四川成都外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

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注意事项：
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.
本堂考试 120 分钟，满分 150 分；
答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B 铅笔填涂.
考试结束后，将答题卡交回.
第 I 卷（选择题）
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
的第 9 项是（）
B. C. D. 以上均不对
某校羽毛球队有 5 名男队员，6 名女队员，现在需要派 1 名男队员，1 名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（）
A. 11 种B. 15 种C. 22 种D. 30 种
双曲线的渐近线方程为（）
B.
C.D.
曲线在点 处的切线方程为（）
B. C. D.
将半径为 4 的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）
B. C. D.
，则（
，且
已知数列 是等比数列，公比 ，前 项和为 ，满足
）
A. B. 4C. D. 2
如图，四边形中， 是边长为 2 的正三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
现将 沿 折起，当二面角 的平面角大小时，直线与 所成角的余弦值是
（）
A. B. C. D.
已知定义在上的奇函数 的导函数为 ，，当 时， ，则不等式 的解集为（）
B.
C. D.
多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错或不选得 0 分.
已知函数 ，则下列说法中正确的是（）
在上有两个极值点
在 处取得最大值
在 处取得最小值
在上有三个不同的零点
已知数列 中， ， ， ，其前项和为 ，则（）
A.B.
C. 当 取最小值时，D. 数列 的前 项和为
已知函数 ， ，则下列说法正确的是（）
在 上是增函数
，不等式恒成立，则正实数的最小值为
若方程 有两个实数根 ，则
若 ，且 ，则 的最小值为
第 II 卷（非选择题）
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在答题卡上.
设 是函数 的导函数，若 ，则 ．
甲、乙、丙、丁、戊共 5 人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有．（用数字作答）
已知椭圆的左、右焦点分别是和 ，下顶点为点 ，直线交椭圆 于点 ， 的内切圆与 相切于点 ，若，则椭圆的离心率为．
解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数 .
求函数 的单调区间；
求当 时，函数 的最值.
如图，在直三棱柱中， ， ，D，E 分别是 ， 的中点.
求证： 平面；
求直线 与平面所成角的正弦值.
，
.
已知数列 的前项和为 ，数列 满足，
求数列 的通项公式 ；
求数列 的通项公式 ；
若 ，求数列 的前 项和 .
已知抛物线 C 的顶点为原点，焦点 （）到直线 的距离为 2．
求抛物线 C 的方程；
设为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 其中为切点．
证明：直线 的方程为过定点；
求 面积的最小值．
已知函数 存在极值点 ．
当 时，讨论 的单调性；
求 b 的取值范围并证明 ；
若且，求 a 的取值范围．
成都外国语学校 2025—2026 学年度下期半考试高二数学试卷
注意事项：
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.
本堂考试 120 分钟，满分 150 分；
答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B 铅笔填涂.
考试结束后，将答题卡交回.
第 I 卷（选择题）
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
的第 9 项是（）
B. C. D. 以上均不对
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，代入计算即可求解.
【详解】由题意可知，故第 9 项为．故选：B
某校羽毛球队有 5 名男队员，6 名女队员，现在需要派 1 名男队员，1 名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（）
A. 11 种B. 15 种C. 22 种D. 30 种
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步乘法原理在男队员与女队员各选一人即可得结论.
【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有 5×6=30（种）.
故选：D.
双曲线的渐近线方程为（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为 .
故选：A.
曲线在点 处的切线方程为（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得所求切线的方程.
【详解】 点在曲线上，
由题意，，切线斜率为，
因此，所求方程为，即．故选：C．
将半径为 4 的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解.
【详解】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为 ，则 ，解得，又母线长为 4，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
，则（
，且
已知数列 是等比数列，公比 ，前 项和为 ，满足
）
B. 4C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由前 项和的定义及等比数列的通项公式求解即可.
【详解】因为，，
所以，
即
，
或
，
解得
又因为 ，所以 .
