2024-2025学年甘肃省临夏回族自治州 临夏市高考数学一模试卷含解析

这是一份2024-2025学年甘肃省临夏回族自治州 临夏市高考数学一模试卷含解析，共7页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知全集，集合，则=，已知函数，已知.，已知复数满足，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知全集，集合，则=（ ）
A．B．
C．D．
5．设（是虚数单位），则（ ）
A．B．1C．2D．
6．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ）
A．100B．1000C．90D．90
7．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知复数满足，(为虚数单位)，则( )
A．B．C．D．3
11．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（ ）
A．B．4C．2D．
12．已知函数，则的最小值为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．
14．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________．
15．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________．
16．函数在的零点个数为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.
18．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域．
19．（12分）已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）设A是椭圆的左顶点，过右焦点F的直线，与椭圆交于P，Q，直线AP，AQ与直线 交于M，N，线段MN的中点为E.
①求证：；
②记，，的面积分别为、、，求证：为定值.
20．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体
（1）求证：
（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；
（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.
21．（12分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.
（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；
（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.
22．（10分）已知函数，，且．
（1）当时，求函数的减区间；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根；
（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.
2．D
【解析】
可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．
【详解】
可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，，
设，，则，且有，解得，，
设，，设圆切于点，则，，
由，解得，，
，所以为等边三角形，
所以，，解得.
因此，该椭圆的离心率为.
故选：D.
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
3．C
【解析】
由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果.
【详解】
解：由，翻折后得到，又，
则面，可知．
又因为，则面，于是，
因此三棱锥外接球球心是的中点．
计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为．
故选：C.
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
4．D
【解析】
先计算集合，再计算，最后计算．
【详解】
解：
，
，
．
故选：．
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．
5．A
【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．
【详解】
∵，∴．
故选：A．
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
6．A
【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解
【详解】
由题意，支出在（单位：元）的同学有34人
由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为
．
故选：A
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
7．D
【解析】
使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】
解：，
又
解得，所以
故选：D
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
8．A
【解析】
分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.
【详解】
作出和，的图像如下所示：
函数有三个零点，
等价于与有三个交点，
又因为，且由图可知，
当时与有两个交点，
故只需当时，与有一个交点即可.
若当时，
时，显然?=?(?)与?=4|?|有一个交点?，故满足题意；
时，显然?=?(?)与?=4|?|没有交点，故不满足题意；
时，显然?=?(?)与?=4|?|也没有交点，故不满足题意；
时，显然与有一个交点，故满足题意.
综上所述，要满足题意，只需.
故选：A.
本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.
9．D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
10．A
【解析】
，故，故选A.
11．D
【解析】
由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．
【详解】
，．
故选：D．
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．
12．C
【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.
【详解】
由于
，
故其最小值为：.
故选：C.
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．，
【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.
【详解】
由图象可知，，，，，
从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.
又，，得，取，
所以，．
故答案为：，．
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
14．
【解析】
分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.
【详解】
甲被录取的概率；乙被录取的概率；
只有一人被录取的概率.
故答案为：.
本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.
15．
【解析】
依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即．
16．1
【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题.
在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：
由图象可知：当时，两个函数只有一个交点.
故答案为：1
本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析； （2）见解析
【解析】
（1）对函数求导，对参数讨论，得函数单调区间，进而求出极值；
（2）是方程的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.
【详解】
（1）依题意，；
若，则，则函数在上单调递增，
此时函数既无极大值，也无极小值；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
此时函数有极大值，无极小值；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
此时函数有极大值，无极小值；
（2）依题意，，则，，
故，；
要证：，即证，
即证：，即证，
设，只需证：，
设，则，
故在上单调递增，故，
即，故.
本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.
证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式的基本方法：
(1)若与的最值易求出，可直接转化为证明；
(2)若与的最值不易求出，可构造函数，然后根据函数 的单调性或最值，证明.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；
（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.
【详解】
（1），，
由正弦定理得：，
即，
，，，
又，.
（2）在锐角中，，．
．
，，，，
函数的值域为．
本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.
19．（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
（1）解方程即可；
（2）①设直线，，，将点的坐标用表示，证明即可；②分别用表示，，的面积即可.
【详解】
（1）
解之得：
的标准方程为：
（2）①， ，
设直线
代入椭圆方程：
设，，
，
直线，直线
，

，，，，.
②，
所以.
本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.
20．（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
根据折叠图形， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.
（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，根据，可知，，表示相应点的坐标，分别求得平面与平面的法向量，代入求解.
设所求几何体的体积为，设为高，则，表示梯形BEFD和 ABD的面积由，再利用导数求最值.
【详解】
（1）证明：不妨设与的交点为与的交点为
由题知，，则有
又，则有
由折叠可知所以可证
由平面平面，
则有平面
又因为平面，
所以
（2）解：依题意，有平面平面，
又平面，
则有平面，，又由题意知，
如图所示：
以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系
由题意知
由可知，
则
则有，
，
设平面与平面的法向量分别为
则有
则
所以
因为，解得
设所求几何体的体积为，设，
则，
当时，，当时，
在是增函数，在上是减函数
当时，有最大值，
即
六面体的体积的最大值是
本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
21．（1）分布列见解析，分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析
【解析】
（1）的可能取值为10000，11000，12000，的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；
（2）计算期望，得到，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，，计算分布列，计算数学期望得到答案.
【详解】
（1）的可能取值为10000，11000，12000
，，
因此的分布如下
的可能取值为9000，10000，11000，12000
，，，
因此的分布列为如下
（2）
设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，
的可能取值为2，3，4，5
，，，
则的分布列为
的可能取值为3，4，5，6
，，，
则的分布列为
由于，，因此需购买甲设备
本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22．（1）（2）详见解析（3）
【解析】
试题分析：（1）当时，，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，所以
试题解析：（1）当时，，由得减区间；
（2）法1：，
，，
所以，方程有两个不相等的实数根；
法2：，
，
是开口向上的二次函数，
所以，方程有两个不相等的实数根；
（3）因为，
，
又在和增，在减，
所以．
考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系
维修次数
2
3
4
5
6
甲设备
5
10
30
5
0
乙设备
0
5
15
15
15
10000
11000
12000
9000
10000
11000
12000
2
3
4
5
3
4
5
6