2026年山西吕梁市孝义市中考第二次模拟考试题（卷） 数学（含解析）中考模拟

这是一份2026年山西吕梁市孝义市中考第二次模拟考试题（卷） 数学（含解析）中考模拟，共35页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，考试结束后，只收回答题卡等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
3．考试结束后，只收回答题卡．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为，如果比标准质量多表示为，那么比标准质量少表示为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目对正偏差的规定，即可推出负偏差的表示方法。
【详解】∵题目规定比标准质量多记为正，即比标准多表示为，
∴比标准质量少是与“比标准质量多”相反的意义，应该记为负，
因此比标准质量少表示为．
2. 以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则．
【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
B． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
C． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
D． ，与选项结果一致，正确，符合题意；
故选：D．
4. 水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形，根据主视图的含义即可得出答案．
【详解】解：结合图形知，可看到外面正六棱柱的4条棱，里面的圆柱的主视图是矩形，但因在内部看不到，故应用虚线，所以该几何体的主视图如下图：
故选：B．
本题考查了三视图，注意：内部看不到的部分用虚线．
5. 将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，掌握二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”是解题的关键．
【详解】∵原二次函数解析式为 ，
将图象先向上平移3个单位长度，根据“上加”的规律，得
，
再将得到的图象向右平移2个单位长度，根据“右减”的规律对自变量x变换，得
，
∴平移后所得图象的解析式为 ．
6. 如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作，推导出，得到求出，，则，即可解答．
【详解】解：过点B作，如图
∴，
∵和始终垂直于地面，与水平地面平行，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
7. “舜耕历山”是济南标志性历史文化符号．某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印有“孝、亲、仁、善”四张卡片，卡片除文字外完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用树状图法找出所有等可能的抽取结果，再统计符合条件的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：将四张卡片“孝”“亲”“仁”“善”分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共12种等可能性的结果，其中恰好为“仁”和“善”的结果只有2种，
∴这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是．
8. 如图，交⊙于点切⊙于点，点在⊙上．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵切⊙于点，
∴，
∵，
∴，
∴．
9. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温、水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A. 草莓的光合作用产氧速率随温度的升高而增大
B. 当温度为时，草莓的光合作用产氧速率大于呼吸作用耗氧速率
C. 温度在时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
D. 草莓中有机物积累最快时的温度为
【答案】B
【解析】
【分析】结合图象中实线与虚线的变化趋势及对应数值进行分析判断即可．
【详解】解：对于A，观察实线图象可知，草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故A错误；
对于B，当温度为时，实线对应的纵坐标约为，虚线对应的纵坐标约为，，此时光合作用产氧速率大于呼吸作用耗氧速率，故B正确；
对于C，观察虚线图象可知，呼吸作用耗氧速率在时达到最大值，在时已下降，故C错误；
对于D，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，由图象可知，时两曲线纵向距离最大，即差值最大，有机物积累最快时的温度约为，故D错误．
10. 如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积，连接，证明三角形为等边三角形，再利用面积之差即可解答，熟知扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，
根据题意可得，
三角形为等边三角形，
，，
，
，
，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式确定实数根的计算是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，进行计算求解即可．
【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根，
则，
即，
解得，
故答案为：．
12. 如图是中国传统寓意纹样——方胜纹，它是由两个全等的菱形同向压角相叠而成的吉祥纹样．图1是其简图，其中有1个“方格眼”（灰色小菱形）；图2是由三个全等的菱形同向压角相叠，其中有4个“方格眼”；图3是由四个全等的菱形同向压角相叠…，依此规律，个全等的菱形同向压角相叠．其中有______个“方格眼”（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】观察图形可知，图1由2个菱形组成，有1个“方格眼”；图2由3个菱形组成，有4个“方格眼”；图3由4个菱形组成，有7个“方格眼”；通过比较相邻图形中菱形个数与“方格眼”个数的变化，发现每增加1个菱形，“方格眼”增加3个，据此归纳出个菱形时“方格眼”的个数．
【详解】解：由题意及图形可得：
当菱形个数为2时，“方格眼”的个数为，即；
当菱形个数为3时，“方格眼”的个数为，即；
当菱形个数为4时，“方格眼”的个数为，即；
以此类推，当菱形个数为时，“方格眼”的个数为．
13. 某实践小组计划统计当地的共享单车数量：先随机对40辆共享单车贴上特殊标签，运营一段时间后单车完全混匀，再随机检查400辆单车，发现8辆有特殊标签，据此估算，当地共享单车总数约为______辆．
【答案】
【解析】
【分析】根据总体中带标签单车的频率与样本中带标签单车的频率相等，列方程求解即可．
【详解】解：设当地共享单车总数约为辆，由题意可得：

