2026年山东省统考中考数学真题含解析

这是一份2026年山东省统考中考数学真题含解析，共13页。试卷主要包含了本试卷共8页，满分120分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列实数中，比1大的数是（ ）
A. B. 0C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．
根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A. 甲的跳绳成绩总是高于乙
B. 甲的跳绳成绩的众数为184
C. 甲的跳绳成绩的中位数小于乙
D. 甲的跳绳成绩的方差小于乙
9. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（）
A. B. C. D.
10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 对任意实数，总成立
D. 若点，在抛物线上，则
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：________．
12. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________．
13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________．
14. 如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，…，．若…，则________．
15. 如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的面积为________．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
17. 如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
18. 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
19. 如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
20. 某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：
【调查内容】
【数据处理】
信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】
（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
21. 我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）．
【应用探究】
（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）．
22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
（1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为．
①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
23. 在中，，．
【观察与发现】
（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【思考与探究】
（2）如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】
如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度．
二〇二六年全省初中学生学业水平考试（山东统考）
数学试题
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列实数中，比1大的数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数大小比较，只需将各选项的数与1比较，即可得出结果
【详解】解：∵负数小于正数，0小于正数，
∴，，
又∵，，
∴只有比1大
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形．
3. 山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，只需按要求确定和的值即可．
【详解】解：．
4. 如图所示几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义，从物体的正上方往下看，分析看到的平面图形形状及线条即可．
【详解】解：从上面看，该几何体的俯视图为：
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到正确结果．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误；
B、，运算正确，∴B正确；
C、，∴C错误；
D、，∴D错误．
6. 如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
在中，
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果．
【详解】解：
．
8. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．
根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A. 甲的跳绳成绩总是高于乙
B. 甲的跳绳成绩的众数为184
C. 甲的跳绳成绩的中位数小于乙
D. 甲的跳绳成绩的方差小于乙
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况（方差）进行判断即可．
【详解】解：由图可知，甲的成绩为：；乙的成绩为：；
对于A，第3天甲的成绩小于乙的成绩，故A错误；
对于B，甲的成绩中出现了2次，出现次数最多，众数是，故B错误；
对于C，甲的成绩从小到大排列为，中位数为；
乙的成绩从小到大排列为，中位数为；
，
甲的中位数大于乙，故C错误；
对于D，甲成绩的波动范围比乙成绩的波动范围小，故甲的跳绳成绩的方差小于乙，故D正确．
9. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了，设出发后分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可
【详解】解：由图象可知，小英在内行走了，
小英的速度为，
∵小杰在内行走了，
小杰的速度为，
小英途中停留了，
小英再次出发的时刻为第，此时路程为，
设小英追上小杰的时刻为出发后，
根据题意得：，
解得，
两人从起点出发，
小英追上小杰的时刻是．
10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 对任意实数，总成立
D. 若点，在抛物线上，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则.
顶点的坐标为，
对称轴为直线，即，
，即，故A错误；
设抛物线的解析式为 .
令，得，即抛物线与轴的交点坐标为.
