辽宁省大连市部分学校2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省大连市部分学校2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（ ）
A. B. ，
C. D.
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，是的中位线，已知，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
5. 在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
7. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的平行四边形是矩形
8. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么
D. 对顶角相等
9. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）．
A. 3B. 4C. 5D. 7
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
12. 若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是_________．
13. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________．
14. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___．

15. 如图，分别以的三边边长向外侧作正方形，面积分别记为、、．若，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 已知，．
（1）求代数式，的值；
（2）求代数式，的值．
18. 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
19. 综合与实践
笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下：
请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程．
20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长．
21. 我们定义一种三角形——k股三角形：如果一个三角形的三边分别为a，b，c，满足（k为正整数），那么称此三角形为k股三角形．
例如：三边分别为a，b，c，且，，，，所以为5股三角形．
【新知理解】
（1）下列三角形中一定是k股三角形的是______（填序号）；
①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形；
（2）若三角形的三边分别为2，4，，这个三角形是否为k股三角形；若是，求出k的值；若不是，请说明理由．
【知识探究】
（3）在中，，，，若此三角形为k股三角形，求k的所有可能值．
22. 【概念感知】等直四边形：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形．
例如，如图1，四边形，，，则四边形为等直四边形．
【实践应用】
（1）正方形是不是等直四边形______（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，在等边中，点D为内部一点，且平分，连，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形．
（3）如图3，已知矩形，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发向终点D运动，点Q是边上一点，，当四边形是等直四边形时，直接写出t的值．
23. 【问题提出】
如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示）
【问题拓展】
（3）如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积．
数学
本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟；
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行判断即可．
解答过程：解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（ ）
A. B. ，
C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查勾股定理逆定理，判断两较短线段的平方和是否等于较长线段的平方，即可得出结果．
解答过程：解：A、，能组成直角三角形，符合题意；
B、，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，不符合题意；
故选A．
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据二次根式的运算性质进行计算即可．
解答过程：解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
B、3与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
C、正确，此选项符合题意；
D、原计算错误，，此选项不符合题意；
故选：C．
方法提示：本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
4. 如图，是的中位线，已知，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：B
解析：
思路：根据三角形中位线求解即可；
解答过程：解：因为是的中位线，且，
故；
5. 在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质解题即可．
解答过程：解：由题意知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：D
解析：
思路：本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定方法即可判断．
解答过程：解：、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故D符合题意．
7. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的平行四边形是矩形
答案：D
解析：
思路：本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可．
解答过程：解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：D．
8. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么
D. 对顶角相等
答案：C
解析：
思路：本题考查判断逆命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断真假即可，熟练掌握实数的性质，全等三角形的判定，勾股定理逆定理和对顶角的性质，是解题的关键．
解答过程：解：A、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为：如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形为直角三角形，是真命题，符合题意；
D、逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题，不符合题意；
故选：C．
9. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，，等边对等角，进行求解即可．
解答过程：解：在正方形的外侧，作等边三角形，
则：，
∴，
∴；
故选：B．
10. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）．
A. 3B. 4C. 5D. 7
答案：A
解析：
思路：由作图可知平分，结合平行四边形的性质推出，进而证得，最后利用求解．
解答过程：解：由作图可知平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，，
∴，
∴，
∴．
方法提示：本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图及等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理是解题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
答案：
解析：
解答过程：解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
12. 若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是_________．
答案：三
解析：
思路：由于任何一个多边形的外角和为，由题意知此多边形的内角和小于．又根据多边形的内角和定理可知任何一个多边形的内角和必定是的整数倍，则此多边形的内角和等于．由此可以得出这个多边形的边数．
解答过程：解：设边数为，根据题意得 ，解之得，
为正整数，且，
，
故答案为：三．
