初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定获奖ppt课件

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定获奖ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了复习回顾，直角三角形的判定，证一证，知识要点，最长边，判断等量关系，归纳总结，典例精析，勾股数，勾股数拓展性质等内容，欢迎下载使用。
思考：如何判定一个三角形是直角三角形？
如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.
两个角互余的三角形是直角三角形.
除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？
据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1) a = 3，b = 4，c = 5； (2) a = 4，b = 6，c = 8； (3) a = 6，b = 8，c = 10.
可以发现，按 (1)、(3) 所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按 (2) 所画的三角形不是直角三角形.
这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？
在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2.
对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该三角形是直角三角形吗？
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC 是直角三角形．
证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a，则 A′B′ ² = a² + b² = c²，即 A′B′ = c.在△ABC 和△A′B′C′ 中，∵ BC = a = B′C′， AC = b = A′C′， AB = c = A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′ .∴∠C = ∠C′ = 90°.
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.
这是判定直角三角形的一个依据.
算出两短边的平方和与最长边的平方
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形
例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：(1) ∵ 152 + 82 = 289，172 = 289， ∴ 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13 ，b = 14，c = 15.
(2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225， ∴ 132 + 142 ≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴ 这个三角形不是直角三角形.
例2 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，你说这个零件符合要求吗?
在△BCD 中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
例3 已知△ABC，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n²+1 (n 为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n4 - 2n² + 1 + 4n² = n4 + 2n² + 1 = (n² + 1)² = AC²，∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
先确定 AB、BC、AC、的大小
概念：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数： ① 3，4，5 ；② 6， 8， 10；③ 5，12，13； ④ 8，15，17； ⑤ 7，24，25.
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.(1) 12，16，20；(2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足 ，则这个三角形是直角三角形吗？
解：∵ ，∴a2=c2−b2.∴a2+b2=c2.
∴这个三角形是以a、b为直角边，c为斜边的直角三角形.
3.想一想，你现在有多少种方法可以判定一个三角形是直角三角形.
解：有3种方法，分别是：（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理；（3）一个三角形中有两个角的和为90°.
如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，求△ABC的面积.
解：如图，延长AD到点E，使 DE=AD，连结BE.∵D为BC的中点，∴ CD=BD.在△ADC和△EDB中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴ S△ADC=S△EDB，BE=AC=5.又∵AE=2AD=4，AB=3，∴AB2+AE2=32+42=25=BE2，∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°，即AB⊥AE.
∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=S△EDB+S△ADB =S△ABE
= AE·AB= ×4×3=6.
1.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是(　　)A．5，9，12 B．5，9，13C．5，12，13 D．9，12，13
2. 下列由三条线段a，b，c构成的三角形(其内角分别为∠A，∠B，∠C)：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A∠B∠C＝345；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中能构成直角三角形的是(　　)A．①④ B．①②④C．②③④ D．①②③
3. 如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　)A．点A B．点B C．点C D．点D
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为______．
【点拨】连结BD.∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，∠ADB＝60°.∵BC＝10，CD＝8，∴BD2＋CD2＝62＋82＝100＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°.
5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°.(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°.(2)求图中阴影部分的面积．
8. 已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形
10. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连结CD，AD，若CD＝2, AD＝6，则∠BCD＝__________．
【点拨】分两种情况讨论，如图①和图②.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC2＝42＋42＝32.又由题知CD2＝4，AD2＝36，∴AD2＝AC2＋CD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°.故①∠BCD＝90°＋45°＝135°；②∠BCD＝90°－45°＝45°.综上，∠BCD＝135°或45°.
11. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是△ABC三条角平分线的交点，则△BCO的边BC上的高是________．
12. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB－∠DCE＝________°.