如图，四边形中， 是边长为 2 的正三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，现将 沿 折起，当二面角 的平面角大小时，直线与 所成角的余弦值是
（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取 中点 ，连接 ， ，过点 作平面 的垂线 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与 所成角的余弦值.
【详解】取 中点 ，连接 ， ，易知 为二面角 的平面角，
所以，过点 作平面 的垂线 ，
以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，
，
则
，
.
从而 ，，所以.
所以直线与 所成角的余弦值是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线所成角的余弦值.
已知定义在上的奇函数 的导函数为 ，，当 时， ，则不等式 的解集为（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复合函数和函数的奇偶性得到 的单调性，再分 的范围解不等式即可；
即
，
【详解】 时，
在上单增，
又 为奇函数， 为偶函数，
在 上单减，
，故
，
，
，
则
，若
所以或 时，当 或 时，当 时， ， ；
当时，
则
若
， ，
若
则
， ，不符合题意；
综上， ，
故选：A.
多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错或不选得 0 分.
已知函数 ，则下列说法中正确的是（）
在上有两个极值点
在 处取得最大值
在 处取得最小值
在上有三个不同的零点
【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，极值，以及函数的图象，即可判断选项.
或
，
【详解】 ，得
，解得或 ， ，解得 ，
所以函数的单调递增区间是 和 ，减区间是 ，
所以 在上有两个极值点， 取得极大值， ， 处取得极小值， ， ，
当时， 恒成立，且 ， ，所以 处不能取得最大值， 处取得最小值，故 AC 正确，B 错误； ，即 ， ，所以有 2 个零点，故 D 错误.
故选：AC
已知数列 中， ， ， ，其前项和为 ，则（）
B.
C. 当 取最小值时，D. 数列 的前 项和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题可知，数列 首项，公差 的等差数列，利用等差数列通项公式和前项和公
式求得 即可判断 ABC 选项，根据，利用裂项相消法可求 .
【详解】，即 ，
所以数列 首项，公差 的等差数列，
，故 A 正确；
， ，故 B 正确；当 时， 取最小值，故 C 错误；
，
，故 D 正确；
故选：ABD.
已知函数 ， ，则下列说法正确的是（）
在 上是增函数
，不等式恒成立，则正实数的最小值为
若方程 有两个实数根 ，则
若 ，且 ，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导即可判断 A，利用 的单调性，结合分离参变量，可判断 B，利用极值点偏移证明，即可判断 C，利用同构函数，再消元转化到函数即可求最小值判断 D.
【详解】求导得：，
当 时，，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
，
当
时，
，则
当
时，
，则
所以 的最小值为；
在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ；
恒等式：,,
，
，
当 时，
所以 在 上是增函数，故 A 正确；
当 时， ，由 ，故 ，由在递增，则，
令，求导得：，得
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以在处取最大值，故，即正实数的最小值为，故 B 正确；由 在 上单调递减， 上单调递增，且最小值 ，
当 有两个实数根 ，则 ，不妨设 ，
假设，则，因为 在 上单调递增，所以 ，又因为 ，
所以，构造， ，
求导得：，
所以 在 上单调递增，
即 ，故 ，
所以不成立，故假设不成立，故 C 错误；
由得： ，且，因为在上单调递增，故，
所以 ，
则原式化简：，
令
，
，求导得：，
当 时， ，则在上单调递减，
当 时， ，则在 上单调递增，
所以 在处取最小值，故 的最小值为，故 D 正确.
第 II 卷（非选择题）
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在答题卡上.
设 是函数 的导函数，若 ，则 ．
【答案】2
【解析】
【分析】先对函数求导，然后将 代入计算即可.
【详解】因为 ，所以，所以.
故答案为：2
甲、乙、丙、丁、戊共 5 人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有．（用数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可.
【详解】5 人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为，所以所求不同的排法种数为.
