2025年铜陵县高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份2025年铜陵县高三冲刺模拟数学试卷含解析，共21页。试卷主要包含了已知集合，集合，那么等于，已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，则，的大致图象大致是的( )
A．B．
C．D．
2．已知命题：使成立． 则为（ ）
A．均成立B．均成立
C．使成立D．使成立
3．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即. 若的面积，，，则等于（ ）
A．B．C．或D．或
5．若，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，集合，那么等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
9．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是
A．[－5，0)B．(－5，0)C．[－3，0)D．(－3，0)
10．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
11．已知向量与向量平行，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设平面向量与的夹角为，且，，则的取值范围为______.
14．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
15．已知随机变量服从正态分布，若，则_________.
16．定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.
（1）求证：；
（2）当时，求的取值范围.
18．（12分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.
附：
19．（12分）已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.
20．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
21．（12分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）若，，，，求二面角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.
【详解】
对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，
因为,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；
对于选项D:因为,故选项D排除;
对于选项C:因为,故选项C排除;
故选:B
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
2．A
【解析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即．
考点：全称命题.
3．C
【解析】
建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.
【详解】
设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.
①，，所以，故①正确.
②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.
③，，，故平面不成立，故③错误.
④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.
综上所述，正确的命题有个.
故选：C
本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.
4．C
【解析】
将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.
【详解】
已知，，，
代入，
得，
即 ，
解得，
当时，由余弦弦定理得： ，.
当时，由余弦弦定理得： ， .
故选：C
本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.
5．D
【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知，
所以的虚部是1.
故选：D.
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
6．A
【解析】
求出集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选：A.
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
7．A
【解析】
根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.
【详解】
由题可知：
由，所以
所以
故选：A
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
8．B
【解析】
求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.
【详解】
，
设，
要使在区间上不是单调函数，
即在上有变号零点，令，
则，
令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是.
故选：B
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
9．C
【解析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.
【详解】
由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，
则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，
故选C.
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.
10．A
【解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.
【详解】
为偶函数 图象关于轴对称
图象关于对称
时，单调递减 时，单调递增
又且 ，即
本题正确选项：
本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.
11．B
【解析】
设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.
【详解】
设，且，，
由得，即，①，由，②，
所以，解得，因此，.
故选：B.
本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
12．B
【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.
【详解】
可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.
故选:B.
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据已知条件计算出，结合得出，利用基本不等式可得出的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.
【详解】
，，，
由得，，
由基本不等式可得，，
，，
，因此，的取值范围为.
故答案为：.
本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
14．
【解析】
利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】
的二项展开式的通项公式：，
令，解得.
∴，
解得.
故答案为：-2.
本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.
15．0.4
【解析】
因为随机变量ζ服从正态分布,利用正态曲线的对称性，即得解.
【详解】
因为随机变量ζ服从正态分布
所以正态曲线关于对称，
所.
本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.
16．2 4
【解析】
根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】
解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
故答案为：；
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；
（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
（1）由于点在半圆上，则.
①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；
②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），
，
，，.
综上所述，；
（2）根据题意得、，
，
令，则，
所以，当时，，当时，.
因此，的取值范围是.
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.
【详解】
（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，
所以，
文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关
（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，
故X服从二项分布，
即从而X的分布列为
X的数学期望为
本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）不等式等价于，设，利用导数可证恒成立，从而原不等式成立.
（2）由题设条件可得在上有两个不同零点，且，利用导数讨论的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.
【详解】
（1）设，则，
当时，由，所以在上是减函数，
所以，故.
因为，所以，所以当时，.
（2）由（1）当时，；
任意，存在和使成立，
所以在上有两个不同零点，且，
（1）当时，在上为减函数，不合题意；
（2）当时，，
由题意知在上不单调，
所以，即，
当时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，解得，
因为，所以成立，
下面证明存在，使得，
取，先证明，即证，
令，则在时恒成立，
所以成立，
因为，
所以时命题成立.
因为，所以.
故实数的最小值为.
本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.
20．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
21．（1）（2）
【解析】
（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】
解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，，
可得时，，不成立；
当时，，即，
解得（舍去），
则；
（2），
前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得.
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）要证明平面，只需证明，，即可求得答案；
（2）先根据已知证明四边形为矩形，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，求得平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的平面角为，，即可求得答案.
【详解】
（1）平面，平面，
.
，，
.
又，
平面.
（2）由（1）可知.
在中，，
.
.
又，，
四边形为矩形.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，
如图：
则：，，，，
：，
设平面的法向量为，
即，
令，则，
由题平面，即平面的法向量为
由二面角的平面角为锐角，
设二面角的平面角为
即
二面角的正弦值为：.
本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
同意
不同意
合计
男生
a
5
女生
40
d
合计
100
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
X
0
1
2
3
4