由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，
， 解得，故B正确；
根据图象得：当时，取得最大值为：，
对任意实数，，
∴，故C错误；
∵对称轴为，
∴，，
当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
12. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________．
【答案】##720度
【解析】
【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据多边形内角和公式 代入计算即可．
【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数，
根据多边形内角和公式，得．
13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ．
【详解】解：已知方程为 得 或 ，
解得，，
方程的一个根是，
，
因此方程的另一个根为2．
14. 如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，…，．若…，则________．
【答案】
【解析】
【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件得出，进而发现的数值规律，求出的值即可求解．
【详解】解：联立，
解得（负值舍去）
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
15. 如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】先由折叠和推出 ，从而四边形是菱形，得 且为中点，再利用菱形及中点构造中位线得到且，结合可证并求得，最后通过面积法求，利用相似三角形求出，从而算出的面积．
【详解】解：连接，作，
，点是边的中点，
，根据折叠可知，
，，
，
，
由折叠可知，
，
，
由折叠可知，
，
四边形是菱形，
，
设交点为，
为中点，
，且，
，
，
，
在中，，
，
，
设交点为，
，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进而用面积和相似计算三角形面积．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17. 如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
在中，点E是的中点，
∴．
同理．
∵，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵点E，F，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，结合，根据，即可证明；
（2）根据三角形中位线的性质可得 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
18. 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】（1）描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元．
（2）购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元．
【解析】
【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解；
（2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组：
，
解得：，
答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元．
【小问2详解】
设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个．
，
解得（为整数）．
设总费用为，则．
因，则随增大而增大，故当时，最小．
（元）
此时内画瓶数量为，最少费用为元．
答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元．
19. 如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的直径，
∴是的切线．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得，进而判断，由即可得出，由此判定是的切线．
（2）连接，过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，利用求出，在中根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：连接，过点作，垂足为，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，解得：，（负值不合题意已经舍去），
∴，
设的半径为，即，则，
∵在中，，
∴，解得：，
答：的半径为，
【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”．
20. 某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：
【调查内容】
【数据处理】
信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】
（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
【答案】（1）参与调查的学生总数为50人，补全条形统计图如下：
（2）采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人
（3）两人恰好选择同一领域的概率为
（4）优先开设学生选择人数较多的主题②“读书长廊地面铺设设计”和主题④“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究．（言之有理即可）
【解析】
【分析】（1）由图可知，主题①的人数为5人，对应占比为，据此即可求解参与调查的总人数，由主题⑤的占比为可得主题⑤的人数，再利用总数减去已知的人数可得主题③的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据采用“上网查询”的方式解决困难的占比即可求解；
（3）通过列表可得一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，即可求解；
（4）根据抽查结果可知，选择主题②和主题④的占比更多，据此可以给出建议．
【小问1详解】
解：参与调查的学生总数为（人），
选择项目⑤的学生人数为(人)，选择项目③的学生人数为（人），补全条形统计图略．
【小问2详解】
解：（人），
∴采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人．
【小问3详解】
解：设分别用表示科技、交通、经济三个领域，
列表如下：
由表可得，一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，
∴两人恰好选择同一领域的概率为．
【小问4详解】
略
21. 我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）．
【应用探究】
（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出，根据，结合正切定义，求出结果即可；
（2）设，则，则中，根据，得出，求出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意可得：，，
∵，
∴，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：根据题意得：，，，，，，，
∴，
∴中，，
即，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴中，，
即，
解得：，
∴，
答：城门楼的顶端到地面的距离约为．
22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
（1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为．
①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
【答案】（1）如图，建立平面直角坐标系．
函数表达式为；
②的取值范围为
（2）丙的平均速度为米/秒
【解析】
【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解；
②当时，，由题意得，，即可求解；
（2）当时，，求得，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，，设函数表达式为：，
把代入，得，
解得，
∴函数表达式为：．
②当时，，
由题意得，，
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
∴的解集为；
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
∴的解集为或；
由题意得，，
综上所述，的取值范围为．
【小问2详解】
解：当时，，
解得，（舍去），
∴丙的平均速度为（米/秒）．
23. 在中，，．
【观察与发现】
（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【思考与探究】
（2）如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）或2
【解析】
【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论；
（2）证明，得出，，证明，得出，，根据，即可得出答案；
（3）延长，并取点N，使，过点G作于点M，根据中位线的性质得出，，设，则，，，解直角三角形求出，，根据勾股定理得出：，求出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：延长，并取点N，使，过点G作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，，
∴或2．
关于项目式学习活动的调查问卷
问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）
①绘制校园平面地图 ②读书长廊地面铺设设计 ③测量校园内旗杆高度
④制定旅游最优路线 ⑤体育运动与心率的关系探究
问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）
A．查阅文献 B．上网查询 C．同伴合作 D．寻求指导 E．专业咨询问题
问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？
解决困难的方式
A
B
C
D
E
选择人数
32
41
33
35
28
关于项目式学习活动的调查问卷
问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）
①绘制校园平面地图 ②读书长廊地面铺设设计 ③测量校园内旗杆高度
④制定旅游最优路线 ⑤体育运动与心率的关系探究
问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）
A．查阅文献 B．上网查询 C．同伴合作 D．寻求指导 E．专业咨询问题
问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？
解决困难的方式
A
B
C
D
E
选择人数
32
41
33
35
28
A
B
C
A
B
C