黑龙江哈尔滨市第三中学2025-2026学年度下学期高二下学期6月月考数学试卷

这是一份黑龙江哈尔滨市第三中学2025-2026学年度下学期高二下学期6月月考数学试卷，共19页。
试时间为 120 分钟；
第 I 卷 （选择题, 共 58 分）
单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合M  x | x 1  2， N  0,1, 3, 5，则 M ∩ N 
A．0,1
B．0, 3
C．0,1, 3
D．1, 3, 5
命题“  x  0 ， x  1  3 ”的否定是
x
A．  x  0 ， x  1  3
x
C． x  0 ， x  1  3
x
B． x  0 ， x  1  3
x
D． x  0 ， x  1  3
x
设Sn 为等差数列an 的前 n 项和，已知a1  S5  5 ，则S4 的值为
A．-3B．0C．5D．8
命题“ x 1,1， x2  2x  a  0 ”为假命题的一个充分不必要条件是
a  2
a  1
a  2
a  1
若函数 f (x)  ax ln x 在区间1,2 上存在减区间，则实数 a 的范围是
A．  ,1
B．  , 1 
C．  , 1 
D．  ,1
2
 


21ln 3
2 
已知 a 
, b 
e2
, c , 则 e3
b  c  a
b  a  c
c  b  a
a  b  c
近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用 3D 打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为 r
（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为4πr 4 元，厂家可制作的模型的最大半径为1dm ，若批发商以 3 元/ dm3 的价格收购，则该厂家售卖单
个模型最多可以获利（参考公式：V球
 4 πr3 ）
3
π 元B． 27π 元C． π 元D． 27π 元
32264
如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在 4 个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列an 的前 4 项，则下列结论正确的为
a3  71
11
C． a  230
an1  8an 1
D． 1  1    1  8
aaa7
12n
多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列命题正确的是
若 x  5  0 ，则 x  2 或 x  5
2  x
若 a  b ， c  d ，则ac  bd
若a  0, b  0, a  b  1 ，则 4  1 的最小值为 9
ab
若a  b 1, 3, a  b 6，10，则3a  b 的最大值为 18
已知数列an 的前n 项和为Sn ， a1  1， an  an1  3n 1，则下列结论正确的有
2n
a3 =11
数列a2n1 是等差数列
S7  40
S 3n2  n
已知函数 f  x  ex  1 ax3 有三个极值点 x , x , x  x  x  x  ，则
3
e2x  x
123123
 4
a B． 23
4
若 x , x , x 成等差数列，则 x2 , x2 , x2 成等比数列
123123
若 x1 , x2 , x3 成等差数列，则数列 x1 , x2 , x3 的公差为2ln  2 1
第Ⅱ卷 （非选择题, 共 92 分）
填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上.
已知数列a 满足a  3，且a1，则a.
n1n1
1 an
2026
已知函数 f (x)  ex  ax 有极小值，且极小值小于 0，则实数 a 的取值范围是.
已知函数 f (x)  1 (1 m  e2x )  1
xx2
实数 m 的取值范围是.
 ln x ，若存在 x  0 ，使得 f (x)  0 成立，则
x2
解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）
已知函数 f  x  x3  ax2  bx  2 a, b  R  ，当 x  1 时， f  x 有极小值 0.
求实数a, b 的值；
求函数 f  x 在区间1, 3 上的最大值和最小值.
（15 分）
已知数列an 满足a1  3 ，且an1  2an  n 1 ， n  N ．
证明数列an  n 是等比数列，并求数列an 的通项公式；
求数列an 的前n 项和Sn ．
17．（15 分）
x2y2
已知双曲线C : a2  b2  1a  0, b  0 的右焦点 F 到一条渐近线的距离为 1，且点
P 2,1 在双曲线C 上．
求双曲线C 的方程；
斜率为1的直线与双曲线C 的右支交于 M、N 两点（异于点 P）．求证：直线
MP 、 NP 的斜率之和为定值．
18．（17 分）
已知函数 f  x  ln x  mx .
若 m  1,求函数 f (x) 在 x  1 处的切线方程；
若 f  x  m(x  1 )  m 1 对任意的 x  1 恒成立，求整数 m 的最大值；
x
设 g  x  f (x)  3mx  1 x2 有两个极值点 x  x ，求 g  x  的范围.
2122
19．（17 分）
已知函数 f (x)  ex 1 .
求证： f (x)  ex  1  ln x ；
x
求证： n!  e2n4
n (n  N ) ；
设 x1, x（2
x1  x2 ) 是函数 h(x) 
f (x)  a(x  2) 1的两个零点，当
x  x (2,3ln 2  4] 时，求 x2  2 的取值范围.
x
1
12 2
哈三中 2025-2026 学年度下学期高二学年 6 月月考数学答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
D
B
A
A
D
C
AC
BCD
ACD
填空题
12. 313. e, 
14., 1
解答题
（1）a=0,b= -3,需检验
（2）最小值 0，最大值 20
n
（1）证明略， a  2n  n
Sn  2
n1
 2 
n2  n
2
（1）
x2  2 
y
1
2
（2）0
（1） y  2x 1
（2）3
 ,  3 
2 

（1）略
略
1, 2