中考数学二轮专题培优训练重难点06 相交线与平行线的5种模型（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮专题培优训练重难点06 相交线与平行线的5种模型（2份，原卷版+解析版），共8页。
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc155795834" 题型01 三线八角模型
\l "_Tc155795835" 题型02 铅笔头模型
\l "_Tc155795836" 题型03 锯齿型模型
\l "_Tc155795837" 题型04 翘脚模型
\l "_Tc155795838" 题型05 三角板拼接模型
题型01 三线八角模型
模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系.
【快速判断同位角、内错角与同旁内角】
【针对训练】
例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4
【答案】B
【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出答案．
【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义．
变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠2与∠4
【答案】B
【分析】根据同旁内角的概念求解即可．
【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角，
∠1与∠2是内错角，
∠4与∠2是同位角，
故选：B．
【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键．
变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】C
【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角，解答即可．
【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是∠4 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．
例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，则∠2的大小为（ ）
A．120°B．122°C．132°D．148°
【答案】B
【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解．
【详解】解：设CD与EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键
变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=（ ）
A．70°B．110°C．130°D．150°
【答案】C
【分析】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质得到∠1=∠4=100°，再根据三角形的外角和定理 即可求解．
【详解】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，如图，
∵m∥n，∠1=100°，
∴∠1=∠4=100°，
∵∠2=30°，∠2与∠5互为对顶角，
∴∠5=∠2=30°，
∴∠3=∠4+∠5=100°+30°=130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【答案】C
【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠ABC的度数，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵AC⊥BC于点C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠1=90°，
又∠1=30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵m∥n，
∴∠2＝180°﹣∠ABC＝120°．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质等知识，解题的关键是求出∠ABC的度数．
题型02 铅笔头模型
【针对训练】
例3如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°．
【答案】见解析
【分析】过点P作PQ∥AB，根据同旁内角互补，可得出结论．
【详解】解：过点P作PQ∥AB，如图，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥PQ
∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°
∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°，即∠PAB+∠APC+∠PCD=360°
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．
变式1如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
【答案】540
【分析】过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，如图，
∵AB∥CD，EM∥CD，FN∥CD，
∴AB∥FN，EM∥FN，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线EM∥CD，FN∥CD是解答本题的关键．
变式2 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠a−∠β，理由见解析
【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°−∠A=50°，∠CPE=180°−∠C=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠a−∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
变式3 如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
变式4（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）
（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）
（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）
（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）

【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）过点A2作A2B∥l1，根据平行线的性质，即可求解；
（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，根据平行线的性质，即可求解；
（3）根据平行线的性质，即可求解；
（4）根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：（1）过点A2作A2B∥l1，
∵l1∥l2，
∴A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，
故答案是：360°；
（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，
∵l1∥l2，
∴A3C∥A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180 °，
故答案是：（n-1）180 °．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．
题型03 锯齿型模型
【针对训练】
例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可．
【详解】方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB ，
∴∠A=∠AEM．
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠CEM．
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C．
方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AFC．
∵∠AEC=∠AFC+∠C，
∴∠AEC=∠A+∠C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线AB∥CD，∠EFG−∠AEF=30°，则∠FGD= ．
【答案】150°/150度
【分析】过点F作FH∥AB，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：如图：
过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，FH∥AB，
∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH,∠HFG+∠FGD=180°，
∵∠EFG−∠AEF=30°，
∴∠HFG=∠EFG−∠EFH=∠EFG−∠AEF=30°，
∴∠FGD=180°−∠HFG=180°−30°=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题主要考查平行的性质，理解并掌握构造平行线，平行线的性质是解题的关键．
变式3 问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1−B1−A2−⋯−Bn−1−An是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β
(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn−1
【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn−1．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn−1．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．
变式4．如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．
【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
变式5（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析
【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．
【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴结合（1）问得：
所有角的和为（n+1）•180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．
题型04 翘脚模型
【针对训练】
例5（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?
小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．
∵∠DAM=∠D，
∴①_____________
∵∠D−∠DAB=20°
∴∠BAM=②_________°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③__________°，
∴④_____________
∴BC∥DE．
所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．
【答案】①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM
【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．
【详解】解：如图，通过尺规作图得：∠DAM=∠D，
∵∠DAM=∠D，
∴①DE∥AM，
∵∠D−∠DAB=20°，
∴∠BAM=②20°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③180°，
∴④BC∥AM，
∴BC∥DE．
所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．
故答案为：①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．
变式1（2023·云南·校考一模）如图，AB∥CD，∠A=30°，∠C=70°，则∠F= °．
【答案】40
【分析】由AB∥CD得到∠FEB=∠C=70°，再利用三角形的外角定理可以求出∠F．
【详解】∵AB∥CD，∠C＝70°，
∴∠FEB=∠C=70°，
又∵∠FEB＝∠A＋∠F，而∠A＝30°，
∴∠F＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到∠F＝∠FEB－∠A是解题关键．三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
变式2（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ．
【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
变式3 ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
变式4．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
变式5．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
题型05 三角板拼接模型
【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数..
【针对训练】
例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）

