青海省海南藏族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

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青海海南州高级中学 2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试卷
单选题
化简： AB  AC  BA  CB 等于（ ）
ACB． CAC． BA
–––→
D．
AB
→→→ →π
已知向量a ， b 满足 a  1， b  2 ， a, b  3 ，则a b （ ）
3
→
A．B．1C．2D．3
已知向量a 与b 的夹角是 3π
4
，且 a 
→
2 ， b
 2 ，则向量a 在向量b 上的投影向量是（ ）
b
1 →

b
2
C．  2 →
D． a
13
a
在V ABC 中，已知 AB  7 ， BC ． M 为 AC 的中点，且 BM  19 ，则V ABC 的面积是 （ ）
13
7
7
7
14
19
3
3
如图，为测量河对岸 A 、 B 两点间的距离，沿河岸选取相距40 米的C 、 D 两点，测得ACB  60∘ ，
BCD  45∘ ， ADB  60 ，∠ADC  30∘ ，则 A 、 B 两点的距离是（ ）
2
20
米B． 20
米C． 40
米D． 20 3 米
6
2
π π 3
若θ  0, 2  ， sin  2θ 4   5 ，则cs 2θ （ ）

 7 2

 2
7 2

2 或 7 2
1010101010
已知函数 f  x  cs π ωx  （ω 0 ）在区间0, π  上单调递增，则 ω 的取值范围是（ ）
 3
3 

3  3 
4 

A．  0,

B． 0,1
C．  4 ,1
D．1, 
已知函数 f  x  3sin ωx  π  （ω 0 ）在0, π 上恰有 3 个零点，则ω的取值范围是（ ）
5 

 55 
 19 , 24 

 14 , 19 
 55 

19 , 24 
 55 

14 , 19 
 55 

多选题
已知函数 f  x  2cs 2x  π  ，则下列结论正确的是（）
6 

函数 f  x 图象关于直线 x   π 对称
12
函数 f  x 的最小正周期为π
函数 f  x 图象可看作是把函数 y  2cs2x
函数 f  x 在区间 π , 0 的最大值为 2
的图象向左平移π
6
个单位而得到
 2
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，以下判断正确的是（ ）
cs A  B  cs C
若sin A  sin B ，则 A  B
5
若a ， b  15 ， A  30 ，则符合条件的△ABC 有两个
若△ABC 为锐角三角形，则sin A  cs B
已知在V ABC 中， AB  3 ， AC  5 ， BAC  120 ，点O 为V ABC 所在平面内一点，则（ ）
若O 为V ABC 的垂心，则 AO  AC  AO  AB
若O 为V ABC 的重心，则 AO  BC  5
–––→ –––→9
若O 为V ABC 的外心，则 AO  AB 
2
–––→ –––→5
若O 为V ABC 的内心，则 AO  AC  .
2
填空题
函数 f  x  cs 2x  2 cs x 的最小值为.
3
在V ABC 中，三个内角 A ， B ，C 的对边分别是a ，b ， c ，若a  1 ，b ， A  30 ，则 B  .
若sin α π   1 ，则cs 2π  2α 的值为.
6 3 3

解答题
已知向量a  (1, 2)， b  (3, x) ， c  (2, y) ，且a / /b ， a  c .
求b 与c ；
若m  2a  b ， n  a  c ，求向量m ， n 的夹角θ的大小.
16．（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量a ， b ， c ，求作向量a  b  c .
（2）设两个非零向量e1 ， e2 不共线， AB  e1  2e2 ， BC  2e1  8e2 ， CD  e1  2e2 .
①若ke1  4e2 和e1  ke2 共线，求实数k 的值；
②求证： A 、 B 、 D 三点共线.
3
已知函数 f  x  2sinxcsx  2 3cs2 x .
求 f  x 的最小正周期和对称中心；
求 f  x 在区间0，π内的单调递增区间.
记V ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知3c sin C  3a  2b sin A  3b  a sin B .
求角C 的大小；
若CACB  8 ，求c 的最小值及V ABC 的面积.
在V ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2 cs C a cs B  b cs A  c ．
求角 C；
若c 
7 ， V ABC 的面积为 3 3 ，求边 a，b 的值．
2
参考答案
1．D
–––→–––→ –––→ –––→–––→ –––→–––→ –––→→–––→–––→
【详解】 AB  AC  BA  CB   AB  BA   AC  CB  0  AB  AB .
2．B
→ →→ →→ →1
【详解】a  b  a b cs 3．B
a, b
 1 2   1.
2
3π→→
【详解】因为向量a 与b 的夹角是 4
，且 a 
2 ， b
 2 ，
→ →→→3π
2 
所以a  b  a  b cs
4
 2 
2   2   2 ，

→→

a  b b
所以向量a 在向量b 上的投影向量为 → →
 2  b   1 b
.
222
bb
故选：B
4．C
––––→
2
1 –––→–––→
【详解】根据题意， BM 
BA  BC  ，

