新高考数学一轮复习考点讲练测第2章第05讲 对数与对数函数（八大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第2章第05讲 对数与对数函数（八大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共6页。
\l "_Tc167730697" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc167730697 \h 2
\l "_Tc167730698" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc167730698 \h 3
\l "_Tc167730699" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc167730699 \h 4
\l "_Tc167730700" 知识点1：对数式的运算 PAGEREF _Tc167730700 \h 4
\l "_Tc167730701" 知识点2：对数函数的定义及图像 PAGEREF _Tc167730701 \h 5
\l "_Tc167730702" 解题方法总结 PAGEREF _Tc167730702 \h 6
\l "_Tc167730703" 题型一：对数式的运算 PAGEREF _Tc167730703 \h 6
\l "_Tc167730704" 题型二：对数函数的图象及应用 PAGEREF _Tc167730704 \h 8
\l "_Tc167730705" 题型三：对数函数过定点问题 PAGEREF _Tc167730705 \h 14
\l "_Tc167730706" 题型四：比较对数式的大小 PAGEREF _Tc167730706 \h 16
\l "_Tc167730707" 题型五：解对数方程或不等式 PAGEREF _Tc167730707 \h 18
\l "_Tc167730708" 题型六：对数函数的最值与值域问题 PAGEREF _Tc167730708 \h 21
\l "_Tc167730709" 题型七：对数函数中的恒成立问题 PAGEREF _Tc167730709 \h 25
\l "_Tc167730710" 题型八：对数函数的综合问题 PAGEREF _Tc167730710 \h 29
\l "_Tc167730711" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc167730711 \h 36
\l "_Tc167730712" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc167730712 \h 38
\l "_Tc167730713" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc167730713 \h 41
\l "_Tc167730714" 易错点：无视对数函数中底数和真数的范围 PAGEREF _Tc167730714 \h 41
\l "_Tc167730715" 答题模板：对数型复合函数的单调问题 PAGEREF _Tc167730715 \h 41
知识点1：对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
【诊断自测】（2024·青海·模拟预测）若，，则（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】A
【解析】由，
所以
故选：A
知识点2：对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
(12)对数函数的图象与性质
【诊断自测】（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（ ）
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D．三、四象限
【答案】D
【解析】当时，，
则当时，函数图象过二、三、四象限；
则当时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数的图象一定经过三、四象限.
故选：D
解题方法总结
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)

题型一：对数式的运算
【典例1-1】已知，则 .（用含的式子表示）
【答案】
【解析】因为，所以，又，
所以
.
故答案为：
【典例1-2】（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则 .
【答案】100
【解析】由于，整理得，①，
又，②，
所以①+②得：；
即
对于取常用对数可得，，
故.
故答案为：100.
【方法技巧】
对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．
【变式1-1】化简下列各式：
(1)；
(2).
【解析】（1）原式.
（2）原式
.
【变式1-2】已知，，则 .（用表示）
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以
.
故答案为：
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】3
【解析】依题意，，
则．
故答案为：3
题型二：对数函数的图象及应用
【典例2-1】已知函数① y＝lgax；② y＝lgbx；③ y＝lgcx；④ y＝lgdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋aB．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.
【典例2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，由得，
所以令，这3个函数图象情况如下图所示：
设交于点，交于点，
由于的图象关于直线对称，
而的交点为，所以，
注意到函数的对称轴为直线，即，
且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，
从而.
故选：B.
【方法技巧】
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.
【变式2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，为减函数，且过定点，
故函数的大致图象不可能为BCD选项.
故选：BCD.
【变式2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，
由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
结合图象可知，A错误；
由题意知，也即，
由于函数和互为反函数，
二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点，
故关于对称，故，B错误；
由，故，C错误；
因为，故，
结合，即得，D正确，
故选：D
【变式2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】作出的图像如图：
当时，由，得，
若互不相等，不妨设，
因为，
所以由图像可知，
由，得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【变式2-4】（2024·高三·北京·开学考试）已知函数，给出下列四个结论：
①，使得有两个零点；
②若，则有两个零点；
③，使得有两个零点：
④，使得有三个零点；
以上正确结论的序号是 .
【答案】③④
【解析】
首先我们分别作出和当时，即的图像，将直线图像绕定点按要求旋转分析，我们发现不存在，使得有两零点，故①不正确；
由上图可得我们可得当时，此时的零点为2，且仅有一个，故②不正确；
若，则当函数与直线的图象相切时，设切点横坐标为，此时，则，得到方程组化简得，易得，则此时有两个零点，图像见下图，故③正确；
当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图像如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，故④正确.
故答案为：③④.
【变式2-5】已知函数，若且，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】画出的图象如图：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由图象得在上为减函数，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
题型三：对数函数过定点问题
【典例3-1】函数 (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为对数函数(且)恒过定点，
所以函数 (且)的图象必过定点.
故选：C.
【典例3-2】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【解析】当时，，
所以，函数过定点，得，
所以，，
因为，，
所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为8.
