2025-2026学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中AB与CD的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 垂直
2.如图，M是线段OB的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A. B. C. D.
3.若i为虚数单位，则复数z=5i（3-4i）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB=（ ）
A.
B. 2
C.
D. 3
5.已知l,m,n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
B. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C. 若l∥α，l⊂β，α∩β=m,则l∥m
D. 若m⊂α，n⊂α，l⊂β，且m∥β，n∥l,则α∥β
6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：AB=20cm,AD=10cm,BE=14cm,A=B=，则破裂的断点D，E两点间距离为（ ）
A. B. 15cmC. D. 14cm
7.三棱台ABC-A1B1C1中，AB：A1B1=1：2，则三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为（ ）
A. 1：1：1B. 1：1：2C. 1：2：4D. 1：4：4
8.已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（ ）
A. -1B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（ ）
A. 若z∈C，则
B. 若a+bi=1+i（a,b∈C），则a=b=1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z-2|的最小值为1
D. 若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的根，则p=8
10.在△ABC中，AC=5，BC=4，，则（ ）
A. B. △ABC的面积为6C. D.
11.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则该圆台的（ ）
A. 高为B. 体积为
C. 表面积为14πD. 内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，ΔO′A′B′是水平放置的ΔOAB的直观图，O′A′=3，O′B′=4，∠A′O′B′=45°，则原△AOB的面积为______.
13.已知一平面截球O所得截面圆的半径为1，且球心到截面圆所在平面的距离为2，则球O的表面积为______．
14.若三角形的两个内角α和β满足，则称该三角形为“准互余三角形”.在△ABC中，，AB=3，BC=4，点D是AB边上一点，若△ADC是准互余三角形，则AD= ；△ADC的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，且与垂直.
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数k的值.
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，M为DD1的中点，E为棱A1D1的中点，F为棱D1C1的中点.
（1）求证：E，F，A，C四点共面；
（2）求证：BD1∥平面AMC；
（3）求正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积和体积.
17.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，，∠BAC=∠CAD=θ，CD=2AB=4.
（1）若△ABC面积是2，求AC；
（2）若，求AC.
18.(本小题17分)
如图已知四棱锥S-ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP：PQ：QS=3：2：4，点M为SA上的点，且3AM=AS.
（1）求证：CP∥平面SAB；
（2）求证：平面BMQ∥平面ACP；
（3）平面BMQ与侧棱SC相交于点E，求的值.
19.(本小题17分)
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），A1P=6，PO1=2且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
（1）求该几何体的表面积；
（2）若E，F，G分别为棱AA1，C1D1，BC的中点，求四面体B1-EFG的体积；
（3）若Q，N分别是线段A1B1，PB1上的动点，求AQ+QN+NC1的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】12
13.【答案】20π
14.【答案】

15.【答案】； k=-2．
16.【答案】证明：如图：连接EF，A1C1，AC．

∵E，F分别是线段A1D1，D1C1的中点，∴EF∥A1C1．
又∵AA1∥CC1且AA1=CC1，∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴A1C1∥AC，∴EF∥AC，∴E，F，A，C四点在同一个平面内，
∴E，F，A，C四点共面 连接BD，交AC于点O，∵ABCD是正方形，对角线互相平分，∴O是BD的中点．

又M是DD1的中点，因此在△BDD1中，OM是中位线，故OM∥BD1．
∵OM⊂平面AMC，BD1⊄平面AMC，且OM∥BD1，
由线面平行判定定理得：BD1∥平面AMC 12π；
17.【答案】解：（1），
因此，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cs∠ABC=，
因此；
（2）∠BAC=∠CAD=θ，则，，
在△ABC中，即，因此，
在△ACD中，，即，因此，
因此，解得2sinθ=csθ，
又，sin2θ+cs2θ=1，解得，因此．
18.【答案】证明见解析．
证明见解析．
2．
19.【答案】320+32．
96；
．