2026届江苏省南京建邺区六校联考中考数学四模试卷含解析
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这是一份2026届江苏省南京建邺区六校联考中考数学四模试卷含解析,共2页。试卷主要包含了的相反数是等内容,欢迎下载使用。
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.如图,正六边形ABCDEF中,P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心.若AF=2,则PQ的长度为何?( )
A.1B.2C.2﹣2D.4﹣2
2.用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径等于( )
A.4B.6C.16πD.8
3.如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到,则四边形的周长为( )
A.8B.10C.12D.16
4.已知点M、N在以AB为直径的圆O上,∠MON=x°,∠MAN= y°, 则点(x,y)一定在( )
A.抛物线上B.过原点的直线上C.双曲线上D.以上说法都不对
5.的相反数是
A.4B.C.D.
6.已知M,N,P,Q四点的位置如图所示,下列结论中,正确的是( )
A.∠NOQ=42°B.∠NOP=132°
C.∠PON比∠MOQ大D.∠MOQ与∠MOP互补
7.在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是和﹣1,则点C所对应的实数是( )
A.1+B.2+C.2﹣1D.2+1
8.如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其主视图是( )
A.B.C.D.
9.如图,将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为( )
A.42B.96C.84D.48
10.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线上,过点C作CE∥x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为( )
A.5B.6C.7D.8
11.若直线y=kx+b图象如图所示,则直线y=−bx+k的图象大致是( )
A.B.C.D.
12.已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是( )
A.m+n<0B.m+n>0C.m<nD.m>n
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.当x为_____时,分式的值为1.
14.如图,在直角坐标系中,⊙A的圆心A的坐标为(1,0),半径为1,点P为直线y=x+3上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是______________.
15.若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图,则化简:2|a+c|++3|a﹣b|=_____.
16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时,y=______.
17.已知ab=﹣2,a﹣b=3,则a3b﹣2a2b2+ab3的值为_______.
18.计算(﹣a2b)3=__.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)计算.
20.(6分)如图,平面直角坐标系中,直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数的图象交于点.
求反比例函数的表达式;
若点C在反比例函数的图象上,点D在x轴上,当四边形ABCD是平行四边形时,求点D的坐标.
21.(6分)解方程:2(x-3)=3x(x-3).
22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想△EDB的形状并加以证明;
(3)点M在对称轴右侧的抛物线上,点N在x轴上,请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
23.(8分)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求DE的长.
24.(10分)已知P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,∠AOC的度数为60°,连接PB.
求BC的长;求证:PB是⊙O的切线.
25.(10分) (1)计算:
(2)先化简,再求值:,其中x是不等式的负整数解.
26.(12分)先化简再求值:÷(a﹣),其中a=2cs30°+1,b=tan45°.
27.(12分)一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、C
【解析】
先判断出PQ⊥CF,再求出AC=2,AF=2,CF=2AF=4,利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG,然后计算出PQ即可.
【详解】
解:如图,连接PF,QF,PC,QC
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心,
∴PF是∠AFC的角平分线,FQ是∠CFE的角平分线,
∴∠PFC=∠AFC=30°,∠QFC=∠CFE=30°,
∴∠PFC=∠QFC=30°,
同理,∠PCF=∠QCF
∴PQ⊥CF,
∴△PQF是等边三角形,
∴PQ=2PG;
易得△ACF≌△ECF,且内角是30º,60º,90º的三角形,
∴AC=2,AF=2,CF=2AF=4,
∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2,
过点P作PM⊥AF,PN⊥AC,PQ交CF于G,
∵点P是△ACF的内心,
∴PM=PN=PG,
∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF
=AF×PM+AC×PN+CF×PG
=×2×PG+×2×PG+×4×PG
=(1++2)PG
=(3+)PG
=2,
∴PG==,
∴PQ=2PG=2()=2-2.
故选C.
【点睛】
本题是三角形的内切圆与内心,主要考查了三角形的内心的特点,三角形的全等,解本题的关键是知道三角形的内心的意义.
2、A
【解析】
由于半圆的弧长=圆锥的底面周长,那么圆锥的底面周长为8π,底面半径=8π÷2π.
【详解】
解:由题意知:底面周长=8π,
∴底面半径=8π÷2π=1.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长,解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长.
3、B
【解析】
根据平移的基本性质,得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案.
