2025届呈贡县高考数学四模试卷含解析

这是一份2025届呈贡县高考数学四模试卷含解析，共7页。试卷主要包含了复数为纯虚数，则，若，满足约束条件，则的最大值是，已知，，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数满足则的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．0
2．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
3．若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
4．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于( )
A．B．2
C．3D．6
5．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．复数为纯虚数，则( )
A．iB．﹣2iC．2iD．﹣i
7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )
A．7B．15C．31D．63
8．已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．13D．
10．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.
14．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.
15．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.
16．已知椭圆，，若椭圆上存在点使得为等边三角形（为原点），则椭圆的离心率为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设为等差数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．
18．（12分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.
19．（12分）已知函数．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）求在区间上的最小值；
（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点.
求椭圆的方程；
已知是椭圆的内接三角形，
①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长；
②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.
21．（12分）设函数，
（1）当，，求不等式的解集；
（2）已知，，的最小值为1，求证：.
22．（10分）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
作出可行域，平移目标直线即可求解.
【详解】
解：作出可行域：
由得，
由图形知，经过点时，其截距最大，此时最大
得，
当时，
故选：B
考查线性规划，是基础题.
2．A
【解析】
逐一考查所给的函数：
，该函数为偶函数，周期 ；
将函数 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.
本题选择A选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
3．C
【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．
故选：C．
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．
4．A
【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.
【详解】
双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝.
答案：A
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.
5．A
【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】
由成等比数列得，即，已知，解得.
故选：.
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
6．B
【解析】
复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出，即得.
【详解】
∵为纯虚数，
∴，解得.
.
故选：.
本题考查复数的分类，属于基础题.
7．B
【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；
⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.
考点：程序框图.
8．C
【解析】
设，，，，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由△得，利用韦达定理结合已知条件得，，代入上式即可求出的取值范围．
【详解】
设直线的方程为：， ，，，，
联立方程，消去得：，
△，
，
且，，
，
线段的中点为,，
，，
，，
，
，
把 代入，得，
，
，
故选：
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．
9．C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即
点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
10．D
【解析】
令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.
【详解】
时，
令，求导
，，故单调递增：
∴，
当，设，
，
又，
，即，
故.
故选：D
本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.
11．D
【解析】
由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.
【详解】
由题意得，，
，.
故选：D.
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.
12．D
【解析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．
【详解】
经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：，
此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D．
题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用等体积法求解点到平面的距离
【详解】
由题在长方体中，，
，
所以，所以，
设点到平面的距离为
，解得
故答案为：
此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.
14．
【解析】
将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.
【详解】
将三棱锥补成长方体，设，，，
设三棱锥的外接球半径为，则，
由勾股定理可得，
上述三个等式全部相加得，，
因此，三棱锥的外接球面积为.
故答案为：.
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
15．
【解析】
求出点坐标，由于直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点斜式写出直线的方程.
【详解】
由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角，再继续旋转角得到，则直线与直线垂直，即直线的斜率为
所以直线的方程为，即
故答案为：
本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.
16．
【解析】
根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.
【详解】
由题意得，
将其代入椭圆方程得，
所以.
故答案为：.
本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，整理得，
解得，，因此，；
（2），
满足不等式的正整数恰有个，得，
由于，若为奇数，则不等式不可能成立.
只考虑为偶数的情况，令，
则，．
.
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以，，
又，，，，.
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18． (Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【解析】
(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.
(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.
(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.
【详解】
(Ⅰ)，，故，，，.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为，则，故，
设，，故，
，
同理可得，
，故，
即，，故.
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形不能为矩形.
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）2；（2）；（3）证明见解析
【解析】
（1）先求出函数的定义域和导数，由已知函数在处取得极值，得到，即可求解的值；
（2）由（1）得，定义域为，分，和三种情况讨论，分别求得函数的最小值，即可得到结论；
（3）由，得到，把，只需证，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
（1）由，定义域为，则，
因为函数在处取得极值，
所以，即，解得，
经检验，满足题意，所以.
(2)由（1）得，定义域为，
当时，有，在区间上单调递增，最小值为，
当时，由得，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在区间上单调递增，最小值为，
当时，则，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取得最小值，
综上可得：
当时，在区间上的最小值为1，
当时，在区间上的最小值为.
（3）由得，
当时，，则，
欲证，只需证，即证，即，
设，则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，即，
故， 即当时，恒有成立.
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
20．；①；②.
【解析】
根据题意列出方程组求解即可；
①由原点为的垂心可得，轴，设，则，，根据求出线段的长；
②设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，设：，，，则，当斜率不存在时，则到直线的距离为1，，由，则，，，得出，根据求解即可.
【详解】
解：设焦距为，由题意知：，
因此，椭圆的方程为：；
①由题意知：，故轴，设，则，，
，解得：或，
，不重合，故，，故；
②设中点为，直线与椭圆交于，两点，
为的重心，则，
当斜率不存在时，则到直线的距离为1；
设：，，，则
，
，则
，
则：，，代入式子得：
，
设到直线的距离为，则
时，；
综上，原点到直线距离的最小值为.
本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.
21．（1）或；（2）证明见解析
【解析】
（1）将化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得，，展开后再利用基本不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
所以或或
解得或，
因此不等式的解集的或
（2）
根据
，当且仅当时，等式成立.
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
22． (Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．
【详解】
解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：．
本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．