故选：B
【方法技巧】
恒过定点．
【变式3-1】函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．3C．7D．4
【答案】A
【解析】对于函数，
当时，，所以，
则，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A
【变式3-2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】因为，所以函数图象过的定点为，
将其代入直线方程得，即，
又，
所以，
当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.
故选：C.
【变式3-3】（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
题型四：比较对数式的大小
【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，
，
则，
故选：C.
【典例4-2】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，∴，
因为，∴，
∴．
故选：D．
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式4-1】（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
，
，
，.
故选：C.
【变式4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，，，因为在定义域内单调递增，
所以，即，
因为在定义域内单调递减，所以，即，
因为在上单调递减，所以，即，
综上：.
故选：D
【变式4-3】（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故.
令，则.
当时，，单调递减，
则，即.
故.
故选：A.
【变式4-4】（2024·江西·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，可得，
令，，
所以，
设，，，
作出它们的图象如图：
由图可知.故选项A正确.
故选：A.
题型五：解对数方程或不等式
【典例5-1】方程的解是 .
【答案】
【解析】由方程，可得，
，解得.
故答案为：
【典例5-2】不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】设函数，
则应有，解得，所以，定义域为.
又，
所以，由，可得.
因为以及均在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，.
综上所述，.
所以，不等式的解集为.
故答案为：.
【方法技巧】
（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．
【变式5-1】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】设，其定义域为，
和在均为增函数，
则在为增函数，且，
，即，，
不等式的解集是.
故答案为：.
【变式5-2】方程：的解是 .
【答案】
【解析】因为，即，所以，
即，解得，则，或无实根.
故答案为：
【变式5-3】不等式的解集是 .
【答案】或
【解析】原不等式可化为，即，
∴，于是，亦即或，
∴或，故解集为或
故答案为：或
【变式5-4】不等式的解集是 .
【答案】
【解析】由可得，
又恒成立，恒成立，
所以不等式等价于，即，也即；
可得，所以，解得.
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-5】由函数的观点，不等式的解集是 .
【答案】
【解析】由不等式，可得，
令，可知的定义域为，
因为在定义域上单调递增，
可知在定义域上单调递增，且，
对于不等式即为，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
题型六：对数函数的最值与值域问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值，
由于开口向上，
故需函数在区间上有最小值，且．
该函数图像的对称轴为直线，所以，
解得，
所以，且，即实数的取值范围为．
故选：B．
【典例6-2】已知函数的最大值为2，则 ．
【答案】6
【解析】因为函数由与复合而成，
而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，
由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．
故答案为：
【方法技巧】
对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决.
【变式6-1】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为 .
【答案】/
【解析】由题意知，，解得，
因为，
因为，则，又因为的最小值为－4，
则，所以，
即，得，因为，所以.
故答案为：.
【变式6-2】已知函数 (且).
(1)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
(2)是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）当时，函数恒有意义，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，所以.
又且，所以.
（2）函数在区间上有意义，
则在上恒成立．
由（1）同理可知，，
又函数在区间上为减函数，并且最大值为.
当时，为减函数，
则且在上单调递增，
所以，即，故不存在这样的实数；
当时，为增函数，
则且在上单调递减，
所以，即，故不存在这样的实数.
综上，不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为.
【变式6-3】已知函数的最大值为，则函数的最小值为 （结果用表示）
【答案】
【解析】因为，所以，
则，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，
所以的最小值为．
故答案为：.
【变式6-4】已知函数且是奇函数．
(1)求的值；
(2)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由函数且是奇函数，
可得，即，可得，
经验证：当时，，满足，
此时函数为奇函数，符合题意.
（2）由，可得为单调递减函数，
因为对任意有恒成立，
即对任意有恒成立，
设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
当时，即时，此时函数在区间上单调递增，
则，解得；
当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值，
则，解得，因为，此时无解；
当时，即时，此时函数在区间上单调递减，
则，解得，因为，此时无解；
综上可得，实数的取值为.
（3）由，可得，解得或（舍去），所以，
则，
设，则，
当时，可得，此时，
又由，
则当时，在上的最小值为；
当时，在上的最大值为；
设，
当时，函数在处取得最小值，
此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，
综上可得，不存在这样的实数，使得其成立.
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例7-1】已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为若对任意，都有，
所以对任意，都有，
令，则在上单调递增．
首先.
因为在上递增，所以在上递增．
当时，显然符合题意；
当时，令，
则在上递增，所以，则.
综上所述，，故D正确．
故选：D．
【典例7-2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】变形为：，即在上恒成立，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图像，
要想满足在上恒成立，只需，即，
解得：，综上：实数a的取值范围是.
故选：C
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式7-1】已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意知，
因为，
其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，
其最小值，
当时，，在上的最小值为，
则由得，
当时，，在上的最小值为，
则时，无解，
故实数的取值范围为，
故答案为：.
【变式7-2】已知且，当时，，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，.
当时，成立.
当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以.
综上，的取值范围为.
故答案为：．
【变式7-3】已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
所以在，上单调递减.