A．5°B．10°C．15°D．20°
【答案】C
【分析】由题意得：∠ACB=45°，∠F=30°，利用平行线的性质可求∠DCB=30°，进而可求解．
【详解】解：如图，∠ACB=45°，∠F=30°，

∵BC//EF，
∴∠DCB=∠F=30°，
∴∠1=45°−30°=15°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则∠BND= °．
【答案】105
【分析】根据平行线的性质可得∠FAN=∠B=45°，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】∵∠B=∠C=45°，EF∥BC，
∴ ∠FAN=∠B=45°，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
∴∠BND=∠ANF=180°−∠F−∠BAF=105°
故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】A
【分析】设AB与EF交于点M，根据AB//DE，得到∠AMF=∠E=45°，再根据三角形的内角和定理求出结果．
【详解】解：设AB与EF交于点M，
∵AB//DE，
∴∠AMF=∠E=45°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴∠AFM=180°−30°−45°=105°,
∵∠EFD=90°,
∴∠AFD=15°，
故选：A．
．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．
变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】C
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
【详解】如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
变式4（2022·山东淄博·统考一模）一副三角板按如图所示叠放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=30°，∠D=45°，且AC∥DE，则∠BCD= 度．
【答案】45
【分析】首先根据AC∥DE得到∠ACD=∠D，再根据余角的知识求出∠BCD的度数．
【详解】∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠D=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和余角的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等．
变式5．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则∠1= °．
【答案】105
【分析】根据平行性的性质可得∠2=45°，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠A=45°，
∵∠E=30°，∠F=90°，
∴∠D=60°，
∴∠1=∠2+∠D=45°+60°=105°，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB//EF，则∠ADE= 度．
【答案】75
【分析】直接利用平行线的性质结合三角板的性质分析得出答案．
【详解】解：由三角板的特点得出∠DAB=45°+30°=75°，
∵AB//EF，
∴∠DAB=∠ADE=75°．
故答案为：75．
【点睛】本题考查两直线平行，内错角相等、三角板的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式7（2023·浙江温州·校考三模）一副直角三角板如图放置，点E在边BC的延长线上，BE∥DF,∠B=∠DEF=90°，则∠CDE的度数为 ．

【答案】15°/15度
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠CDF=60°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠F=45°，∠BAC=30°，
∵∠BAC=30°，∠B=90°
∴∠ACB=180°−∠B−∠BAC=60°，
同理：∵∠F=45°，∠DEF=90°
∴∠EDF=180°−∠F−∠DEF=45°，
∵BE∥DF，
∴∠CDF=∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠CDF−∠EDF=60°﹣45°=15°．
故答案为15°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键．
已知
图示
结论（性质）
直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行
1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；
3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；
4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.
直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD
1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；
2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；
3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；
4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠C+∠E = 360°
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
a∥b
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b
所有朝左角之和等于所有朝右角的和
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C
方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB
方法二
证明：如图，延长AE，交CD于点F．
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠1=∠2+∠3
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠1+∠3-∠2=180°