方法提示：本题考查多边形的内角和与外角和、一元一次不等式．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．
13. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________．
答案：120
解析：
思路：本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
解答过程：解：∵菱形的两条对角线，
∴．
故答案为：120．
14. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___．

答案：5
解析：
思路：设DE=x，则AE=8-x．先根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解．
解答过程：解：设DE=x，则AE=8-x．
根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE=x．
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=（8-x）2+16，
解得x=5．
故答案为：5．
方法提示：本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中．
15. 如图，分别以的三边边长向外侧作正方形，面积分别记为、、．若，则图中阴影部分的面积为______．
答案：10
解析：
思路：由勾股定理得，再由正方形面积公式得，代入已知等式求出，即可得到阴影部分的面积．
解答过程：解：∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先由二次根式性质化简，再去括号，最后合并同类二次根式计算即可；
（2）先由二次根式性质化简，再由二次根式乘除运算法则计算，最后分母有理化即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
17. 已知，．
（1）求代数式，的值；
（2）求代数式，的值．
答案：（1），
（2）3，14
解析：
（1）∵，，
∴，；
（2）∵，，
∴，．
18. 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
答案：（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，见解析
解析：
思路：（1）结合平行四边形性质，利用边角边证明；
（2）根据平行四边形的判定和性质证明即可．
（1）证明：，
∴，，
在和中，
；
（2）在中，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
19. 综合与实践
笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下：
请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程．
答案：旗杆的高度的长为米，过程见解析
解析：
思路：本题考查了勾股定理的应用，过点作于点．根据题意得米，米．设旗杆的高度的长为米，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
解答过程：解：如图，过点作于点．根据题意得米，米．所以．
设旗杆的高度的长为米，则米，米．
在中，根据勾股定理，．
所以，．
解，得．
20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长．
答案：（1）见解析；（2）12．
解析：
思路：（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接，根据（1）的结论可知，根据勾股定理求得即可．
解答过程：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）如图，连接，
四边形AECF是矩形，
，
∵四边形ABCD是菱形，
，，
，
，
．
．
方法提示：本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，掌握图形的基本性质是解题的关键．
21. 我们定义一种三角形——k股三角形：如果一个三角形的三边分别为a，b，c，满足（k为正整数），那么称此三角形为k股三角形．
例如：三边分别为a，b，c，且，，，，所以为5股三角形．
【新知理解】
（1）下列三角形中一定是k股三角形的是______（填序号）；
①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形；
（2）若三角形的三边分别为2，4，，这个三角形是否为k股三角形；若是，求出k的值；若不是，请说明理由．
【知识探究】
（3）在中，，，，若此三角形为k股三角形，求k的所有可能值．
答案：（1）② （2）是k股三角形，
（3）的值为或
解析：
思路：本题主要考查了勾股定理、实数的运算等知识．
（1）根据k股三角形的定义判断即可；
（2）根据k股三角形的定义判断即可；
（3）先计算出，再根据k股三角形的定义判定即可．
（1）在直角三角形中，三边分别为a，b，c（斜边），
根据勾股定理有：，此时k值为1，
即直角三角形为1股三角形；
举反例即可判定锐角三角形、钝角三角形不一定为k股三角形，
故答案为：②；
（2）该三角形是k股三角形，理由如下
∵三角形的三边分别为2，4，，
即，，
∴，即，
∴该三角形是2股三角形；
（3）∵在中，，，，
∴，，
即：AC2=AB2−BC2=522−252=30 ，
当时，即是1股三角形，此时，
当AC2+AB2=4BC2时，即是4股三角形，此时，
当时，值不为整数，故舍去，
即：的值为或．
22. 【概念感知】等直四边形：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形．
例如，如图1，四边形，，，则四边形为等直四边形．
【实践应用】
（1）正方形是不是等直四边形______（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，在等边中，点D为内部一点，且平分，连，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形．
（3）如图3，已知矩形，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发向终点D运动，点Q是边上一点，，当四边形是等直四边形时，直接写出t的值．
答案：（1）是 （2）证明见解析
（3）的值为或或
解析：
思路：（1）结合正方形的性质以及新定义特殊四边形进行求解即可；
（2）根据旋转得出，，证明，得出相关角的度数，然后利用新定义进行证明即可；
（3）分三种情况讨论：如图，当时， 如图，当时，如图，当时，再进一步求解即可.
（1）解：正方形的四个内角为直角，且四条边相等，满足等直四边形的定义，
∴正方形是等直四边形.
（2）解：是等边三角形，
，，
平分，
，
将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
四边形是等直四边形.
（3）解：∵矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
如图，当时，四边形是等直四边形，
∴，
∴，
如图，当时，四边形是等直四边形，
过作于，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当时，四边形是等直四边形，
过作于，而，则，
同理可得：，，
∴，
∴，
解得：；
综上：当四边形是等直四边形时，的值为或或.
23. 【问题提出】
如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示）
【问题拓展】
（3）如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论．
（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案.
（1）解：过点作交的延长线于H，
∵，
，，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵菱形，
∴，
，
，
．
（2）解：在上截取，使，连接．
，，
．
，
．
．
∵菱形，，
，，
，，
．
∴，
.
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．
由（2）得：，
∴，
∵菱形，，点E为边的中点，
∴，，
∴，，
同理：，
，，
∴，，
，，，
∴，
结合（2）可得：，
，
，
∴ ，
∴.课题
测量旗杆的高度相关问题探究
成员
组长：×××组员：×××，×××，×××
测量工具
皮尺，绳子
示意图及测量数据
①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合；
②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）．
提出问题
根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？
解决问题
如右图，过点作于点．根据题意得米，米．……
课题
测量旗杆的高度相关问题探究
成员
组长：×××组员：×××，×××，×××
测量工具
皮尺，绳子
示意图及测量数据
①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合；
②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）．
提出问题
根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？
解决问题
如右图，过点作于点．根据题意得米，米．……