根据题意,将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF,
∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC;
又∵AB+BC+AC=8,
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1.
故选C.
“点睛”本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.得到CF=AD,DF=AC是解题的关键.
4、B
【解析】
由圆周角定理得出∠MON与∠MAN的关系,从而得出x与y的关系式,进而可得出答案.
【详解】
∵∠MON与∠MAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角,
∴∠MAN=∠MON,
∴ ,
∴点(x,y)一定在过原点的直线上.
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质,熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
5、A
【解析】
直接利用相反数的定义结合绝对值的定义分析得出答案.
【详解】
-1的相反数为1,则1的绝对值是1.
故选A.
【点睛】
本题考查了绝对值和相反数,正确把握相关定义是解题的关键.
6、C
【解析】
试题分析:如图所示:∠NOQ=138°,选项A错误;∠NOP=48°,选项B错误;如图可得∠PON=48°,∠MOQ=42°,所以∠PON比∠MOQ大,选项C正确;由以上可得,∠MOQ与∠MOP不互补,选项D错误.故答案选C.
考点:角的度量.
7、D
【解析】
设点C所对应的实数是x.根据中心对称的性质,对称点到对称中心的距离相等,则有
,解得.
故选D.
8、B
【解析】
试题分析:长方体的主视图为矩形,圆柱的主视图为矩形,根据立体图形可得:主视图的上面和下面各为一个矩形,且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点,两个矩形的宽一样大小.
考点:三视图.
9、D
【解析】
由平移的性质知,BE=6,DE=AB=10,
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6,
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=(AB+OE)•BE=(10+6)×6=1.
故选D.
【点睛】
本题考查平移的性质,平移前后两个图形大小,形状完全相同,图形上的每个点都平移了相同的距离,对应点之间的距离就是平移的距离.
10、C
【解析】
作辅助线,构建全等三角形:过D作GH⊥x轴,过A作AG⊥GH,过B作BM⊥HC于M,证明△AGD≌△DHC≌△CMB,根据点D的坐标表示:AG=DH=-x-1,由DG=BM,列方程可得x的值,表示D和E的坐标,根据三角形面积公式可得结论.
【详解】
解:过D作GH⊥x轴,过A作AG⊥GH,过B作BM⊥HC于M,
设D(x,),
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=BC,∠ADC=∠DCB=90°,
易得△AGD≌△DHC≌△CMB(AAS),
∴AG=DH=﹣x﹣1,
∴DG=BM,
∵GQ=1,DQ=﹣,DH=AG=﹣x﹣1,
由QG+DQ=BM=DQ+DH得:1﹣=﹣1﹣x﹣,
解得x=﹣2,
∴D(﹣2,﹣3),CH=DG=BM=1﹣=4,
∵AG=DH=﹣1﹣x=1,
∴点E的纵坐标为﹣4,
当y=﹣4时,x=﹣,
∴E(﹣,﹣4),
∴EH=2﹣=,
∴CE=CH﹣HE=4﹣=,
∴S△CEB=CE•BM=××4=7;
故选C.
【点睛】
考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会构建方程解决问题.
11、A
【解析】
根据一次函数y=kx+b的图象可知k>1,b<1,再根据k,b的取值范围确定一次函数y=−bx+k图象在坐标平面内的位置关系,即可判断.
【详解】
解:∵一次函数y=kx+b的图象可知k>1,b<1,
∴-b>1,
∴一次函数y=−bx+k的图象过一、二、三象限,与y轴的正半轴相交,
故选:A.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与系数的关系.函数值y随x的增大而减小⇔k<1;函数值y随x的增大而增大⇔k>1;一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b>1,一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b<1,一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1.
12、D
【解析】
根据反比例函数的性质,可得答案.
【详解】
∵y=−的k=-2<1,图象位于二四象限,a<1,
∴P(a,m)在第二象限,
∴m>1;
∵b>1,
∴Q(b,n)在第四象限,
∴n<1.
∴n<1<m,
即m>n,
故D正确;
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质,利用反比例函数的性质:k<1时,图象位于二四象限是解题关键.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、2
【解析】
分式的值是1的条件是,分子为1,分母不为1.
【详解】
∵3x-6=1,
∴x=2,
当x=2时,2x+1≠1.
∴当x=2时,分式的值是1.
故答案为2.
【点睛】
本题考查的知识点是分式为1的条件,解题关键是注意的是分母不能是1.
