2025-2026学年甘肃省陇南州徽县第一中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年甘肃省陇南州徽县第一中学高二（下）期中数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色，每个花色均有数字从2～6的5张牌）中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，则不同的抽取方法有（ ）
A. 960种B. 1440种C. 1920种D. 2880种
2.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则P（N|M）=（ ）
A. B. C. D.
3.若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413.为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值=3.2，样本方差s2=1.44已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布N（2.8，1.44），假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（ ）
A. P（X＜4）＞P（Y＞2）B. P（X＜4）+P（Y＞2）＜1.68
C. P（X＜4）＜P（Y＞2）D. P（X＜4）+P（Y＞2）＞1.68
4.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种.
A. 216B. 360C. 432D. 672
5.的二项展开式中x的系数是（ ）
A. 35B. -35C. 21D. -21
6.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分X的取值分别为0，1，2，若E（X）=1，P（X≥1）=0.9，则D（X）=（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
7.将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（ ）
A. 60种B. 180种C. 150种D. 300种
8.已知数列{an}的各项均不为0，其前n项积为Tn，且，记数列的前n项和为Sn，则S2026=（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某校高一年级开设了文学社、科创社、体育社、艺术社、辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. 艺术社的学生人数有120人
B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人
C. 从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为
D. 调查结果显示文学社、科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81
10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则（ ）
A. B. B与C互斥C. A与B相互独立D. A与D互为对立
11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量Xn为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定Xn=0.例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2，故X4=2.则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线y=ln（2x）在点处的切线也是曲线y=ex-1+x-a的切线，则a= .
13.已知圆M：（x-1）2+（y-2）2=9，P，Q为圆M上的两个动点，A（2，3）为圆M内的一点，若，则线段PQ中点的轨迹方程为 .
14.（1-3x）（x-2y）5的展开式中x4y2的系数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f（x）=sin（2x+φ），（0＜φ＜π）.
（1）当时，求函数y=f（x）的对称中心；
（2）若f（x）为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）过点，设g（x）=2sin2x+3acsx-4，若对任意的x1∈[0，π]，，都有g（x1）-f（x2）＜3，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
17.(本小题15分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为.
（1）求甲连续打前四局比赛的概率；
（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；
（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X，求X的分布列和期望.
18.(本小题15分)
如图，三棱台ABC-A1B1C1中，侧面四边形ACC1A1为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC=2A1C1=4，设D为棱A1C1上的点.
（1）若D为棱A1C1的中点，求证AC⊥BD；
（2）若三棱台ABC-A1B1C1两底面间的距离为，且侧面ACC1A1⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x.
（1）当a=0时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＜0时，证明；
（3）若对任意的不等正数x1，x2，总有，求实数a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】1．
13.【答案】
14.【答案】-120
15.【答案】，k∈Z
16.【答案】解：（1）∵C的坐标为（，），
∴，即，
∵，
∴a2=（）2=2，即b2=1，
则椭圆的方程为+y2=1．
（2）设F1（-c，0），F2（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF2：y=-x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2-=0，
解得x=0，或x=，
∵A（，-），且A，C关于x轴对称，
∴C（，），
则=-=，
∵F1C⊥AB，
∴×（）=-1，
由b2=a2-c2得，
即e=．
17.【答案】解：（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，
第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为；
第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为；
第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为，
所以甲连续打前四局比赛的概率为：；
（2）设事件A：前四局中第二局乙获胜，事件B：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，
对于前四局中第二局乙获胜：
第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为；
第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为，
所以，
在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空．
第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为，
第四局：乙、丙对打，概率为1，
所以，
根据条件概率知：；
（3）由题意知得分X的可能值为：0，2，4，6，
，，
，，
所以X的分布列为：
所以得分 X的数学期望为：．
18.【答案】证明：如图：取AC中点O，连接OB，OD，

因为四边形ACC1A1为等腰梯形，且D为A1C1中点，所以AC⊥OD，
又△ABC为正三角形，所以AC⊥OB，
OB，OD⊂平面BOD，OB∩OD=O，所以AC⊥平面BOD，
又BD⊂平面BOD，
所以AC⊥BD 存在，当D与A1点重合时，直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为
19.【答案】y=2x-1．
f（x）的定义域为（0，+∞），导函数；
当a＜0时，令f′（x）=0，解得：，
因此当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，
因此函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
因此；
要证，那么只需证，
即证；
设函数g（x）=lnx-x+1（x＞0），那么导函数，
因此当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，
因此函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，因此g（x）max=g =0．
又，所以，故．
X
0
2
4
6
P