2025~2026学年山东德州市夏津第一中学高二下册5月月考数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年山东德州市夏津第一中学高二下册5月月考数学试题 [含答案]试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知数列满足，，则（）
A. B. C. 2D. 0
【正确答案】A
【详解】由已知，，，，
，，
.
2. 已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用回归直线过样本中心点求出的值，再利用残差的概念可得结果.
【详解】由表格中的数据可得，，
由于回归直线过样本中心点，所以，解得，
当时，，故当时的残差为.
3. 若数列{}的通项公式是则（）
A. 15B. 12C. - 12D. - 15
【正确答案】A
【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3，
故
4. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】依题意，，消去，得.
5. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（）
A. B. 3
C. 4D. 5
【正确答案】A
【详解】，
，
又函数在处的切线方程为，
，解得，则，
，
将点代入切线方程得，即，
．
6. 设函数的导数为，且函数，则（）
A. 3B. 2C. 1D.
【正确答案】A
【详解】由，得，
取，得，则，
所以.
7. 已知函数，与的零点分别为，，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解.
【详解】因为，所以在上单调递增，
因为，，
由零点存在定理，的零点，
因为，所以在上单调递增，
因为，，
由零点存在定理，的零点，
因为，令，得，
当时，，函数在内单调递增，
当时，，函数在内单调递减，
当时，，函数在内单调递增，
因为，，
因此，时，函数没有零点，
又因为，
由零点存在定理，的零点，
因为，
所以.
8. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围.
【详解】由及，得，
令函数，有，，
则函数在上为增函数，，，
当时，，当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围是.
故选：A
二、多选题
9. 下列说法正确的是（）
A. 残差是预测值减去观测值
B. 由列联表计算得到卡方值越大，则判断两个变量有关的把握就越大
C. 残差的带状区域越窄，拟合效果越好
D. 相关系数r越大，两个变量的相关性越强
【正确答案】BC
【详解】A，残差 = ，不是预测值减观测值，A错误.
B，（卡方）数值越大，偏离独立假设程度越高，
两个变量有关联的置信度、把握程度越大，B正确.
C，残差带状区域越窄，残差波动越小，模型对原始数据的拟合效果越好，C正确.
D，相关系数越接近，相关性越强；
仅数值大（如是很大的负数），代表强负相关，只说越大越强表述错误，D错误.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项.
【详解】由题意得，第层有个球，.
即，，，，
因为，所以，A正确；
由，当时，，故B错误，C正确；
由，D正确；
故选：ACD.
11. 已知函数，，则（）
A. 当时，存在极值点
B. 若有三个不同零点，，，则
C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有1条
D. 若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则
【正确答案】BCD
【分析】对于A，可得，由判别式可判断极值点个数；对于B，将函数表达式写成，与原式比较常数项即可判断；对于C，设切点为，写出切线方程，根据切线过点建立等式，整理得到关于的方程，根据解的个数即可判断；对于D，将函数表达式写成，根据导数的运算法则求导，代入得到对应点的导数也即切线斜率，最后通分计算.
【详解】对于A，可得，当时，有，
此时恒成立，不存在极值点，故A错误；
对于B，若有三个不同零点，，，
则，
取，得，即，B正确；
对于C，设切点为，则切线方程为，
因为切线过点，可得，
即，整理得，
解得，则过点且与曲线相切的直线有且仅有1条，C正确；
对于D，若有三个不同零点，，，则，
求导得，
所以，
，
从而
，D正确.
三、填空题
12. 已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．
【正确答案】
【分析】由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.
【详解】∵，，成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
故答案为.
13. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数的极值点至少有__________个.
【正确答案】
【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧两函数与的距离变化，即可得出结论.
【详解】
如图，设是题设直线与曲线的切点横坐标，
存在，使得，则处作的切线与平行，
由图象知，此时有，此时取得最小值；
由图象知，当时在的上方，逐渐减小，
在时逐渐增大，在时逐渐减小，在时逐渐增大，
综上，为函数的极小值点，处取得极大值.
14. 已知函数，当时函数的极值点的个数是______；若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【正确答案】 ①. 2 ②.
