2025-2026学年安徽师范大学附属中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽师范大学附属中学高二（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.曲线y=-x3+1在点P（1，0）处切线的斜率为（ ）
A. -3B. -1C. 1D. 3
2.（x+1）3的展开式的第2项是（ ）
A. x3B. 3x2C. 3xD. 1
3.函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图像如图所示，则函数f（x）极值点的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（ ）
A. -15B. 85C. -120D. 274
6.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上按顺时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函数的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（ ）

A.
B.
C.
D. 以上都不对
8.记，n∈N，则f2024（0）=（ ）
A. 2508B. -2507C. 0D. 2507
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（ ）
A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种
B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60
C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法
D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
10.某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择，已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元，则下列说法正确的有（ ）
表1：甲每股收益的分布列
表2：乙每股收益的分布列
A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B. 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥
C. 此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元
D. 收益的方差之和最小时，此人是按照1：1的资金分配方式投资甲、乙两种股票的
11.设函数f（x）=（x-1）2（x-5），则下列说法正确的是（ ）
A. x=1是f（x）的极小值点B. 当0＜x＜1时，f（x）＞f（x2）
C. 当1＜x＜2时，-8＜f（2x-1）＜0D. 当-1＜x＜0时，f（2-x）＞f（x）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若=，则n的值是 ．
13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为 .
14.已知函数f（x）=-x3+x+a，x∈[，e]与g（x）=3lnx-x-1的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）解方程：；
（2）求所有满足且的n的值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=（x-k）ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．
17.(本小题15分)
江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品.规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为.若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品.
（1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；
（2）记X为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求X的数学期望E（X）.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x+b.
（1）当a=0时，若f（x）＜0，当且仅当-1＜x＜0时，求b.
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a.
19.(本小题17分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，
则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（Ⅰ）写出X的可能值集合；
（Ⅱ）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，
①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】10
13.【答案】0.032
14.【答案】
15.【答案】n=15 n=4
16.【答案】解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1，
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
所以 f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
17.【答案】解：（1）根据抽奖规则，获得1个纪念品的情况分为以下三类：
第1次抽中，第2、3次未抽中，概率为；
第1次未抽中，第2次抽中，第3次未抽中，概率为；
第1、2次均未抽中，此时第3次无论是否抽中均获得纪念品，
因此第3次获得纪念品的情况包含两种结果（抽中或未抽中），总概率为，
综上，恰好获得1个纪念品的概率为；
（2）随机变量表示获得第1个纪念品时的抽奖次数，可能取值为1、2、3：
：第1次抽中的概率，为；
：第1次未抽中且第2次抽中的概率，为；
：前2次均未抽中的概率（此时第3次必获得纪念品），为，
数学期望.
18.【答案】解：（1）根据题意知f（x）的定义域为（-1，+∞），
当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x+b,那么导函数，
令g（x）=f′（x），那么导函数，
当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（-1，0）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）单调递增，
又g′（0）=0，因为g（x）在x=0取极小值也是最小值g（0）=0，
所以g（x）=f′（x）≥0在（-1，+∞）恒成立，所以f（x）在（-1，+∞）上单调递增．
根据题知，f（x）＜0，当且仅当-1＜x＜0，
那么对∀x≥0，有f（x）≥0，
因为f（x）单调递增，所以f（0）是x≥0时的最小值，所以f（0）=0，
代入x=0，得f（0）=b=0，所以b=0，
当b=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x,且f（x）在（-1，+∞）上单调递增，f（0）=0，
当-1＜x＜0，那么f（x）＜f（0）=0，
当x≥0，那么f（x）≥f（0）=0，
因此f（x）＜0，当且仅当-1＜x＜0成立，
综上，b=0．
（2）根据f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x+b,
那么导函数，
令h（x）=ax2-x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），
导函数h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．
当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．
当a＜0时，令m（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．
那么导函数，
显然m′（x）单调递减，要使x=0是f（x）的极大值点，则f′（0）=0，即h（0）=0，
且f′（x）在x=0两侧左正右负．
注意到h′（0）=0，即m（0）=0，
①令m′（0）=0，，
所以当x＞0时，m′（x）＜0，当-1＜x＜0时，m′（x）＞0，
所以h′（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，
所以h′（x）≤h′（0）=0，
所以h（x）单调递减，又h（0）=0，
所以当-1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，
因此x=0是f（x）的极大值点，符合题意；
②若，那么m′（0）=1+6a＞0，，
因此m′（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设为零点为x0，
所以当0＜x＜x0时，m′（x）＞0，h′（x）单调递增，
所以h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；
③若，那么m′（0）=1+6a＜0，，
所以m′（x）在（-1，0）上有唯一零点，设零点为x1，
所以当x1＜x＜0时，m′（x）＜0，h′（x）单调递减，
所以h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，
所以h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．
综上，．
19.【答案】解：（Ⅰ）X的可能取值集合为{0，2，4，6，8}，
∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，
∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，
∴|1-a1|+|3-a3|与|2-a2|+|4-a4|的奇偶性相同，
∴X=（|1-a1|+|3-a3|）+（|2-a2|+|4-a4|）必为偶数，
X的值非负，且易知其值不大于8，
∴X的可能取值集合为{0，2，4，6，8}；
（Ⅱ）用 、 、 、 表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中
放入的小球编号分别为 、 、 、 ，则所有可能的结果如下：
，2，3， ， ，2，4， ， ，3，2， ， ，3，4， ， ，4，3， ， ，4，2， ， ，1，3， ， ，1，4， ， ，3，1， ， ，3，4， ， ，4，3， ， ，4，1， ， ，1，2， ， ，1，4， ， ，2，1， ， ，2，4， ， ，4，2， ， ，4，1， ， ，1，2， ， ，1，3， ， ，2，1， ， ，2，3， ， ，3，1， ， ，3，2， ，
得到 , , , ,
（Ⅲ）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）==，
将三轮测试都有X≤2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得
P==，
②由于P=＜是一个很小的概率，
这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，
∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测． 收益X元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y元
0
1
2
概率
0.3
0.3
0.4
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
－ek－1
单调递增
0
2
4
6
8