––––→21 –––→–––→ 21
4
则 BM
 BA  BC 
，即19 
49 13  2  7 
4
13 cs ABC ，
则cs ABC 
1 ，又ABC 0, π ，所以sin ABC  2 3 ，
13
13
所以S
 1 AB  BC sin ABC  1  7  13  2 3  7 3 .
V ABC
2213
5．B
【详解】在VACD 中，∠ADC  30∘ ， ACD  ACB  BCD  105∘ ，故CAD  45∘ ，
由正弦定理
AC
sin ADC
CD

sin CAD
40 sin 30∘
2

，得 AC20，
sin 45∘
在△BCD 中， BCD  45∘ ， BDC  ADC  ADB  90∘ ，
故△BCD 为等腰直角三角形，且 BC  CD  40 ， BC 
2CD  40 2 ，
2
在V ABC 中， ACB  60∘ ， AC  20， BC  40 2 ，
AC 2  BC 2  2 AC  BC cs 60∘
由余弦定理可得 AB 
 20 6 （米）.
故选：B.
6．B
2
【详解】因为θ  0, π  ，所以 π  2θ π  5π ，而0  3  sin π ，
2 


444

1 sin2
2
π 
4 

θ

故 π  2θ π  π ，则cs 2θ π   
542
  4 ，
244 5

故cs 2θ cs  2θ π   π   cs  2θ π cs π  sin  2θ π sin π
4 4 4 44 4

2  3  4    2 .
55
 
2 10
7．B
【详解】解： f  x  cs π ωx   cs ωx  π  ，
 33 

Qω 0 ， x  0, π  ，
3 
wx  π   π , π
 π  ，

3 w 
 3 33 
又函数 f  x  cs π ωx   cs ωx  π  （ω 0 ）在区间0, π  上单调递增，
 33 
3 
 33
 π ω π  0

ω 0
8．D

，解得ω 0,1 ．
【详解】因为 x 0, π ，所以ωx  π   π ,ωπ  π  ．
5 55 
因为 f  x 在0, π 上恰有 3 个零点，所以3π  ωπ  π  4π ，解得14  ω 19 ．
555
ABD
【详解】 f   π   2cs 2   π   π   2cs0  2
，故 A 正确.
 12  12 6 

T  2π  π ，故 B 正确.
2
y  2cs2xπ
y  2cs 2x  π  ，故 C 错误.
向左平移个单位，得
6
3 

当 x   π , 0 时， 2x  π   5π , π  ，
 π 
 3

，故 f (x)
 2 ，D 正确.
 2
6
6 6 
cs 2x
6  
2 ,1
max

BCD
【详解】对于 A，由诱导公式知cs A  B  cs C ，错误；
对于 B，由sin A  sin B 和正弦定理可得a  b ，由大边对大角可知 A  B ，正确；
5
5
15
对于 C，若a ， b  15 ， A  30 ，则b sin A  15 20 ，
22
即b sin A  a  b ，所以符合条件的△ABC 有两个，正确；
对于 D，∵ A  B  π ，∴ A  π  B ，∴sin A  sin  π  B   cs B ，正确.
22 2
ACD

–––→ –––→–––→ –––→ –––→
【详解】因为O 为V ABC 的垂心，所以 AO  BC ，故 AO  BC  AO   AC  AB  0 ，所以 AO  AC  AO  AB ，故 A 正确；
延长 AO 交 BC 于 BC 中点 D ，如图，
–––→
因为点 O 是V ABC 的重心， AO 
2 –––→1
AD 
–––→–––→

AB  AC ，
33
–––→ –––→
1
–––→–––→–––→–––→
1
–––→2
–––→2
所以 AO  BC   AB  AC  AB  AC   AC  AB  
16
，故 B 错误；
333
如下图所示：
若O 为V ABC 的外心，取线段 AB 的中点 E ，连接OE ，由垂径定理知OE  AB ，

–––→ –––→–––→–––→ –––→–––→ –––→–––→ –––→
所以 AO  AB  AE  EO  AB  AE  AB  EO  AB 
1 –––→2
AB
 9 ，故 C 正确；
22
如图，
若O 为V ABC 的内心，则OAC  60, OAB  60 ，过O 作OH  AC ，
由余弦定理得 BC 2  25  9  2  5 3 1  49 ，所以 BC  7 ，
2
内切圆半径为OH ，所以S
 1 3  5  7 OH  1  3 5 3 ，
3
V ABC
222
3
所以OH ，而
2
OAC  60 ，所以 AO  2  1，
sinOAC
–––→ –––→15
所以 AO  AC  1 5 
22
，故 D 正确.
 3 / 1.5
2
1 233