解得： ，
经检验， 是原方程的解，
即当地共享单车总数约为辆．
14. 为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准：
王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据阶梯收费标准，先确定时人均水费的计算方式，再结合家庭人口数得到总水费，整理后即可得到与的函数关系式．
【详解】解：当时，
人均用水量中，不超过部分的水费为 元，
超过部分的水量为，该部分水费为元．
因此人均水费为元，
已知王老师家有4口人，总应缴水费，
当时，与之间的函数关系式为．
15. 如图，在中，平分，与边交于点，过点作于点，与边交于点，且．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线和垂线的性质证明是等腰三角形，利用勾股定理求出的长；根据已知角相等证明，利用相似三角形的性质得到及；利用线段垂直平分线的性质得到，设，在中利用勾股定理表示出，结合线段关系列方程求解即可．
【详解】解：平分，
.
，
.
在和中，
，
，
，
在中，
，即，
又，
，
，，
平分，
，
，
，，
垂直平分，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
解得.
．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，及勾股定理的应用，看到角平分线+垂直于角平分线的线段，第一反应联想等腰三角形三线合一，这是本题的第一个突破口，快速得到等边关系，算出边长，并通过角的关系，识别出带公共角的相似三角形是另一个突破口．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算与解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2）原方程无解
【解析】
【分析】（1）先分别计算各部分，再合并得到最终结果；
（2）先将分式方程化为整式方程求解，再检验，判断原方程是否有解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
方程两边同乘以，得，
解得，
检验：当时，，
因此是原方程的增根，原方程无解．
17. 如图，一次函数的图象分别与轴，轴相交于点，，与反比例函数（）的图象相交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，的取值范围是 ．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点，
∴
解得
∴一次函数的解析式为；
∵反比例函数（）的图象经过点
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可得，时，的取值范围是．
18. 2026年5月18日是国际博物馆日，活动主题为“博物馆：连接世界的桥梁”．为紧扣该主题，充分发挥公共文化服务与教育职能，汾阳博物馆承办主题短视频大赛，赛事吸引了众多游客参观．工作人员根据赛事相关要求，统计了观赛游客中各年龄段的到访人数，并根据统计数据整理绘出条形统计图、扇形统计图．

（1）请根据统计图提供的信息回答：
未成年的人数为 人；“老年”对应扇形的圆心角度数为 ．
（2）本次短视频比赛中，评委将从主题契合度、创意与画面、内容与语言表达、出镜人形象四个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按主题契合度占、创意与画面占、内容与语言表达占、出镜人形象占，计算选手的综合成绩（百分制）．已知进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示．经计算，选手的最后得分为分，请计算选手的最后得分，并确定两人的名次．
（3）若从、中选取一人担任赛事形象代言人，结合得分与权重，谈谈你的选择并简述理由．
【答案】（1），
（2）选手的最后得分为分；选手第一名，选手第二名
（3）选择选手担任赛事形象代言人，理由是本次评分中，权重最高的是主题契合度，选手的主题契合度得分高于选手，且选手的综合成绩更高，更符合赛事评分要求，所以选择选手
【解析】
【分析】（1）先求出游客中各年龄段的到访总人数，再乘以未成年的人数所占的百分比即可得未成年的人数；利用乘以老年的人数所占的百分比即可得圆心角的度数；
（2）利用加权平均数的公式计算即可；
（3）根据各项成绩的权重、两位选手的综合成绩分析即可．
【小问1详解】
解：游客中各年龄段的到访总人数为（人），
则未成年的人数为（人），
老年的人数所占的百分比为，
则“老年”对应扇形的圆心角度数为．
【小问2详解】
解：选手的最后得分为（分），
∵选手的最后得分为分，且，
∴选手第一名，选手第二名．
【小问3详解】
解：选择选手担任赛事形象代言人，理由如下：
本次评分中，权重最高的是主题契合度，选手的主题契合度得分高于选手，且选手的综合成绩更高，更符合赛事评分要求，所以选择选手．
19. “金锅银锅，不如杏野砂锅”．杏野砂锅传承千年古法烧制，凭借炖煮食材鲜香醇厚，入味锁味的独特品质久负盛名．杏野砂锅按照用途可分为汤锅和药锅．已知一件汤锅的进价为40元，一件药锅的进价为24元．某商店售出2件汤锅，3件药锅，销售额为190元，每件汤锅的售价比药锅多20元．
（1）求汤锅、药锅的售价各是多少元？
（2）为了市场需求，该商店计划用不超过1500元的资金购进这两种砂锅共50个，若所购进的砂锅能全部售出，请给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少．
【答案】（1）汤锅的售价为每件50元，药锅的售价为每件30元．
（2）利润最大的进货方案为购进汤锅18件，药锅32件，最大利润为372元．
【解析】
【分析】（1）问利用二元一次方程组解决售价问题，根据售价差和总销售额的等量关系列方程求解；
（2）先根据资金限制列一元一次不等式得到汤锅数量的取值范围，再根据总利润和汤锅数量的关系得到最大利润及对应进货方案．
【小问1详解】
解：设药锅每件售价为元，汤锅每件售价为元．依题意得：
，解得，
答：汤锅的售价为每件50元，药锅的售价为每件30元．
【小问2详解】
解：设总利润为元．购进汤锅件，则购进药锅件，
根据总资金不超过1500元，可得：，解得
因为为正整数，所以的最大取值为18．
总利润，
因为，所以随的增大而增大．
因此当时，取得最大值，最大值为（元），
此时药锅数量为（件），
答：利润最大的进货方案为购进汤锅18件，药锅32件，最大利润是372元．
20. 某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点E到地面的高度．（参考数据：，，，，，）
【答案】点E距离地面的高度5.7米
【解析】
【分析】过E作交于H，由正切的定义得，，即可求解．
【详解】解：如图，过E作交于H，
∵，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴（米），
即点E距离地面的高度5.7米．
21. 阅读与思考
下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

