新高考数学二轮复习重难题型解题提升练专题15 韦达化和非对称韦达的处理（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11439" 题型01 韦达化处理 PAGEREF _Tc11439 \h 1
\l "_Tc22770" 题型02 非对称韦达 PAGEREF _Tc22770 \h 4
题型01 韦达化处理
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·江西上饶·一模）已知双曲线的焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程.
2．（2024·河北石家庄·二模）已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线的实轴长为2，设为的右焦点，为的左顶点，过的直线交于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9．
(1)求的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为，证明：为定值．
4．（2025·河北邯郸·二模）已知为圆上一点，F21,0，线段的垂直平分线交半径于点，记动点的轨迹为曲线，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为.
(1)求曲线的标准方程；
(2)过上一点作斜率为的直线，交双曲线于、两点，且恰好为线段的中点，求出点的坐标；
(3)若直线与曲线交于、两点，求面积的取值范围.
5．（2025·江西新余·一模）平面直角坐标系中，点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若不过点的直线交曲线于P，Q两点；
①若以P，Q为直径的圆过点，证明：直线过定点；
②在①条件下，作为垂足.是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
8．（2025·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.
①求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
题型02 非对称韦达
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·浙江绍兴·三模）设双曲线C：（，）的一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为1．，分别为双曲线的左、右顶点，直线过点交双曲线于点，，记直线，的斜率为，．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证为定值．
2．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆的方程是.
(1)若直线与椭圆交于两点，为椭圆上任意一点，直线、斜率分别为、，求；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点.直线，作于点证明直线过定点，并求出点坐标.
3．（2024·河南新乡·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．
(1)求的渐近线方程．
(2)点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点．
①求直线的方程；
②证明：点到直线的距离为定值．
4．（24-25高三上·湖北·期末）已知椭圆的左，右焦点为，点是椭圆上任意一点，的最小值是．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）设直线与直线交于点，直线的斜率为，试探究满足的关系式．
一、解答题
1．（24-25高三上·广东潮州·期末）设为抛物线：的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点．
(1)若与有且仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)若与交于，两点，且，求的面积．
2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，且到直线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点，直线与交于点．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）当两点均在的左支上时，直线与交于点，直线与直线交于点，求的面积的最小值．
4．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点．
(1)求的离心率；
(2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程；
(3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用．
5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，，直线与直线交于点，证明：，，三点共线.
6．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距为，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，和的面积分别为，，记
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标；
(3)若，设直线AP和直线BQ的斜率分别为，，求的取值范围．
7．（24-25高三上·河北沧州·期末）平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到轴的距离多1．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若点C为，过的直线l与点的轨迹交于A，B两点（A，B与C不重合），直线，与直线交于点，．证明：以为直径的圆在上截得的弦长为定值．
8．（24-25高三上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作轴的垂线与曲线在第一象限的交点为，过点的直线与曲线相切，且与轴交于点.
（i）点是曲线上异于的一点，且，求直线的方程；
（ii）过点且斜率不为0的直线交曲线于两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，求证：轴.
9．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）设椭圆.已知点，在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点（在右侧），且与线段交于点.
（i）证明：；
（ii）当为中点时，求直线的方程.
10．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值；
(3)直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点．
11．（24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，渐近线方程为
(1)求C的方程；
(2)过的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线交C于另一点P，
①若，求点P的坐标；
②是否存在常数，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
12．（24-25高三上·广西河池·期末）设抛物线的焦点为，点，直线交于，两点，且．
(1)求的标准方程；
(2)已知，是抛物线上的任意两点，过点，分别作在点，处的切线交于点，
①证明：，，成等比数列；
②证明：．
一、常见韦达化处理
倘若定点，在椭圆上的动点，那么：
（1），此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解.
（2）,这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
（3）.
（4）面积计算
①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）
=（直线为斜截式y=kx+m）
=
②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
注：注意直线代换中直线反设法的应用，即设
1、在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构。
2、但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．