2026年高考天津卷数学高考真题（原卷版＋解析版）

这是一份2026年高考天津卷数学高考真题（原卷版＋解析版），共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
第I卷（选择题）
注意事项：
（1）每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
（2）本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件，互斥，那么．
·如果事件，相互独立，那么．
·棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高．
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题可得,
又，
则.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由，解得：或，
即当时，成立，当时，不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
3. 调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（ ）
A. 与负相关B. 当时，一定为1359
C. 当时，一定小于1359D. 两变量无线性关系
【答案】A
【解析】
【详解】衡量两个变量 x,y 线性相关强弱与方向，取值范围：
−1≤r≤1
r=1：完全正线性相关，所有点在递增直线上
r=−1：完全负线性相关，所有点在递减直线上
r=0：无线性相关（不代表无任何关系，可能曲线相关）
∣r∣ 越接近 1，线性拟合效果越好（最小二乘直线越贴合散点）
因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，
所以y与x负相关，所以A正确，D错误；
当时，，所以约为，
所以B，C错误.
4. 函数部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，
对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；
对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；
对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；
对C选项，在中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
5. 正方体中，错误的是（ ）
A. B. 面C. 面D. 面
【答案】D
【解析】
【分析】A项，通过证明四边形是平行四边形，即可证明结论；B项，通过，，即可证明平面；C项，通过证明平面，平面，即可证明结论；D项，假设垂直，得出平面，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论.
【详解】由题意，
在正方体中，
对于A项，
，，
∴四边形是平行四边形，
∴，A正确；
对于B项，
由几何知识得，，，
，平面，平面，
∴平面，故B正确；
对于C项，
∵，平面，平面，
∴平面，
由几何知识得，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴平面平面，C正确；
对于D项，
假设平面平面，则交线为，
此时有，
∴平面，
∵平面，
∴，
连接，，
由几何知识得，，则，故
在中，由几何知识得，，
∴三角形为等边三角形，，矛盾，
故D错误.
6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】由题意可得
所以.
故.
7. 的最小值为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】依题意得，由基本不等式，，
当且仅当，即，时，等号成立,
所以的最小值为9.
8. 已知，，则（ ）
A. 68B. 56C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果.
【详解】因为，所以
当时，，即；
当时，，即；
因为已知，所以；
当时，，即，所以；
当时，，即，代入得，.
所以
9. 已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率.
【详解】如图，过点作垂直于轴，垂足为，
因为，所以，所以，
又，所以，
根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则，
将点坐标代入双曲线方程得：，
整理得，
将代入上式，整理得，
两边同时除以，整理得，解得（舍去）.
第II卷（非选择题）
注意事项：
（1）用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
（2）本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 化简__________．
【答案】
【解析】
【详解】.
11. 展开式中的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解.
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，
所以当时，，所以的系数为.
12. 在中，，，，则__________．
【答案】##
【解析】
【详解】在中，，所以，
由正弦定理可得.
13. 箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.
【详解】由题意，
一空：
箱子里一共有6个球，其中黄球2个，不是黄球共4个。
有放回抽取，每次取到非黄球的概率为，
三次都没取到黄球的概率：.
二空：
设事件表示三次都没取到黄球，事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，
，
∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：，
，
∴，
∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.
14. 已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【详解】由题意，，，，
一空：
当时，，
∴，
∴.
第二空：
将代入得，
两边平方，得：，
展开：，
将，代入，设，
，
令，，，
则原式变为：，
配方得：，
由于 ，，因此 ，
即 ，解得，
，
因此，的取值范围为：.
15. 在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______．
①若与抛物线焦点重合，则；
②；
③；
④；
⑤
【答案】②④
【解析】
【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.
【详解】
由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等.
设抛物线上任意两点，其中.
当时，直线的斜率，
则直线方程为，
令，则直线与轴的交点横坐标
特别地，当时，，
此时直线垂直于轴，也成立，
因此，直线与轴的交点横坐标（）.
①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为，
故由式可得，即，故①错误；
②由题意直线与直线交轴于点，
则由式可得点横坐标，
可得，故②正确；
③由题意直线交轴于点，直线交轴于点，
则由式可得
，
则，
故，故③错误；
④由式可得，
当点与均不为原点时，即，且，
当点或为原点时，则点也重合于原点，此时；
则结合②结论可知，，
则有，故④正确；
⑤因为，可知，则，
，
如图，
当时，不成立，故⑤错误；
故答案为：②④
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知．
（1）求最小正周期；
（2）若，求的最大值和最小值；
（3）若，，求．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【小问1详解】
；
【小问2详解】
若，则，
当，即时，函数有最小值，即，
当，即时，函数有最大值，即.
所以函数的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
，
若，，所以，
则，，
则.
17. 长方体中，，，，，．
（1）求证：面；
（2）求面与面的夹角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；或由面面角的向量求法可得；
（3）由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积；或由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积.
【小问1详解】
如图，过点作//,交于点，
则有,.
连接,则四点共面,平面即平面.
由，，可得与相似,
所以，则可得,所以.
长方体中，平面，
因为平面，所以.
又,平面，所以平面
【小问2详解】
过点作//,交于点，则有，，
连接，则四点共面，平面即平面.
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则
，，所以，
所以.
取的中点P，则，所以，
，所以.
所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角.
又，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【小问3详解】
由，，得，
所以.
所以的面积为.
由（2）知，平面的一个法向量为，
点C到平面的距离为.
所以三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积为.
18. 已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为．
（1）求的标准方程；
（2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
由于椭圆的离心率为，所以，即，
由于，所以，
将代入椭圆方程，得，即，解得，即，
由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示，
由（1）可知，，所以圆的方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
椭圆上顶点，分两种情况讨论：
①当时，直线的方程为，代入椭圆方程，
化简得，解得或，
当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时.
②
当时，直线的方程为，代入椭圆方程，
化简得，解得或，
则当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时；
综上所述，的值为.
19. 已知等差数列与等比数列满足：，，，．
（1）求数列，通项公式；
（2）记，，或，记为中的元素个数．
（i）求；
（ii）求．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；
（2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，
所以，即，解得或（舍去），
所以
【小问2详解】
（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，
根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，
小于的正偶数有个，由得，，
所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，
所以.
（ii）当时，中小于等于的项有个，
当为奇数时，中小于等于的项有个，为偶数时，中小于等于的项有个，，
所以，
所以，
从到共有项，
当为奇数时，
所以
，
所以
令①，
则②，
①-②得
，
所以，
所以
20. 已知．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明；
（3）求实数的最大可能值，使得对任意的都成立．
【答案】（1）
（2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可；
（2）令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论；
（3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立.
【小问1详解】
由于，
所以，，
则曲线在点处的切线方程为：，
即；
【小问2详解】
令，则，
当时，令，
所以，因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，由于，
所以，
则在上单调递增，
则，即在恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即在成立，
故在成立，
当时，，，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立；
综上，在上恒成立
【小问3详解】
①当时，若,恒成立，
此时原不等式右侧，只需证明：，
由（2）问结论可得：
对于二项式展开，
两边取对数，，
又
因此，
②当时，设
构造函数，
则，
令，
所以，
由于在上单调递增，
所以，则在上单调递减，
故，则在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立；
令，所以，
所以在上单调递增，则，当且仅当时取等，
即在上恒成立.
故，
令，则，
对于，令，则，
变形得，
裂项求和得，
对题设不等式左边取对数放缩：
，
对题设不等式右边取对数放缩：：
当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件；
所以原不等式成立，则最大值为.