14、2
【解析】
分析:因为BP=,AB的长不变,当PA最小时切线长PB最小,所以点P是过点A向直线l所作垂线的垂足,利用△APC≌△DOC求出AP的长即可求解.
详解:如图,作AP⊥直线y=x+3,垂足为P,此时切线长PB最小,设直线与x轴,y轴分别交于D,C.
∵A的坐标为(1,0),∴D(0,3),C(﹣4,0),∴OD=3,AC=5,
∴DC==5,∴AC=DC,
在△APC与△DOC中,
∠APC=∠COD=90°,∠ACP=∠DCO,AC=DC,
∴△APC≌△DOC,∴AP=OD=3,
∴PB==2.
故答案为2.
点睛:本题考查了切线的性质,全等三角形的判定性质,勾股定理及垂线段最短,因为直角三角形中的三边长满足勾股定理,所以当其中的一边的长不变时,即可根据另一边的取值情况确定第三边的最大值或最小值.
15、﹣5a+4b﹣3c.
【解析】
直接利用数轴结合二次根式、绝对值的性质化简得出答案.
【详解】
由数轴可得:a+c<0,b-c>0,a-b<0,
故原式=-2(a+c)+b-c-3(a-b)
=-2a-2c+b-c-3a+3b
=-5a+4b-3c.
故答案为-5a+4b-3c.
【点睛】
此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质,正确化简是解题关键.
16、﹣1
【解析】
试题分析:观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时,函数值都是7,则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1,所以x=0和x=2时的函数值相等,
解:∵x=﹣3时,y=7;x=5时,y=7,
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1,
∴x=0和x=2时的函数值相等,
∴x=2时,y=﹣1.
故答案为﹣1.
17、﹣18
【解析】
要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值,而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab,(a﹣b)的乘积,因此可以运用整体的数学思想来解答.
【详解】
a3b﹣2a2b2+ab3=ab(a2﹣2ab+b2)
=ab(a﹣b)2,
当a﹣b=3,ab=﹣2时,原式=﹣2×32=﹣18,
故答案为:﹣18.
【点睛】
本题考查了因式分解在代数式求值中的应用,熟练掌握因式分解的方法以及运用整体的数学思想是解题的关键.
18、−a6b3
【解析】
根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可.
【详解】
原式=(﹣a2b)3=−a6b3,故答案为−a6b3.
【点睛】
本题考查了积的乘方和幂的乘方,关键是掌握运算法则.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、
【解析】
分析:先计算,再做除法,结果化为整式或最简分式.
详解:
.
点睛:本题考查了分式的混合运算.解题过程中注意运算顺序.解决本题亦可先把除法转化成乘法,利用乘法对加法的分配律后再求和.
20、(1)y= (1)(1,0)
【解析】
(1)将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值;然后将点M的坐标代入反比例函数解析式,求得k的值即可;
(1)根据平行四边形的性质得到BC∥AD且BD=AD,结合图形与坐标的性质求得点D的坐标.
【详解】
解:(1)∵点M(a,4)在直线y=1x+1上,
∴4=1a+1,
解得a=1,
∴M(1,4),将其代入y=得到:k=xy=1×4=4,
∴反比例函数y=(x>0)的表达式为y=;
(1)∵平面直角坐标系中,直线y=1x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,
∴当x=0时,y=1.
当y=0时,x=﹣1,
∴B(0,1),A(﹣1,0).
∵BC∥AD,
∴点C的纵坐标也等于1,且点C在反比例函数图象上,
将y=1代入y=,得1=,
解得x=1,
∴C(1,1).
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD且BD=AD,
由B(0,1),C(1,1)两点的坐标知,BC∥AD.
又BC=1,
∴AD=1,
∵A(﹣1,0),点D在点A的右侧,
∴点D的坐标是(1,0).
【点睛】
考查了反比例函数与一次函数交点问题.熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键,难度适中.
21、.
【解析】
先进行移项,在利用因式分解法即可求出答案.
【详解】
,
移项得:,
整理得:,
或,
解得:或.
【点睛】
本题考查了解一元一次方程-因式分解,熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键.
22、(1)y=﹣x2+3x;(2)△EDB为等腰直角三角形;证明见解析;(3)(,2)或(,﹣2).
