广东省江门市蓬江区华侨中学2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市蓬江区华侨中学2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ）
A. 10B. 10或C. D. 或
4. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
5. 如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ）
A. 13B. 16C. 18D. 20
6. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（ ）
A. 12B. 20C. D. 10
10. 在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________
12. 对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则______．
13. 如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____．
14. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．
15. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为______．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 计算：
（1）（2）
17. 如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，．
求证：
（1）；
（2）．
18. 如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，．
（1）求长；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 已知，，求下列各式的值：
（1）（2）
20. 如图，在中，，D是的中点，，，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
21. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m．
五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22. 如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接．
（1）求的长；
（2）求证：；
（3）求的最小值．
23. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
数学
本试卷共4页，共23小题，满分120分．考试用时120分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据最简二次根式的定义对各项进行判断即可．
解答过程：解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
方法提示：本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
2. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据二次根式的减法与乘法法则、分母有理化逐项判断即可得．
解答过程：解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符题意；
D、，则此项错误，不符题意；
故选：B．
方法提示：本题考查了二次根式的减法与乘法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键．
3. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ）
A. 10B. 10或C. D. 或
答案：B
解析：
思路：本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解．
解答过程：解：当边长为8的边是直角边时，
第三边为斜边，边长为：；
当边长为8的边是斜边时，
第三边为直角边，边长为：；
因此第三边的长是10或，
故选B．
4. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
答案：B
解析：
思路：本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解答过程：解：在中，，，
点为斜边上的中点，则，
故选：B．
5. 如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ）
A. 13B. 16C. 18D. 20
答案：A
解析：
思路：本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得出结果．熟记三角形中位线定理是解题的关键．
解答过程：解：，，
为三角形的中位线，
，
即，间的距离是，
故选：A．
6. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理计算出即可求解．
解答过程：解：，
故点所表示的数是，
故选：C．
7. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．根据中位线定理可得对角线 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．
解答过程：解：∵E，F分别是、边上的中点，，
∴，
又∵，
∴菱形的面积，
故选：C．
8. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据正六边形的特点得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可．
解答过程：解：∵六边形为正六边形，
∴，，
∴．
9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（ ）
A. 12B. 20C. D. 10
答案：D
解析：
思路：设，则，在中根据勾股定理得得数，进一步根据三角形面积=12·AF·BC 即可求解．
解答过程：解：设，则，
将矩形沿折叠，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
解得，，即，
．
10. 在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了菱形的性质，角平分线性质定理，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键．
过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，先将的最小值转化为线段的长度，在中由勾股定理求出，再由等面积法得到，即可求解．
解答过程：解：过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，
∵四边形是菱形，
∴且、互相平分，平分，
∴，
∵垂线段最短，
∴，即的最小值为线段的长度，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________
答案：
解析：
思路：本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数必须大于或等于零，即可求解．
解答过程：解：由二次根式的定义，在实数范围内，被开方数必须非负，即，
解得.
故答案为：．
12. 对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则______．
答案：
解析：
思路：本题考查了根式的运算，解题的关键是掌握题中的运算定义进行计算即可．
解答过程：解：，
故答案为：．
13. 如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____．
答案：
解析：
思路：本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键．
根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可．
解答过程：解：∵在直角中，，
又∵，，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．
答案：15
解析：
解答过程：∵▱ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．
∴OE=BC．
∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故答案是：15．
15. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为______．
答案：
解析：
思路：根据矩形的性质和角平分线的定义推出，结合等角对等边和线段的和差求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
解答过程：解：四边形是矩形，
∴AB=CD=4cm ，，，，
平分，
，
，
，
，
∴AE=AB=4cm ，
∴DE=AD−AE=6−4=2cm，
在Rt△CDE 中，由勾股定理得：CE=CD2+DE2=42+22=20=25cm，
为的中点，，
是Rt△CDE 斜边上的中线，
∴DF=12CE=12×25=5cm．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 计算：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的性质，乘除法化简每个式子，然后求解即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：
，
．
17. 如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，．
求证：
（1）；
（2）．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）由，可得到，再利用证明全等即可；
（2）由（1）可得，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）可得：，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
18. 如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，．
（1）求长；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是利用大的直角三角形的面积减去小的直角三角形的面积来求解；
（1）直接利用勾股定理来求解即可；
（2）利用大的直角三角形的面积减去小的直角三角形的面积．
（1）解：中，
根据勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 已知，，求下列各式的值：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
思路：本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，
（1）由已知得，，然后将分解因式为，再整体代入计算即可；
（2）将转化为，再整体代入计算即可；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
，
∴
；
（2）．
20. 如图，在中，，D是的中点，，，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：（1）根据矩形的判定即可证明；
（2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解．
（1）证明：∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵D是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
21. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m．
答案：（1）5 （2）3
解析：
思路：本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定，
对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可；
对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可．
（1）解：由题意得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，则．
设秋千的长度为，则．
在，根据勾股定理，得，
即，
解得．
所以秋千得长度为5m；
（2）解：当时，，则，得，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得．
所以将秋千往前推送3m．
故答案为：3．
五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22. 如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接．
（1）求的长；
（2）求证：；
（3）求的最小值．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
解析：
思路：（1）根据正方形的性质得出相等边和直角，然后利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据正方形的性质得出相等的角和边，证明，得出相等的边，证明四边形为矩形，得出对角线相等，即可得出结论；
（3）借助（2）的结论得出当时，的值最小，即的值最小，证明为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理即可求解．
（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
由勾股定理得；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，，
当时，的值最小，即的值最小，
∵四边形为正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴此时，，
即的最小值为．
方法提示：本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质．
23. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
答案：（1）见解析 （2）四边形能够成为菱形，
（3）或，理由见解析
解析：
思路：（1）利用t表示出和的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
（2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此列出方程求得t值．
（3）分别从和两种情况分类讨论即可．
（1）证明：由题意得，，，
中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：四边形能够成为菱形．
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，平行四边形是菱形；
（3）解：当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形．
理由如下：当时，如图，
∵，
∴，
∴，，
即，
解得：；
当时，如图，
四边形是平行四边形，
，
∴．
，
，
，
∵，
，
解得．
综上所述，当时或当时，也是直角三角形．