【分析】(1)先求，再作出与的图象，通过图象可判定的零点个数，及零点左右区间的正负性，再由极值点的定义确定结果；
(2) 由函数在上是增函数，得，对恒成立，
根据，得，再证明当时，有，对恒成立即可.
【详解】由题知，，.
当时，，
作出与的图象，
由图可知，使得的根即为两图象交点的横坐标，记为，，且.
当时，，有；
当时，，有；
当时，，有.
所以为函数极大值点，为函数的极小值点，
所以当时函数的极值点的个数是2.
(2) 若函数在上是增函数，则，对恒成立.
由，得.
当时，，
令，
当时，；
当时，由得，
，
因为，所以，所以，
又，所以当时，，
又为偶函数，由对称性知，当时，有，
所以对任意的，都有，即.
综上可知，实数的取值范围为.
故2；.
思路点睛：解决函数的极值个数与函数的单调性问题，可从以下方面考虑：
(1)导函数是熟悉的函数，可利用该函数的相关性质求解；若导函数不是熟悉的函数，即不容易判定该函数的性质的函数，可继续求导或考虑将该函数分解成两个熟悉的函数，通过图象求解；
(2)函数在某区间上单调递增(递减)通常转化为导函数在该区间上大于或等于零(小于或等于零)，再转化为函数恒成立问题，进一步可转化为求函数的最值或通过取值找出参数的范围，再证明该范围符合题意即可.
四、解答题
15. 已知数列中，是与的等差中项，数列中，，点在直线上.
（1）求数列，的通项和；
（2）设，求数列的前n项和，.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）利用等差中项的定义可求，由已知可得，利用等差数列的定义可求；
（2）利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
因为是与的等差中项，
所以，所以，
因为在直线上，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
所以，
所以，
两式相减，，
所以，所以.
16. 已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得，，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可；
（2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可.
【小问1详解】
设等差数列公差为，则，由得，
由得，所以，所以，
所以数列的通项公式为；
又，
由数列的各项均为正数得，即，
又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，
所以.
【小问2详解】
当为奇数时，记，则有
当为偶数时，．
所以，记，则有
所以.
17. 已知函数（a为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值．
【正确答案】（1）答案见解析；
（2）2
【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分，结合导函数的零点及取值的正负区间研究函数的单调性.
（2）变量分离得，再构造函数并利用导数求其最值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得
当时，，函数在上单调递增，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，.
【小问2详解】
当时，不等式，
令，依题意，，恒成立，
求导得，当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数的最小整数值是.
18. 已知函数，
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若在上存在零点，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）单调递减区间为单调递增区间为
（3）
【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程；
（2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间.
（3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果.
【小问1详解】
当时，，，切点为，
，∴，∴切线方程为：
【小问2详解】
当时，，
令，，令，得到，
∴时，，∴在单调递增，即在单调递增；
∴时，，∴在单调递减，即在单调递减；
∵，且时，恒成立，
∴变化时，的变化情况如下表：
∴的单调递减区间是，单调递增区间为，
【小问3详解】
，
∵时，，，∴，若，则恒成立，
∵在上存在零点，∴；
，由（2）可知在单调递增，在单调递减.
∴，∵，∴，
①若，即，时，
，，，，
∴，，∴在单调递增，∴，
∴无零点.
②若，即，时，
∵，使得，当时，，
∴变化时，的变化情况如下表：
∴在上单调递减，∴，∴在无零点.
，，
，单调递增，∴，∴
，，∴，∴
∴，∴在上存在零点.
综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为.
方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题.
19. 已知，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点个数；
（3）若对于任意总有，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析（3）
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；
（2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可；
（3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最小值，即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，所以，即切线的斜率为，
又，所以所求的切线方程为，即；
【小问2详解】
由得，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
①当，即时，对恒成立，
此时在单调增，故没有极值点；
②当，即时，方程有两个不等正数解，
，
不妨设，则当时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点．
综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点．
【小问3详解】
，
由，得对于恒成立，设，
则，
因为，所以时，单调递减，
时，单调递增，所以，所以．0
极小值
0
极小值