吉林省吉林市第九中学2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省吉林市第九中学2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 25的算术平方根是（ ）
A. B. C. 5D.
2. 在1，，，，，中，无理数共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
3. 点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知方程的其中一个解为，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 给出下列说法：（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；（2）相等的角是对顶角；（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．正确的共有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是_____．
8. 若，则___________．
9. 已知点在第三象限，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为______．
10. 将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为_______．
11. 已知方程组，则的值是_____．
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12. 计算：
（1）；
（2）．
13. 解方程组：
14. 如图，已知，，试说明的理由．

15. 鹿鸣社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了校园平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是．
（1）根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示：食堂___________，大门___________；
（2）已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置．
16. 已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是6，求a+2b的平方根．
17. 某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双．
18. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠A＝∠C，点E，F分别在CB，AD的延长线上
（1）求证：AFCE；
（2）若，求∠2的大小．
19. 我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是______，小数部分是______；
（2）如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将三角形经过平移后得到三角形，三角形中一点平移后的对应点的坐标为．
（1）请画出平移后的三角形，并写出，，的坐标： ， ， ．
（2）求出平移后三角形的面积．
（3）在轴上有一点，且三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，直接写出满足要求的点的坐标．
21. 根据情境信息，探索并完成任务：
22. 如图，，点为两直线之间的一点．
（1）如图1，若，，则________；
（2）如图2，试说明，；
（3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．
数学
一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 25的算术平方根是（ ）
A. B. C. 5D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
解答过程：解：25的算术平方根是5，
故选：C．
2. 在1，，，，，中，无理数共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
答案：A
解析：
思路：本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义，即可求解．
解答过程：在1，，，，，中，无理数有，，共2个，
故选：A．
3. 点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
思路：根据四个象限的符号特点：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可求解．
解答过程：解：点的横坐标是，，纵坐标是，，符合第二象限点的坐标符号特征，
故点在第二象限．
4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据两直线平行，内错角相等可得，再将、的值代入即可求解．
解答过程：解：，
(两直线平行，内错角相等，
，，
，
的度数是．
5. 已知方程的其中一个解为，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将代入方程中，解方程即可得解．
解答过程：解：方程的其中一个解为，
，解得．
6. 给出下列说法：（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；（2）相等的角是对顶角；（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．正确的共有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
答案：B
解析：
思路：只需逐一判断每个命题的真假，统计正确命题的个数即可得到答案．
解答过程：解：（1）由平行线的定义可知，在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，该说法符合定义，故（1）正确；
（2）相等的角不一定是对顶角，例如平行线产生的相等同位角不是对顶角，故（2）错误；
（3）只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原说法缺少前提，故（3）错误；
（4） 垂直于同一条直线的两条直线平行的结论，缺少“在同一平面内”的前提，故（4）错误；
（5） 只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在这样的平行线，原说法缺少条件，故（5）错误；
综上，正确的命题仅有1个．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是_____．
答案：4
解析：
思路：本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解．
解答过程：解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离．
因为，
所以点A到直线的距离是4，
故答案为：．
8. 若，则___________．
答案：
293.8
解析：
思路：本题考查了立方根的规律题，将25360000分解为25.36与1000000的乘积，再利用立方根的性质和已知条件计算即可．
解答过程：解：∵，且，
∴，
故答案为：293.8．
9. 已知点在第三象限，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为______．
答案：
解析：
思路：本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限内点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，即可解答．
解答过程：解：点在第三象限，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为，
故答案为：．
10. 将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为_______．
答案：##65度
解析：
思路：本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕为角平分线，以及平行线的性质，进行求解即可．
解答过程：解：的长方形纸片沿折叠得到图②，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
11. 已知方程组，则的值是_____．
答案：2
解析：
思路：利用加减消元法解二元一次方程组得出，整体代入计算即可得出结果．
解答过程：解：，
得：，
则
．
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）11 （2）
解析：
（1）解：
；
（2）解：
．
13. 解方程组：
答案：
解析：
思路：本题考查二元一次方程组的解法，先将含分母的第二个方程去分母整理为整式方程，再用加减消元法转化为一元一次方程求解，熟练掌握消元法即可解题．
解答过程：解：
将②两边同乘去分母，得3x−2y=6③
③①得：(3x−2y)−(3x−5y)=6−3
整理得，
解得 把
代入①得：
解得
∴原方程组的解为
14. 如图，已知，，试说明的理由．