任务：
（1）在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的 也相等．
（2）请推理说明图4中小宜作法的正确性．
（3）如图5，是的一条弦，，垂足为，点是圆外一点，请在图5中过点作弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）圆心角、弧
（2）证明：连接，，
∵，
∴，，
根据作图可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，弦即为所求．
【解析】
【分析】（1）连接，，证明，得出，从而得出，根据弧长公式得出所对的弧也相等；
（2）连接，，根据垂径定理得出，证明，得出，根据垂径定理得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与的延长线交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点；第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求．
【小问1详解】
解：连接，，如图所示：
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角也相等；
∵同圆或等圆中，圆的半径相等，
∴根据弧长公式可得，相等的圆心角所对的弧也相等；
综上，在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角、弧也相等；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
证明：如图，连接，，
∵，
∴，，
根据作图可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22. 消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆．
（1）如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为．
①求抛物线的函数表达式．
②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留）
（2）如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于y轴对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据待定系数法求解即可；
②令，求出对应的x的值，则可求灭火图形（即圆）的半径，然后根据圆的面积公式求解；
（2）分别求出平移后经过点F和点O时对应的值，然后根据对称性求出，即可求解．
【小问1详解】
解：①设，
把代入，得，
解得，
∴；
②当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴该喷头覆盖的灭火面积为；
【小问2详解】
解：设向右平移后经过F，
则平移后的解析式为，
把代入，得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∵，关于y轴对称，
∴；
设向左平移后经过O，
则平移后的解析式为，
把代入，得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∵，关于y轴对称，
∴；
∴．
23. 综合与探究
问题情境：如图1，在中，，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到（点，的对应点分别是点，），和交于点．
数学思考：
（1）求证：．
猜想证明：
（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（3）在图1的基础上，先将沿折叠，点的对应点是点，再将四边形绕点旋转，当点恰好落在直线时，直接写出的长度．
【答案】（1）证明：连接，，如图所示：
∵在中，，点是的中点，
∴，
∵将绕点旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）四边形为菱形，理由如下：
∵，
∴，
根据（1）可得：，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（3）或
【解析】
【分析】（1）连接，，先证明，得出，再证明，得出即可；
（2）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可；
（3）先求出，说明在四边形绕点旋转的过程中，的长度不变，分两种情况：当点H在的延长线上时，当点H在的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：∵在中，，，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
根据旋转可得：，，
如图，连接，交于点O，
根据折叠可得：，
∴四边形为菱形，
∴，，，
根据勾股定理得：，
∴，
∴在四边形绕点旋转的过程中，的长度不变，
当点H在的延长线上时，过点D作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
根据勾股定理得：，
∴；
当点H在的延长线上时，过点D作于点M，如图所示：
同理可得：，
∴；
综上，或．
阶梯等级
每人每月用水量
价格
一阶
不超过
2.6元
二阶
超过不超过
3.9元
三阶
超过
7.8元
选手
主题契合度
创意与画面
内容与语言表达
出镜人形象
85
80
92
81
80
86
82
93
弦心距
【概念理解】
弦心距是从圆心到圆内某条弦的垂线段的长度，即圆心到弦的最短距离．如图1，是的一条弦，，垂足为，那么的长度即弦的弦心距．
【性质探究】
在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等
如图2，，是的两条弦，于点，于点．如果，那么．
证明思路：连接和，易证，可得到；再由圆的轴对称性得，，因此．

【问题解决】
如图3，是的一条弦，，垂足为，点是圆内一点，且．请过点作弦，使．
如图4，具体作法：
第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧；两弧交于点；
第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求．