中考数学一轮复习核心考点专题23 圆的基本性质（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习核心考点专题23 圆的基本性质（讲义）（2份，原卷版+解析版），共7页。试卷主要包含了理解并运用圆周角定理及其推论；，理解并运用圆内接四边形的性质等内容，欢迎下载使用。
1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；
2.理解并运用圆周角定理及其推论；
3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；
4.理解并运用圆内接四边形的性质.
考点1： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点4：垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
考点5：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点6：圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点7：圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴

【题型1：垂径定理及推论】
【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20mB．28mC．35mD．40m
1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 ．
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
【题型2：圆周角和圆心角】
【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【题型3：弧、弦、圆心角】
【典例3】（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．80°
1．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
2．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140°B．120°C．110°D．70°
4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．20°B．18°C．15°D．12°
【题型4：圆内接四边形】
【典例4】（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
1．（2023•朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
2.（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝ °．
3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
一．选择题（共9小题）
1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38°B．76°C．80°D．60°
2．如图，△ABC的三点都在⊙O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．110°D．130°
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．2B．2C．4D．10
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
9．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
二．填空题（共5小题）
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 °．
11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 ．
12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 cm．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ ．
三．解答题（共1小题）
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100°B．128°C．104°D．124°
2．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．38°B．40°C．42°D．44°
5．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5B．3C．2D．1
6．如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（ ）
A．B．πC．2πD．4 π
7．如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝36°，则∠ABO的度数为（ ）
A．36°B．45°C．54°D．72°
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
二．填空题（共4小题）
11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是 度．
12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，若AB＝6，则BD的长为 ．
13．绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 m．
14．如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为 ．
三．解答题（共2小题）
15．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
16．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π ）．
1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
2．（2023•淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（ ）
A．300πmB．200πmC．150πmD．100πm
4．（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ）
A．56°B．33°C．28°D．23°
5．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（ ）
A．1B．2C．2D．4
6．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 °．
7．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 度．
8．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 ．
9．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 cm．
10．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ ．（结果保留一位小数）