2026年河南驻马店市上蔡县2026年初中学业水平考试（二） 数学（含解析）

这是一份2026年河南驻马店市上蔡县2026年初中学业水平考试（二） 数学（含解析）
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、1是正整数，属于有理数；
B、是无限不循环小数，属于无理数；
C、，是正整数，属于有理数；
D、是负分数，属于有理数．
2. 2025年“五一”假期期间，河南省共接待国内游客万人次，旅游收入亿元，实现了文旅消费增长与文化传承发展的双向赋能．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：亿．
3. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是理解俯视图是从物体上面看所得到的图形，注意看得见的棱画实线．
【详解】解：刍甍的俯视图为．
4. 已知直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置，点，在直线上，点，在直线上，．若平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由是含有角的直角三角尺，可得，平分，则，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意．
6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，确定，再由圆内接四边形求解即可．
【详解】解：∵是直径，
∴．
∴．
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴．
7. 若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可．
【详解】解：①当时，直线与轴有交点，
∴符合题意．
②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根，
∴，解得．
∴当且时，符合题意．
综上所述，的取值范围是．
8. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程（．绘画、．唱歌、．演讲、．书法）可供选择．学校规定每个学生都必须报名且只能选择其中的一类课程，则小颖和小华选择同一类课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中小颖和小华选择同一类课程的结果有4种，
∴P（小颖和小华选择同一类课程）．
9. 如图，在中，，，，是的中点，直线与相切于点，交于点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理求出，由是的斜边中点得，可得，证明可求出，．从而可求出的长．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵与相切，
∴．
∵是的斜边中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴．
10. 如图1，四边形是矩形，动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿折线向点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．当点运动到的中点时，的值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得：，，当点P运动到点A处时，，此时，结合面积得出，，当点Q运动到的中点时，画出图形，然后利用面积和差求解即可．
【详解】解：根据题意得：，．
当点P运动到点A处时，，
此时，
∴，解得（负值已舍去）．
∴，．
当点Q运动到的中点时，如图所示：
运动时间为：秒，
∴，
∴，
∴．
∴．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个使在实数范围内有意义的的值：______．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】二次根式在实数范围内有意义需满足．
【详解】解：由题意，要使在实数范围内有意义，
则，
解得，
∴可取1．（答案不唯一）
12. 不等式组的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集.
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
13. 农业技术人员在两块小麦试验田中各随机抽取10株小麦，测量株高（单位：cm），并绘制出如下折线统计图，则小麦株高长势更稳定的是______试验田．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
【详解】解：由折线统计图，可知乙试验田的数据波动较小，说明乙试验田的小麦株高长势更稳定．
14. 如图，在矩形中，，以为直径的半圆交于点，，以为直径在上方作半圆，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，，，，再由求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，点M、N、A都在圆上，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴四边形为矩形，
∵，
∴．
∴，
∴．
∴，
∴，，，
∴
．