【详解】 f  x  cs 2x  2 cs x  2 cs2 x 1 2 cs x  2 cs x 

当cs x   1 时，等号成立，所以函数 f  x 的最小值为 3 .
   ，
2
22
2
60 或120
【详解】在V ABC 中，由正弦定理得
a
sin A
2
b，
sin B
3
又a  1 ， b ， A  30 ，所以1
sin 30
3
sin B
，所以sin B 
3 sin 30 3 ，
2
又因为0  B  150 ，所以 B  60 或 B  120 .
 7
9
【详解】cs 2π  2α 
   π  2 
cs  π  2α  
 α π 
 3
cs π  3
α   3
cs 2 
6 


 

 2 sin2 α

π  1 2
 1  2  
63
 
1   7 .
9
15．(1) b  (3, 6) ， c  (2, 1) ；
(2) 3π .
4
【详解】（1）向量a  (1, 2)， b  (3, x) ， c  (2, y) ，由a / /b ，得 x  2  3  6 ，则b  (3, 6) ；由a  c ，得2  2 y  0 ，解得 y  1，所以c  (2, 1) .
（2）由（1）得m  2a  b  (1, 2) ， n  a  c  (3,1) ，
(1)2  (2)2
32 12
–→→
10
因此m  n  1 3  2 1  5 ， | m |
 5,| n |
，
2
m  n53π
5  10
csθ –→ →  
| m || n |2
，而0 θ π ，则θ，
4
所以向量m ， n 的夹角θ的大小为 3π .
4
16．（1）（2）① 2 ；②证明见解析
【详解】（1）如图：保持a 不变，将b 平移，使其起点落在a 的终点上，然后将向量c 平移，使其起点落在平移后的b 的终点上，
a
c
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是 →  b  → ，
–→–→–→–→–→–→

（2）① ke1  4e2 和e1  ke2 共线，则有ke1  4e2  λ e1  ke2  λe1  λke2 ，λ R ，
因为非零向量e1 ， e2 不共线，所以有k  λ且4  λk ，得k 2  4即k  2 ；
  
–––→–––→–––→–→–→–→–→–→–→–→–→
② BD  BC  CD  2e1  8e2  e1  2e2  2 1 e1  8  2 e2  3e1  6e2 ，

–––→–→–→–––→
因为 BD  3 e1  2e2  3AB ，所以 AB 和 BD 共线，所以 A、B、D 三点共线.
 π  kπ
62
17．(1)最小正周期T  π ，对称中心为 , 0 k  Z ；

(2) 0, 5π  和11π , π .
 12  12
3
【详解】（1）函数 f  x  2sinxcsx  2 3cs2 x 
 sin2x  3cs2x
 2sin  2x  π ，
3 

所以 f  x 的最小正周期T  2π  π ，
2
令2x  π  kπk  Z ，解得： x  π  kπ k  Z ，此时 f  x  0 ，
362
 π  kπ
62
 f  x 的对称中心为 , 0 k  Z ；

（2）令 π  2kπ  2x  π  π  2kπk  Z ，
232
解得 π  kπ  x  5π  kπk  Z ，
1212
 f  x 的单调递增区间为 π  kπ, 5π  kπ k  Z ；
 1212
当k  0 时， f  x 的单调递增区间为 π , 5π  ；当k  1 时， f  x 的单调递增区间为11π , 17π  ；
 12 12  1212 
 f  x 在区间0, π 内单调递增区间0, 5π  和11π , π .
18．(1) 2π
3
3
(2) 4 3 ; 4
 12 
 12
【详解】（1）由3c sin C  3a  2bsin A  3b  asin B 和正弦定理，可得3c2  (3a  2b)a  (3b  a)b ，整理得a 2  b 2  c 2   ab ，
a2  b2  c21
C  2π
由余弦定理， cs C 
2ab
  ，因0  C  π ，则.
23
（2）由CA  CB  ab cs120∘  8 化简得ab  16 ，
由余弦定理， c2  a2  b2  2ab cs C  a2  b2  ab  3ab  48 ，
当且仅当a  b  4 时等号成立，即当a  b  4 时， c 的最小值为4 3 .
V ABC 的面积为S  1 ab sin 2π  1 16  3  4 3 .
2322
19．(1) π
3
(2) a  2,b  3 或a  3, b  2
【详解】（1）由2 cs C a cs B  b cs A  c ，
结合正弦定理得： 2csC sinAcsB  sinBcsA  sinC ，即2csCsin  A  B  sinC ，故2sinCcsC  sinC ，
因为C 0, π ，所以sinC  0 ，可得
csC  1
2
，所以
C  π ．
3
（2）由V ABC 的面积
S  1 ab sin C  3 3 ，
又 C  π
3
22
，所以ab  6 ①.
由c  7 及余弦定理得a2  b2  2abcsC  7 ，
故a2  b2  13 ，从而a  b2  25 ，所以a  b  5 ②，由①②联立解得a  2,b  3 或a  3, b  2 ．