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，，
令，则，
又因为与互为反函数，
所以、分别与的的交点关于对称，
所以，即：，
又因为，，
所以由零点存在性定理可知，，
又因为，即，
所以，
对于A项，因为，，
所以，故A项错误；
对于B项，因为，所以，
又因为，，
所以，故B项正确；
对于C项，因为，，所以，故C项错误；
对于D项，因为， ，，
所以，故D项错误.
故选：B.
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
所以；
当时，，
因为在上单调递增，为增函数，
所以在上单调递增，
又在上为增函数，所以在单调递增，
所以.
综上，在上恒成立，当且仅当时取等号.
所以不等式，
解得且且，即原不等式的解集为.
故选：D
【方法技巧】
对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
【变式8-1】已知函数，，则 ．若方程的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数，，则，所以；
显然函数的图象关于直线对称，如图，
函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
当，即或时，，点关于直线对称，
当且时，函数的图象关于直线对称，
因此函数（）的图象关于直线对称，
由于函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，函数值集合为R，
在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为R，
于是函数在上单调递减，函数值集合为R，在上单调递增，函数值集合为，
在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
当时，直线与函数的图象有3个交点，方程的所有实根和为6；
当且时，直线与函数的图象有4个交点，方程的所有实根和为8；
当时，直线与函数的图象有6个交点，方程的所有实根和为12；
当时，直线与函数的图象有2个交点，方程的所有实根和为4，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：；
【变式8-2】设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题设，的图象如下图示：
令，则化为，
∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，
∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，
综上，.
故答案为：.
【变式8-3】已知函数.
(1)求的定义域；
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）要使函数有意义，则，解得，
所以的定义域为；
（2）因为，所以，
，因为，所以，
所以当时，，
对于函数，，
若，则函数在定义域上单调递减，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以，则，
因为，所以，无解；
若，则函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以，
则，又，所解得；
综上，的取值范围为.
【变式8-4】（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】C
【解析】由已知条件可知，，，
令，，，
如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点， ，
则点，关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.
故选：C.
【变式8-5】给出函数，
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，且，求的取值范围；
(3)若，非零实数，满足，求证：.
【解析】（1）若，则不等式为，
即，所以，解得或，
所以不等式的解集为.
（2）设，可得其定义域是，
则，所以是偶函数，
设，则，，
故，所以，
因为，所以，即，
故在上是严格减函数，
又因为，所以是偶函数，且在上是严格减函数，
所以，不等式等价于，
由单调性可得，解得的取值范围是.
（3）若，则，
由得，
所以，所以.
设，则，，解得，，则.
要证，即证.因为，所以只需证，
即证：.
设，则，
所以在上是严格增函数，故，于是.
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
2．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
3．（2022年新高考天津数学高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】原式
，
故选：B
4．（2022年新高考天津数学高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，故.
故答案为：C.
1．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【解析】（1）.
∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍
（2）由得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得.
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得解得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据，）
【解析】设经过个小时才能驾驶，则，
即，
由于在定义域上单调递减，
，
∴他至少经过5小时才能驾驶.
3．已知，，求实数a的取值范围.
【解析】解:,
当时成立；
②当时，解得．
又,
∴a的取值范围是．
4．比较下列各题中三个值的大小:
(1);
(2).
【解析】解:(1) 因为,
且,故
(2)
,
同理可证.
5．假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元,下表给出了两种价格增长方式,其中是按直线上升的房价,是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
【解析】解:(1)设,则,
.
(2)设(,且),则.
.
(3)图象如图.
由图象可以看出,在前10年,按增长的价格始终高于按增长的价格,但10年后,的价格增长速度很快,远远超出的价格并且时间越长,差别越大.
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围
易错分析： 忽略“对数的真数大于0”这一个条件导致出错，面对这类题一定要注意真数和底数的范围.
【易错题1】解不等式.
【解析】因为函数在定义域内是单调增函数,解不等式,即所以需要满足,解得即,所以不等式的解集为.
【易错题2】的定义域为，求实数的取值范围.
【解析】由题意中函数的定义域为,
即需要满足恒成立,
故有,解得,即,
所以函数的定义域为的取值范围为
答题模板：对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【典例1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减，
所以且，解得．
即实数a的取值范围为
故选：B
【典例2】已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，即由和复合而成，
而在上单调递增，
故要使得函数在上单调递减，
需满足在上恒成立，且在上单调递减，
即得，解得，即，
故选：A
【典例3】（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
考点要求
考题统计
考情分析
（1）对数的概念及运算性质
（2）对数函数的图象
（3）对数函数的性质
2024年II卷第8题，5分
2024年北京卷第7题，4分
2024年天津卷第5题，5分
2023年北京卷第11题，5分
2023年I卷第10题，5分
2022年天津卷第6题，5分
2022年浙江卷第7题，5分
2022年I卷I卷第7题，5分
从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.
复习目标：
（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
（3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数．
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
t
0
5
10
15
20
/万元
20
30
40
50
60
/万元
20
40
80