2025~2026学年黑龙江绥化市第七中学高二下册期中数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年黑龙江绥化市第七中学高二下册期中数学试题 [含答案]试卷主要包含了基本事件法等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种
【正确答案】D
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选：D
2. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解.
【详解】由题意
事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件
由条件概率的定义：
故选：B
本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.8
【正确答案】D
【分析】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，即可得到，，设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率．
【详解】解：设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则，，
设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，
今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：
．
故选：D
4. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
5. 在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（ ）
A. 第8项B. 第7项
C. 第9项D. 第10项
【正确答案】C
【分析】由二项式展开式的性质，分别与首末项等距离的两项的二项式系数相等，即可知与第3项二项式系数相同的项
【详解】由知：二项展开式共11项，第3项二项式系数为，
∴根据对称性，与第3项二项式系数相同的项系数为，即为第9项.
故选：C
6. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意，利用条件概率计算公式，结合概率运算性质可得答案.
【详解】，
，
又，则，
.
故选：B.
7. （2017.唐山市二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是
A. 0.6B. 0.7C. 0.8D. 0.9
【正确答案】C
【分析】由题意可知P（A）=0.5，P（AB）=0.4，利用条件概率公式可求得P（B丨A）的值．
【详解】设第一个路口遇到红灯的事件为A，第二个路口遇到红灯的事件为B，
则P（A）=0.5，P（AB）=0.4，
则P（B丨A）==0.8，
故选C．
本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【详解】根据二项式展开式：，；
故当时，展开式中的系数为，
故．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 在的展开式中，则（ ）
A. 所有项的系数和为0B. 二项式系数最大的项为第3项和第4项
C. 所有项的二项式系数和为64D. 常数项为
【正确答案】BD
【分析】利用赋值法与二项式定理即可得解.
【详解】A：设，所有项的系数为，
所以，故A错误；
B：所有项的二项式系数为，最大的为和，
对应的是第3项和第4项，故B正确；
C：所有项的二项式系数之和为，所以C错误.
D：二项式展开式的通项公式为，
令，解得，所以常数项为，故D正确.
故选：BD.
10. 若，则x的值为（ ）
A. 8B. 5C. 12D. 7
【正确答案】AC
【分析】根据组合数的性质计算即可.
【详解】因为，所以或，
解得或，
因为，故或均符合题意.
故选：AC
11. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】令、可得答案.
【详解】因为
所以令可得：
令可得
故选：AC
12. 在的展开式中（ ）
A. 常数项为B. 项的系数为
C. 系数最大项为第3项D. 有理项共有5项
【正确答案】BCD
【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可.
【详解】的展开式的通项公式，
对于A：令，解得，可得，
即常数项为，故A错误；
对于B：令，解得，可得，
即项的系数为，故B正确；
对于C：由通项公式可得：第项的系数为，
当为偶数时，；当为奇数时，；
取为偶数，令，则，
整理得，解得，
所以系数最大项为第3项，故C正确；
对于D：令，则，
所以有理项共有5项，故D正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知展开式的二项式系数之和为128，则展开式的第5项的系数是___________.
【正确答案】35
【分析】由展开式的二项式系数之和为128，可求得n的值，继而求得展开式的第5项的系数.
【详解】由展开式的二项式系数之和为128，
可得 ，
故展开式的第5项的系数为 ,
故35
14. 现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是_____（用数字作答）．
【正确答案】260
【详解】试题分析：可分步研究涂色的种数，从A处开始，再涂B处，C处时进行分类，分A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项．解：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种，故填写260
考点：计数原理的应用
点评：本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜色，”根据情况对C处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证
15. 展开式中含项的系数为___________.
【正确答案】
【分析】先写出的展开式通式，然后根据的次数选择对应的系数计算即可.
【详解】对于，其展开式的通式为，
则展开式中含项的系数为
故答案为.
16. 为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_____种．
【正确答案】150
【分析】采用分步计数原理，首先将5人分成三组，计算出分组的方法，然后将三组进行全排，即可得到答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组，
若分为1、1、3的三组，有＝10种分组方法；
若分为1、2、2的三组，＝15种分组方法；则有10+15＝25种分组方法；
②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有种情况，
则有25×6＝150种分派方法；
故答案为150．
本题考查排列组合的运用，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在二项的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项;
（2）求展开式中各项的系数和.
【正确答案】（1）;
（2）.
【分析】（1）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项；
（2）在二项式的展开式中，令，可得各项系数和.
【小问1详解】
解：展开式的通项为，.
由已知: 、、，成等差数列，
即，所以.
二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，即
；
【小问2详解】
)令，各项系数和为.
18. 设，求下列各式的值．
（1）求；
（2）；
（3）；
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
令，得．
【小问2详解】
令，得①，
所以．
【小问3详解】
令，得②．
由①②联立，得．
19. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.
（1）选5名同学排成一排：
（2）全体站成一排，甲、乙不在两端：
（3）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
（4）全体站成一排，男生彼此不相邻；
【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】(1)直接用排列原理求解；(2)先特殊后一般即可求解；(3)利用捆绑法求解；(4)利用插空法求解.
【小问1详解】
无条件的排列问题,排法有种.
【小问2详解】
先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，
所以有种.
【小问3详解】
相邻问题，利用捆绑法，共有种.
【小问4详解】
即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，
所以共有种.
20. 设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件，
（1）求取到的是次品的概率；
（2）经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大．
【正确答案】（1）
（2）编号为2的工厂
【小问1详解】
事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（），
显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，，
，，．
由全概率公式得
．
【小问2详解】
由贝叶斯公式得
，
，
．
所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大．
21. 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少答对其中的4道题即可通过；若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
【正确答案】
【分析】由条件根据条件概率的求法，并注意互斥事件概率计算公式的合理运用，求得他获得优秀成绩的概率．
【详解】解：设“他能答对其中的6道题”为事件，“他能答对其中的5道题”为事件，“他能答对其中的4道题”为事件，
设“他考试通过”为事件，“他考试获得优秀”为事件．
则由题意可得，，且、、两两互斥．
所以．
又，，
，
故他获得优秀成绩的概率为；