15. 如图，菱形中，，是对角线上一动点，过点作的垂线，分别交射线、射线于点，，连接，．若是直角三角形，则的值为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当 时，点 与 重合，利用平行线分线段成比例得 ；当 时，通过构造矩形和相似三角形，设， 列方程求解，得 ．
【详解】①当时，点M与点D重合，
如解图1所示．，
在菱形中，，
，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
②当时，如图2所示，记交于点K，过点C作的垂线，交射线于点F，过点M作于点E，
则四边形、四边形为矩形．．
设，则，．
∴．
设，则．
，
，且，
，
，∴，即，
∴．
．
∴．
∴．
，
∴．
解得（负值已舍去）．
∴．∴．
，，
．
综上，的值为或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
原式．
17. 为强化中小学科学实践教育，推动科学知识普及与实践技能提升，某校积极响应号召，在全校范围内开展科技普及专题培训，并在普及前和普及后进行科技知识测试（满分10分，得分为整数）．该校综合与实践小组的同学随机抽取100名学生的测试成绩，并对数据进行整理、分析，绘制成如下统计图表．
普及前和普及后科技知识测试成绩条形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______．
（2）若该校共有2000名学生，请你估计普及后成绩不低于8分的学生人数．
（3）结合以上统计量，评价本次科技普及专题培训的效果．
【答案】（1）8；8 （2）普及后成绩不低于8分的学生人数约为1080．
（3）评价：普及后测试成绩的平均数、众数、中位数都提高了，说明本次科技普及专题培训效果不错．（合理即可）
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以不低于8分的学生人数所占的比例即可；
（3）根据平均数、众数和中位数来评价即可．
【小问1详解】
解：∵随机抽取100名学生的测试成绩，
∴中位数为第50，51名学生的测试成绩，
∵，
∴第50，51名学生的测试成绩均为8分，
∴；
普及后8分出现的次数最多，
∴；
【小问2详解】
（名）
答：普及后成绩不低于8分的学生人数约为1080．
【小问3详解】
略
18. 如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，连接．
（1）尺规作图：在边上作点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求四边形的面积．
【答案】（1）如图所示：
或 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可；
（2）连接，证明，求解即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：如解图2，连接．
∵，，
∴，．
∵D是边的中点，
∴，，．
由作图，得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形的面积为1．
19. 如图，已知反比例函数的图象经过点，且点的横坐标为2．点与点关于直线对称，且点在反比例函数的图象上．
（1）求的值．
（2）在平面直角坐标系中，通过描点画出反比例函数的图象．
（3）已知点在轴上方，且以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．现将该平行四边形沿水平方向平移，当点落在反比例函数的图象上时，请直接写出平移的距离．
【答案】（1）6 （2）如图所示：
（3）或1
【解析】
【分析】（1）先确定，根据点与点关于直线对称，设，确定，后利用待定系数法求解即可．
（2）利用描点法，画出图象即可．
（3）由点C与点构成一个平行四边形，设，点在轴上方，，分类求解即可．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，且点的横坐标为2．
，
，
由点与点关于直线对称，
设，
，
解得，
，
根据点在反比例函数的图象上，
，
解得．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：由点C与点构成一个平行四边形，
设，点在轴上方，
，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
解得：，
∴；符合题意；
设将该平行四边形沿水平方向向右平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上，
根据题意，得，
，
解得，不符合题意，舍去；
设将该平行四边形沿水平方向向左平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上，
根据题意，得，
，
解得，符合题意；
当为对角线时，由中点坐标公式得：
解得：，
∴；不满足在轴的上方，不符合题意，舍去；
当为对角线时，由中点坐标公式得：
解得：，
∴；符合题意；
设将该平行四边形沿水平方向向右平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上，
根据题意，得，
，
解得，符合题意；
设将该平行四边形沿水平方向向左平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上，
根据题意，得，
，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，需要平移的距离为或1；
