新高考数学一轮复习考点知识清单+巩固练习专题16 圆锥曲线的标准方程与几何性质（2份，原卷版+解析版）

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一、知识速览
二、考点速览
知识点1 椭圆
1、椭圆的定义
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c>0.
①当2a|F1F2|时，M点不存在．
2、双曲线的标准方程和几何性质
3、双曲线中的几个常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f(b2,a2).
（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.
（6）等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b;e＝eq \r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
（7）共轭双曲线
①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点3 抛物线
1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．
2、抛物线的标准方程与几何性质
3、抛物线中的几何常用结论
（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
一、椭圆定义应用的类型及方法
1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；
2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧；
3、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
【典例1】（2022高三·全国·专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是故选：B.
【典例2】（23·24高三上·云南·阶段练习）已知点为椭圆上的一个动点，点分别为椭圆的左、右焦点，当的面积为1时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，所以，
由余弦定理可得：，
所以，
整理得，即，
又的面积为1，所以，
所以，所以，
即，
所以，
又，所以，所以.故选：D.
【典例3】（22·23高三·云南·阶段练习）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【答案】C
【解析】由题意，当且仅当时等号成立，
所以，即，故最大值为.故选：C
【典例4】（23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习）（多选）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为7
C．的最小值为 D．的最大值为1
【答案】ABD
【解析】依题意，，所以，
的最小值，即是的长，当点在位置时取到，
所以的最小值为，故A正确；
设椭圆的右焦点为，所以，
则当点在位置时取到最大值，所以的最大值为，故B正确；
的最小值当在位置时取到，
即的最小值为，故C错误；
由，则当点在位置时取到最大值，
所以的最大值为，故D正确.故选:ABD
二、求椭圆标准方程的2种常用方法
1、根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；
2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 .
【答案】或
【解析】由于直线与坐标轴的交点为与．
①当焦点为，顶点为时，
此时椭圆焦点在x轴上，且，，所以
所以椭圆的标准方程为．
②当焦点为，顶点为时，
此时椭圆焦点在y轴上，且，，所以
所以椭圆的标准方程为．
综上所述，椭圆的标准方程为或．
故答案为：或．
【典例2】（22·23高三·全国·专题练习）经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为 .
【答案】
【解析】因为经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l，
所以直线l的方程可设为，
因为圆M的中心到直线l的距离等于2，所以，
因为短轴长是焦距的2倍，所以，
因此有，
所以椭圆M的方程为.
【典例3】（23·24高三上·广东揭阳·期末）已知椭圆E：（），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为 .
【答案】
【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：
由题意知：，直线AB的斜率为，即，
所以，.
由椭圆的性质知：，，则，所以，，
则，故直线AB的方程为.
联立，解得：或，
所以，故，
则，解得：.
又，所以，即，则E的标准方程为.
三、求椭圆离心率及其范围的方法
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。
【典例1】（23·24高三上·江苏泰州·期中），为椭圆的左右两个焦点，椭圆的焦距为，，若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,,,
因为在椭圆上，所以，
又因为
所以，
所以.故选：D.
【典例2】（23·24高三上·山东济南·开学考试）已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图，设的垂直平分线与交于点，
由题，，，，则，
，，
，，化简得，，
由，解得，，即.
故答案为：.
【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为椭圆上存在点P，使，
所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆必有交点，
如图，，所以，
又因为，所以，即，则，
又因为，所以，
所以椭圆的离心率e的取值范围为.
【典例4】（2023高三·全国·专题练习）设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，
由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即FA⊥FB，
所以四边形为矩形，所以，
设，，
在中，，，，可得，
所以，令，得．
又，得，
所以，所以，
结合，所以，所以，所以，
即椭圆C的离心率的取值范围为，故选：B．
四、解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。
【典例1】（23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．-4 D．4
【答案】A
【解析】设弦与椭圆交于，，斜率为，
则，，相减得到，
即，解得.故选：A.
【典例2】（22·23高三上·四川广安·期中）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意设，
代入椭圆方程可得；
两式相减可得，整理可得；
又因为的中点坐标为，可得；
因此过两点的直线斜率为，
又和的中点在直线上，所以，
即，可得；
又易知，且，计算可得；
所以椭圆的方程为，
代入的中点坐标为，得，
则其在椭圆内部，则此时直线与椭圆相交两点.故选：A
五、双曲线定义的应用
1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】设分别与圆相切于点，则，，，
所以，且，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点)，
这里，，，则，
故点的轨迹方程为.故选：A
【典例2】（2023高三·全国·模拟预测）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，且的延长线交轴于点，且，的内切圆半径为4，的面积为9，则（ ）
A．18 B．32 C．50 D．14
【答案】C
【解析】因为，所以，所以为直角三角形，
所以，因为，
所以．
因为的面积为9，所以，
因为，
所以，所以．
易知，所以，
所以．故选：C.
【典例3】（2023高三·天津南开·一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【解析】拋物线的准线为，
则点到准线的距离为，所以，
则，故，
设是双曲线的右焦点，
则，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.故选：D.
六、待定系数法求双曲线方程的五种类型
1、与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
3、与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；
4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)；
5、与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)
【典例1】（24·25高三上·浙江·开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为（），
代入点，得，
故所求双曲线的方程为，
其标准方程为．故选：A．
【典例2】（22·23高三上·湖南长沙·阶段练习）在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的标准方程为；
易得椭圆焦点坐标为，
又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，
由双曲线虚轴长为6可知，所以；
所以，双曲线的标准方程为.故选：B.
【典例3】（2023高三·海南·模拟预测）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.
因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.故选：B.
七、求双曲线的离心率或其范围的方法
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
当k>0时，k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝ eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)；当k0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若mb>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径
(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)