答案：见解析
解析：
思路：先求得，结合，可证得．
解答过程：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
方法提示：本题主要考查平行线的判定及性质，牢记平行线的判定方法和平行线的性质是解题的关键．
15. 鹿鸣社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了校园平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是．
（1）根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示：食堂___________，大门___________；
（2）已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置．
答案：（1）见解析，，
（2）见解析
解析：
思路：本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点，
（1）根据旗杆的位置是，实验楼的位置是即可确定平面直角坐标系，根据平面直角坐标系即可求解；
（2）根据坐标表示地理位置的方法即可求解．
（1）解：已知旗杆的位置是，实验楼的位置是，
∴建立平面直角坐标系如图所示，
根据平面直角坐标系可得，食堂，大门，
故答案为：，；
（2）解：体育馆的位置是，教学楼的位置是，如图所示．
16. 已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的平方根是6，求a+2b的平方根．
答案：±2
解析：
思路：利用平方根、立方根定义求出a与b的值，即可确定出a＋2b的平方根．
解答过程：解：根据题意得：2a−1＝33，3a＋b−1＝(6)2，
得2a−1＝27，3a＋b−1＝36，
解得：a＝14，b＝−5．
则a＋2b＝14−10＝4．
因为4的平方根是±2，
所以a+2b的平方根是±2
方法提示：本题考查了立方根、平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．
17. 某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双．
答案：该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双
解析：
思路：设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋双．专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案．
解答过程：解：设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋双．
根据题意，
得
解得
答：该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双．
18. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠A＝∠C，点E，F分别在CB，AD的延长线上
（1）求证：AFCE；
（2）若，求∠2的大小．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：（1）利用平行线的性质得，等量代换得，利用同旁内角互补、两直线平行，即可证明AFCE；
（2）利用两直线平行、同位角相等，可得，再利用邻补角的关系即可求解．
（1）证明：∵ABCD，
∴，
∵∠A＝∠C，
∴，
∴AFCE；
（2）解：∵AFCE，，
∴，
∵是的补角，
∴．
方法提示：本题考查了平行线的判定与性质、邻补角的关系，掌握平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．
19. 我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是______，小数部分是______；
（2）如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根．
答案：（1），
（2）4
解析：
思路：此题考查了无理数的估算，求一个数的立方根，
（1）根据无理数的估算求解即可；
（2）首先根据无理数的估算求出，的值，然后代入求立方根即可．
（1）解：
的整数部分是5，小数部分是；
（2）解：的整数部分为，且，
，
，
又的整数部分为，
，
的立方根是4．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将三角形经过平移后得到三角形，三角形中一点平移后的对应点的坐标为．
（1）请画出平移后的三角形，并写出，，的坐标： ， ， ．
（2）求出平移后三角形的面积．
（3）在轴上有一点，且三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，直接写出满足要求的点的坐标．
答案：（1）图见解析，，，
（2）6 （3）点的坐标为或．
解析：
思路：本题考查了平移、坐标与图形等知识点．根据对应点确定平移规律是解题关键．
（1）由点A,可得左右平移规律，由点C，可得上下平移规律；
（2）计算出三角形的面积即可；
（3）根据三角形面积公式列式得，据此计算即可求解．
（1）解：∵三角形中一点平移后的对应点的坐标为，
∴平移规律为：
向右平移个单位长度，向下平移：个单位长度，
∴三角形如图所示：

∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：；
（3）解：∵三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，
∴，
整理得，
解得：或
故点的坐标为或．
21. 根据情境信息，探索并完成任务：
答案：任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低
解析：
思路：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
解答过程：解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
根据题意得，，
解得，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得，，
整理得，，
∵为正整数，且，
∴或，
∴工厂有种方案：
①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
∵，
∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低．
22. 如图，，点为两直线之间的一点．
（1）如图1，若，，则________；
（2）如图2，试说明，；
（3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．
答案：（1）
（2）见详解 （3）①，理由见详解；②
解析：
思路：本题考查了平行线的性质,角平分线的定义．作辅助线来构造平行关系是解题的关键．
（1）过点作，利用推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得到，，那么，代入角度值计算即可；
（2）过点作，由得，根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别得出，，将这两个等式相加，即可推出．
（3）①由（1）可得，又因为平分，平分，所以，，再结合中，就能推出；
②根据前面的结论，结合已知的角的比例关系，，，推导出，然后代入到，通过等式变形求出的表达式．
（1）解：如图所示，过点作，
，
，
，，
，
故答案为：．
（2）解：如图所示，过点作，
，
，
，，
，即．
（3）解：①，理由如下：
由（1）可得，，
平分，平分，
，，
，
由（2）可知，，
．
②由①可知，
，，，
，
，
，
，
，
．我为车间设计招聘方案
素材1
近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装．
素材2
调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
素材3
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资．
问题解决
任务一：分析数量关系
请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案
如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？
我为车间设计招聘方案
素材1
近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装．
素材2
调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
素材3
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资．
问题解决
任务一：分析数量关系
请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案
如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？