20. 综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用测角仪测量附近公园内一座观景台的高度，他们的测量方案如下：如图是公园观景台的侧面示意图，观景台立柱（矩形）垂直于水平地面，下方有两层观景平台（侧面示意图为矩形），每层高度为．兴趣小组在一层观景平台的处用高的测角仪测得观景台顶端的仰角为，在二层观景平台的处用同高度的测角仪测得观景台顶端的仰角为（测角仪，均垂直于地面）．已知测量点到立柱的水平距离与测量点到立柱的水平距离相差，请你求出观景台立柱的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）
【答案】观景台立柱的高度约为．
【解析】
【分析】过点作于点E，过点作于点F，得出，，，设，则，利用三角函数得出．，然后建立方程求解即可
【详解】解：如解图，过点作于点E，过点作于点F．
由题意，得，，．
设，则．
在中，．
在中，．
∵，
∴．
∴．
∴，
解得．
∴．
∴．
答：观景台立柱的高度约为．
21. 金银花是河南传统特色经济作物，多地盛产优质金银花．已知加工前每千克鲜金银花的售价比加工后每千克干金银花的售价便宜80元，用1000元收购的鲜金银花的质量与用5000元收购的干金银花的质量相等．
（1）求每千克鲜金银花的售价．
（2）某医药公司计划本月购买鲜金银花与干金银花共300千克，且干金银花的质量不少于鲜金银花质量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）每千克鲜金银花的售价为20元．
（2）最省钱的购买方案为购买250千克鲜金银花、50千克干金银花．
【解析】
【分析】（1）设每千克鲜金银花的售价为元，则加工后每千克干金银花的售价为元，根据用1000元收购的鲜金银花的质量与用5000元收购的干金银花的质量相等列分式方程求解即可；
（2）设购买鲜金银花千克，则购买干金银花千克．根据题意列不等式，求出的取值范围，设总费用为元，则．求出y取得最小值时的的值即可．
【小问1详解】
解：设每千克鲜金银花的售价为元，则加工后每千克干金银花的售价为元．
由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：每千克鲜金银花的售价为20元．
【小问2详解】
解：设购买鲜金银花千克，则购买干金银花千克．
由题意，得，解得．
由（1），知每千克鲜金银花的售价为20元，
∴每千克干金银花的售价为100元．
设总费用为元，则．
，∴y随x的增大而减小．
∴当时，y取得最小值，此时．
∴最省钱的购买方案为购买250千克鲜金银花、50千克干金银花．
22. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的对称轴．
（2）当时，函数的最小值为0．
①求的值；
②点，是二次函数图象上的两个动点，若，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）该二次函数图象的对称轴是直线．
（2）①，②．
【解析】
【分析】（1）把代入二次函数的解析式中，可得，再由对称轴即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称轴，开口方向，及，判断当时，函数有最小值，即可求解；
②由①可知，把点，代入二次函数中，化简整理得，然后分情况讨论：或，即可求解的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴该二次函数图象的对称轴是直线．
【小问2详解】
解：①∵二次函数图象的对称轴是直线，，开口向下，
而，距离对称轴较远，
∴当时，函数在处取得最小值．
由（1），知，
∴，
当时，，即，
解得，
②．
由题意，得二次函数的表达式为，
∴，，
，
当时，，
∴，
解得，
∴；
当时，，
∴，
解得，
∴．
综上所述，的取值范围是．
23. 【问题情境】
如图，在中，，，过点作的垂线，（不与点重合）是直线上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
【观察发现】
（1）如图1，得出的依据是______，的度数是______．
【深入探究】
（2）如图2，连接交于点，过点作直线的垂线，垂足为．判断线段与线段之间的数量关系，并就图2的情形给出证明．
【拓展应用】
（3）已知，，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1），
（2）．
理由：如图1，过点E作于点H．
由（1），可知，．
∴．
∴，．
∵，
∴．
，
∴．
∵，，
∴．
在和中
．
∴，，．
．
∴．
在和中
．
∴．
∴．
∴．
（3）或．
【解析】
【分析】（1）证明，可得；
（2）过点E作于点H．证明，则，．可得．再证．得．可证．即．
（3）过点A作于点M，先求出．分两种情况讨论：点D在直线上方和点D在直线下方两种情况进行计算．
【小问1详解】
解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，．
，
．
在和中
．
．
直线，
．
【小问2详解】
略．
【小问3详解】
解：如图2，过点A作于点M，
，
，．
∵，
∴．
，，
，，则．
由（2），可知．
∴．
分两种情况讨论：①如解图2，点D在直线上方．
∵，
∴，．
∵，，，
∴，
∴．
∴．
在中，．
由（2），可知，
∴．
∴．
②如解图3，点D在直线BC下方．
∵，∴．
∴．
同理①，可得．
∴．
∴．
综上所述，的长为或．
平均数
中位数
众数
普及前
6
6
普及后