【解析】
(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长,再利用勾股定理的逆定理可进行判断;
(3)由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式,则可求得F点的坐标,当AF为边时,则有FM∥AN且FM=AN,则可求得M点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得M点坐标;当AF为对角线时,由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心,可设出M点坐标,则可表示出N点坐标,再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程,可求得M点坐标.
【详解】
解:(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
∵抛物线经过O、A两点,
∴抛物线顶点坐标为(2,3),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
把A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3,即y=﹣x2+3x;
(2)△EDB为等腰直角三角形.
证明:
由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),
∴DE2=32+12=10,BD2=(4﹣3)2+32=10,BE2=42+(3﹣1)2=20,
∴DE2+BD2=BE2,且DE=BD,
∴△EDB为等腰直角三角形;
(3)存在.理由如下:
设直线BE解析式为y=kx+b,
把B、E坐标代入可得,解得,
∴直线BE解析式为y=x+1,
当x=2时,y=2,
∴F(2,2),
①当AF为平行四边形的一边时,则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等,即M到x轴的距离为2,
∴点M的纵坐标为2或﹣2,
在y=﹣x2+3x中,令y=2可得2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,2);
在y=﹣x2+3x中,令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,﹣2);
②当AF为平行四边形的对角线时,
∵A(4,0),F(2,2),
∴线段AF的中点为(3,1),即平行四边形的对称中心为(3,1),
设M(t,﹣t2+3t),N(x,0),
则﹣t2+3t=2,解得t=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∵t>2,
∴t=,
∴M点坐标为(,2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(,2)或(,﹣2).
【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键,注意抛物线顶点式的应用,在(2)中求得△EDB各边的长度是解题的关键,在(3)中确定出M点的纵坐标是解题的关键,注意分类讨论.本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.
23、(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)由BD是△ABC的角平分线,DE∥AB,可证得△BDE是等腰三角形,且BE=DE;又由BE=AF,可得DE=AF,即可证得四边形ADEF是平行四边形;
(2)过点E作EH⊥BD于点H,由∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,可求得BH的长,从而求得BE、DE的长,即可求得答案.
【详解】
(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBE,
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE,
∴∠DBE=∠BDE,
∴BE=DE;
∵BE=AF,
∴AF=DE;
∴四边形ADEF是平行四边形;
(2)解:过点E作EH⊥BD于点H.
∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠EBD=30°,
∴DH=BD=×6=3,
∵BE=DE,
∴BH=DH=3,
∴BE==,
∴DE=BE=.
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法.
24、(1)BC=2;(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)连接OB,根据已知条件判定△OBC的等边三角形,则BC=OC=2;
(2)欲证明PB是⊙O的切线,只需证得OB⊥PB即可.
(1)解:如图,连接OB.
∵AB⊥OC,∠AOC=60°,
∴∠OAB=30°,
∵OB=OA,
∴∠OBA=∠OAB=30°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC的等边三角形,
∴BC=OC.
又OC=2,
∴BC=2;
(2)证明:由(1)知,△OBC的等边三角形,则∠COB=60°,BC=OC.
∵OC=CP,
∴BC=PC,
∴∠P=∠CBP.
又∵∠OCB=60°,∠OCB=2∠P,
∴∠P=30°,
∴∠OBP=90°,即OB⊥PB.
又∵OB是半径,
∴PB是⊙O的切线.
考点:切线的判定.
25、(1)5;(2),3.
【解析】
试题分析:(1) 原式先计算乘方运算,再计算乘运算,最后算加减运算即可得到结果;
(2)先化简,再求得x的值,代入计算即可.
试题解析:
(1)原式=1-2+1×2+4=5;
(2)原式=×=,
当3x+7>1,即 x>-2时的负整数时,(x=-1)时,原式==3..
26、;
【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再由特殊锐角的三角函数值得出a和b的值,代入计算可得.
【详解】
原式=÷(﹣)
=
=
=,
当a=2cs30°+1=2×+1=+1,b=tan45°=1时,
原式=.
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值,在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式,也考查了特殊锐角的三角函数值.
27、路灯的高CD的长约为6.1 m.
【解析】
设路灯的高CD为xm,
∵CD⊥EC,BN⊥EC,
∴CD∥BN,
∴△ABN∽△ACD,∴,
同理,△EAM∽△ECD,
又∵EA=MA,∵EC=DC=xm,
∴,解得x=6.125≈6.1.
∴路灯的高CD约为6.1m.
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
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