已知椭圆的左、右焦点分别是和 ，下顶点为点 ，直线交椭圆 于点 ， 的内切圆与 相切于点，若，则椭圆的离心率为．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得 ，再结合条件可得， ，然后在 与 中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
设 的内切圆与 相切于点 ，
由切线长定理可得，
，即
，
又，则
由椭圆的定义可得，
即 ，
所以 ，又，即，所以，则，
在 中，由余弦定理可得，
在 中，由余弦定理可得
化简可得 ，即，即，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到 ，从而得到的值.
解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数 .
求函数 的单调区间；
求当 时，函数 的最值.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.
（2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值.
【小问 1 详解】
因为，
所以.
由
或
；由.
所以函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为.
【小问 2 详解】
由（1）得：函数 在上单调递减，在上单调递增.所以.
又 ， ，所以 .
综上，当 时，函数 的最小值为，最大值为 .
如图，在直三棱柱中， ， ，D，E 分别是 ， 的中点.
求证： 平面；
求直线 与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
因为直三棱柱，所以平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以，
因为 D 是 的中点，所以.
因为，平面 ，平面 .
所以平面 .
【小问 2 详解】
因为直三棱柱，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
因为 ，所以， ， 两两垂直，以 C 为原点， ，， 为 x 轴、y 轴、z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
由 ，则 ， ， ， ，所以
，
，
设平面的一个法向量为 .
所以，即，令 ，则 ， .
所以.
所以，
设直线 与平面所成角为 ，所以 ，
故直线 与平面所成角的正弦值为.
，
.
已知数列 的前项和为 ，数列 满足，
求数列 的通项公式 ；
求数列 的通项公式 ；
若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由分析计算即可求解；
由累加法即可求解；
由错位相减法计算求解即可.
【小问 1 详解】
，
因为数列 的前 项和为 ，所以当 ，；
当
；
显然 满足 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为数列 满足， ， ，所以
，
数列 的通项公式 .
【小问 3 详解】
由（1）（2）得 ，
所以数列 的前 项和，
所以 ，
所以.
所以 .
已知抛物线 C 的顶点为原点，焦点 （）到直线 的距离为 2．
求抛物线 C 的方程；
设为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 其中为切点．
证明：直线 的方程为过定点；
求 面积的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解；
（2）（i）利用求导法来求切线方程，再通过同构可得到切点弦方程，然后即可得到定点；
（ii）利用联立方程组来求弦长和距离，通过面积公式即可求得函数最小值.
【小问 1 详解】
已知焦点 （）到直线 的距离为 2，
根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则，
解得 ，故抛物线 的方程为： ；
【小问 2 详解】
设切点，抛物线，求导得切线斜率 ，切线 方程为：，
同理切线方程为：，因为,
所以 ，，
因为都满足方程，所以直线 的方程为： ，
当 时， ，故对任意的，直线 恒过定点 ；
将与联立，消去得： ，
判别式 ，
则弦长，
点到直线 的距离：
因此的面积：，
由 ，当 时，取得最小值.
故 面积的最小值为 .
已知函数 存在极值点 ．
当 时，讨论 的单调性；
求 b 的取值范围并证明 ；
若 且，求 a 的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.
（2） ，证明见解析
（3）
【解析】
【小问 1 详解】
，
，
由题意，当 时，
有， ，
时
，
时
，
所以 在上单调递减，在 上单调递增，
【小问 2 详解】
，
，
由题意， ， ，记
所以在单调递增，.
，
，
若 ，则无极值点，不符合题意，
若 ，则，取，则 ，所以 ，使得，即，
且 在 上单调递减，在 上单调递增.所以
综上，b 的取值范围为 ，并且有；
【小问 3 详解】
由（2），需 ，
，
，
设，有，则
函数，有，所以 a 关于 t 单调递增.
而
，
即
.
若 ，显然成立，此时 ，
则
，即
，
若 ，则
，
，
设，则 ，记，则
所以 在 单调递减，在 单调递增，
，
所以，所以在定义域内单调递增，
所以只需求，使得 ，则， 即 ，即 ，
记
，
在 上恒成立， 在 单调递增.
又 ，所以，所以 ，所以，所以 .
综上，.