2024-2025学年甘肃省高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2024-2025学年甘肃省高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知命题，已知函数，函数在的图象大致为，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（ ）
A． B．C．D．
2．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
3．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
5．已知命题：使成立． 则为（ ）
A．均成立B．均成立
C．使成立D．使成立
6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A．B．C．D．
7．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象的一条对称轴为，将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
9．函数在的图象大致为( )
A．B．
C．D．
10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
12．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．
14．在中，若，则的范围为________.
15．若实数满足不等式组，则的最小值是___
16．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若成等比数列，求a的值。
18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.
设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？
19．（12分）已知函数，
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．
20．（12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点.
（1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数；
（2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标；
②当的内切圆的面积为时，求直线的方程.
21．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，

∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
解得则.
故选：B
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
2．C
【解析】
根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,
即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.
【详解】
由题, 总有即恒成立.
设,则的最大值小于等于0.
又,
若则,在上单调递增, 无最大值.
若,则当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增.
故在处取得最大值.
故,化简得.
故,令,可令,
故,当时, ,在递减；
当时, ,在递增.
故在处取得极大值,为.
故的最大值为.
故选：C
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.
3．B
【解析】
根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】
对命题：
可知，
所以R，
故命题为假命题
命题 ：
取，可知
所以R，
故命题为真命题
所以为真命题
故选：B
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.
4．D
【解析】
由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.
【详解】
由题意，设每一行的和为
故
因此：
故
故选：D
本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
5．A
【解析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即．
考点：全称命题.
6．A
【解析】
基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．
【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，
基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率．
故选：．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
7．D
【解析】
首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
【详解】
，令，得，．
其单调性及极值情况如下：
若存在，使得，
则（如图1）或（如图2）．
（图1）
（图2）
于是可得，
故选：D.
该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.
8．C
【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式，结合为函数的一条对称轴可求得，代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数的解析式.
【详解】
函数，
由辅助角公式化简可得，
因为为函数图象的一条对称轴，
代入可得，
即，化简可解得，
即，
所以
将函数的图象向右平行移动个单位长度可得，
则，
故选：C.
本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.
9．C
【解析】
先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解.
【详解】
函数，
则，所以为奇函数，排除B选项；
当时，，所以排除A选项；
当时，，排除D选项；
综上可知，C为正确选项，
故选：C.
本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.
10．D
【解析】
连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.
【详解】
连接，
则，，
所以，
在中，，，
故
在中，由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率
故选：D
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11．C
【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.
【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③.
故选：C.
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.
12．C
【解析】
由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【详解】
由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选C．
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，即a＝2b，进而由双曲线的几何性质可得cb，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即yx，
则有，即a＝2b，
则cb，
则该双曲线的离心率e；
故答案为：．
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a、b之间的关系，属于基础题．
14．
【解析】
借助正切的和角公式可求得，即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由，借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.
【详解】
，
所以，
.
因为，所以，
所以.
故答案为: .
本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.
15．-1
【解析】
作出可行域，如图：
由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0）
所以-1
故答案为-1
16．1
【解析】
把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值.
【详解】
，解得＝1．
故答案为：1.
本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.
【解析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．
【详解】
（1）由直线l的参数方程消去参数t得,
，即为l的普通方程
由，两边乘以得
为C的直角坐标方程.
（2）将代入抛物线得
由已知成等比数列，
即，，，
整理得
（舍去）或.
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．
18．见解析
【解析】
根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.
【详解】
∵在等差数列中，，
∴，
∴公差，
∴，
∴，
若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，
若选①，∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，满足成立.
若选②，∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程无正整数解，
∴不存在正整数使得成立.
若选③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴解得或（舍去），
∴，
∴当时，满足成立.
本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.
19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.
【解析】
（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；
（Ⅱ），分①，② ，③ 当时，讨论的零点个数即可．
【详解】
解：（Ⅰ ）令，；
则．
令，
，
易得在递减，在递增，
∴ ，∴在恒成立．
∵ 在递减，在递增．
∴ ．
∵；
（Ⅱ ）∵ 点，点，
∴ ，
．
① 当时，可知，∴
∴ ，，
∴ ．
∴ 在单调递增，，．
∴ 在上有一个零点，
② 当时，，，
∴ ，∴在恒成立，
∴ 在无零点．
③ 当时，，
．
∴ 在单调递减，，．
∴ 在存在一个零点．
综上，的零点个数为1．．
本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．
20．（1）证明见解析；（2）①；②.
【解析】
（1）设过的直线交抛物线于，，联立，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出，化简即可；
（2）由（1）知点在轴上，故，设出直线方程，求出交点坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.
【详解】
（1）设过的直线交抛物线于，，
联立方程组，得：.
于是，有：
，
又，
；
（2）①由（1）知点在轴上，故，联立的直线方程：.
，又点在抛物线上，得，
又，
；
②由题得，
（解法一）
所以直线的方程为
（解法二）
设内切圆半径为，则.设直线的斜率为，则：
直线的方程为：代入直线的直线方程，
可得
于是有：
得，
又由（1）可设内切圆的圆心为则，
即：，解得：
所以，直线的方程为：.
本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.
21．（1）（2）
【解析】
利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式得到关于的方程,解方程即可求解;
由知,在中利用余弦定理得到关于的方程,与方程联立求出,进而求出,利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
由题意得，,
由二倍角的余弦公式可得,
,
又因为，所以，
解得或，
∵，∴.
在中,由余弦定理得,
即①
又因为,把代入①整理得，
，解得，，
所以为等边三角形，，
∴,
即.
本题考查利用平面向量数量积的坐标表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟练掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；
（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：底面为菱形，，
底面，平面，
又，平面，
平面；
（2）解：，，为等边三角形，
.
底面，是直线与平面所成的角为，
在中，由，解得.
如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴
建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，，.
设平面与平面的一个法向量分别为，.
由，取，得；
由，取，得.
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
x
0
+
0
_
0
+
极大值
极小值