新高考数学二轮复习专题培优训练专题10 导数（易错点+九大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题培优训练专题10 导数（易错点+九大题型）（2份，原卷版+解析版），共5页。
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对数单身狗、指数找基友
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】公切线求参
【题型二】 “过点”切线条数
【题型三】 切线法解题
【题型四】 恒成立求参
【题型五】 能成立求参
【题型六】 零点与隐零点
【题型七】 双变量问题
【题型八】 构造函数求参
【题型九】 极值点偏移
导数在新结构试卷中的考察重点偏向于小题，原属于导数的压轴题有所改变，但导数在高考中的考察依然属于重点，题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结合着构造函数的思想，而如何构造就需要学生对出题人的出题思路再根据构造函数的思维从而进行推理，是不简单的知识点。
易错点：对数单身狗、指数找基友
在处理含对数的等式、不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，从而避免了多次求导. 这种让对数“孤军奋战”的变形过程，俗称之为“对数单身狗”.
目标希望是这样的：由；
在处理含指数的等式、不等式时，通常要将指数型函数与其它函数（乘或除）结合起来，这样再对新函数求导时，就避免了多次求导. 俗称之为“指数找朋友”或“指数常下沉”.
乘法：；
除法：.
例 已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【解】原不等式等价于对所有都成立.
构造函数，则；
（上面的变形应用了含参的二次三项式的“十字相乘法”分解）
令，解得（区间端点），．
当即时，，在，所以，满足题意；
当即时，在，所以，不合题意；
综上，实数的取值范围是．
变式1：已知函数．
⑴当时，求曲线在处的切线方程；
⑵若当时，，求的取值范围．
⑴【解】当时，，，
因为，，所以曲线在处的切线方程为．
⑵【解】当时，等价于（对数单身）；
构造函数，则，注意到；
（分子不好分解，分子的，分子的对称轴）
当，即时，因为，所以分子，即；
所以，在上，故；
当，即时，分子的判别式；
由分子，解得两根，；
注意到，所以，；
从而，当时，，在上减，，不满足恒成立．
综上，的取值范围是．
【题型一】公切线求参
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．

【例1】（2023·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】由函数，
可得，
因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，
可得为偶函数，所以，解得.
故选：C.
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意知，因为切线与直线垂直，
所以曲线在点处的切线斜率都是，
即关于的方程有两个不相等的正实数根，
化简得，有两个不相等的正实数根，
则，解得.
故选：A.

【变式1】（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 .
【答案】
【详解】函数在处的切线斜率为则切线方程为，
函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即，
由题意有①且②，故，，
从而，整理得，
所以，即.
代入式②，得，即.
故答案为：
【变式2】（2024·四川泸州·三模）设函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若总存在两条直线和曲线与都相切，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【详解】（1），，
令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）∵
∴在处的切线方程为，
∵，
∴在点处的切线方程为，
由题意得，则，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且当时，，
所以时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
若总存在两条直线和曲线与都相切，
则曲线与轴有两个不同的交点，
则，所以，
此时，而，
故，
所以的取值范围为.
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线与的公切线的条数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)2条
(2)
【详解】（1）设的切点分别为，
则，
故在切点处的切线方程分别为，
则需满足；
,故，
解得或，
因此曲线与有两条不同的公切线，
（2）由可得，
即对于恒成立，
，结合解得
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，故在上单调递减，
所以，
所以，由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于 ，所以，
故在单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得
【题型二】 “过点”切线条数
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
【例1】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，
所以在点处的切线方程为.
又切线过原点，则，所以.
故答案为：
【例2】（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，即时，，解得，
时，，无解，故，
设过点与曲线相切的直线的切点为，
当时，，则有，
有，整理可得，即，
即当时，有一条切线，
当时，，则有，
有，整理可得，
令，
则，
令，可得，
故当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
由，
，故在上没有零点，
又，
故在上必有唯一零点，
即当时，亦可有一条切线符合要求，
故.
故选：B.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若曲线（且）有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得．
设切点为，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程，得，
所以，即．
显然，所以．
设（且），则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在和上分别单调递增．
又当时，，当时，，且的极小值为，所以的大致图象如图．
由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点，结合图象可知，所以，所以．
故选：C．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】A
【详解】设切点为，
由可得，
则过坐标原点的切线的斜率，
故，即，
解得，故过坐标原点的切线共有1条．
故选：A．
【题型三】 切线法解题
涉及到交点或者零点的小题题型，函数图像通过求导，大多数属于凸凹型函数，则可以用切线分隔（分界）思维来求解。切线，多涉及到“过点”型切线，
【例1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【详解】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l:2x垂直，
，
解得.
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值;
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为，
所以，解得；
（2）由可得，所以．
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，0，
所以，．
由零点存在定理可得使得，使得，
所以函数有两个零点．
【变式1】（2024·四川攀枝花·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，则．
而，所以．
所以在处的切线方程为，即．
（2）因为，且
所以，所以．
因为，，
所以．
所以．
因为，所以，
所以．
设．
则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，．
所以，
所以，即．
【变式2】（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．
(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以．
则曲线在点处的切线斜率为．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得，．
（2）设函数，，
则，
设，则，
所以，当时，，单调递增．
又因为，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，
所以，当时，．
【题型四】 恒成立求参
不等式的恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
涉及到不等式整数解的问题时，要充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数解相邻整数点函数值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力.
在研究函数时用导数求极值研究极值时，无法正常求出极值点，可设出极值点构造等式或者方程作分析，进行合适的等量代换或者合适的换元消元消参，考查了分析推理能力，运算能力，综合应用能力，难度很大.
