设过，抛物线的切线方程为，
则，即，
联立，可得，
所以，解得，
所以切线方程为，
令，可得，即,
所以.
（3）设，过该点切线方程为，
则，可得，
联立方程，可得，
由，即，解得，
因为，所以，
由抛物线的定义知，，
所以.
考点目录
轨迹方程问题
离心率问题
弦长问题