【例1】（2024·全国·模拟预测）不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，即，
设，
则，令得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，即，
则，当且仅当时，取等号，
又易知单调递增，，，
所以在上存在唯一零点，故，
又恒成立，则.
故答案为：．
【例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数是偶函数，不等式恒成立，则b的最大值为 ．
【答案】1
【详解】因为函数是偶函数，
所以，
所以，即，
化简得，
解得或，
又因为且，所以，
所以.
经检验，对任意恒成立，所以.
又因为，且为偶函数，
所以时，单调递增，时，单调递减，
所以在单调递减，在单调递增.
因为恒成立，
所以恒成立.
令函数，，
所以时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
所以，
所以恒成立，
所以恒成立，
即恒成立.
令函数，所以
所以时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以恒成立.
又因为，且，
所以存在，使得，
所以的解集为，
所以b的最大值为1.
故答案为：1
【例3】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
当时，，
故恒成立，所以；
当时，令，
解得（舍去负根），
令，得，此时单调递增；
令，得，此时单调递减．
综上所述：当时，在上单调递减;
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由恒成立，得在上恒成立，
所以在上恒成立．
令，
则．
令，
易知在上单调递减且，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围为
【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，函数．
(1)若直线与函数交于点A，直线与函数交于点B，且函数在点A处的切线与函数在点B处的切线相互平行，求a的取值范围；
(2)函数在其定义域内有两个不同的极值点，，且，存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)a的取值范围为
(2)的取值范围为.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，；
因为在处的切线与在处的切线相互平行，
所以，即在上有解，
所以在上有解，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以函数的值域为，
所以，
所以，
所以a的取值范围为；
（2）因为，，
所以，
所以；
因为是的两个极值点，
所以，，所以；
因为，，
则由得：，
所以，即，
所以；
令，则；
令，
则；
①当时，恒成立，在上单调递增，
所以，即恒成立，满足题意；
②当时，若，则，所以在上单调递减，
此时，即，不合题意；
所以由不等式恒成立，可得，又，
所以，
所以的取值范围为.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)证明：．
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）方法一：设，
则定义域为，；
与均为增函数，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
方法二：设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，即，
左右同时取对数得：，即，
，即．
（2）方法一：取得：，即，，
，，，下面证明恒成立，
即证明恒成立；
①当时，由（1）知：，只需证，
即证，即证，只需证，
即证；
令，则，
令，则，
在上单调递增，，，
即当时，，
当时，恒成立；
②当时，由（1）知：，只需证；
设，则，
在上单调递增，，即，
即当时，恒成立；
综上所述：当时，恒成立，
实数的取值范围为；
方法二：由已知得：恒成立；
设，
则，
令
当时，，，在上单调递减；
当时，由（1）知：，
令，则，
在上单调递减，，
，
，，
在上单调递增，
，，即实数的取值范围为．
【题型五】 能成立求参
对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
【例1】已知函数．
(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；
(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）若选①为条件：
函数的定义域为，令，即，则．
令，则直线与曲线有1个交点，且，
令，解得，
故当时，，当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
故当曲线有1个交点时，．
若选②为条件：
函数的定义域为，令，则，则．
令，则，
令，解得，
故当时，，当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
故方程仅有1个实数根，即曲线有1个交点．
（2）依题意，，即在上能成立，
令，则（提示：不等式能成立问题转化为函数最值问题）．
的值域为，且单调递增．
①当，即时，，∴在上单调递增，
∴，解得，与矛盾，；
②当，即时，，∴在上单调递减，
∴，解得；
③当时，存在唯一的，满足，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
解得，
与矛盾，．
综上所述，实数m的取值范围为．
【例2】已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，故．
则；而，
故所求切线方程为，即．
（2）依题意，，
令，，则函数在上的最小值小于0，．
①当，即时，，在上单调递减，
则函数在上的最小值，故，舍去．
②当，即时，， 在上单调递增，
所以在上的最小值，
解得，又，故．
③当时，即时，
在上单调递减，在上单调递增
所以在上的最小值为．
因为，所以，所以，
所以，不合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围为．
【变式1】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在正实数t，使得当时，有能成立，求的值．
【答案】（1）；（2）1.
【详解】解：（1）时，．
．
∴切线方程为：．
整理得：．
（2）．
令，得．
令．
（ⅰ）当时，为上的减函数，．
∴时，，递增．
又此时，故时，，递减．
时，，递增．
∴时，，递增．
由．故时，．
时，．
此时，存在使时，，满足条件．
（ⅱ）当时，，，递增．
此时，．
故存在使得．当时，递增．
∴时，，递减．
即时，，不存在，使时，．
（ⅲ）当时，，令，得．
∴时，递减，递减．
即时，，不存在，使时，．
（ⅳ）当时，在递减．递减．
故时，，不存在，使时，．
综上所述：．
【变式2】设函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，使得不等式能成立的实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）在区间，上单调递增，在区间上单调递减；（3）.
【详解】（1）∵，∴，
，切线方程为，
即.
（2）令，即，
得在区间，上单调递增，
在区间上单调递减.
（3）由（2）知，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，.
当时，不等式能成立，
须，即，故.
【题型六】 零点与隐零点
隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大．
解题思路：
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
【例1】已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－eq \f(3,2).
【详解】(1)解 因为f′(x)＝xex－a，
由f′(0)＝－1得a＝1.
又当x＝0时，f(x)＝－1，
所以切线方程为y－(－1)＝－1(x－0)，
即x＋y＋1＝0，所以b＝1.
(2)证明 令g(x)＝f′(x)＝xex－1，
则g′(x)＝(x＋1)ex，
所以当x