2026届湖南长沙市湖南师大附中集团中考数学全真模拟试卷含解析

这是一份2026届湖南长沙市湖南师大附中集团中考数学全真模拟试卷含解析，共17页。试卷主要包含了下列计算正确的是，估计﹣1的值在等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一次函数的图象上有点和点，且，下列叙述正确的是
A．若该函数图象交y轴于正半轴，则
B．该函数图象必经过点
C．无论m为何值，该函数图象一定过第四象限
D．该函数图象向上平移一个单位后，会与x轴正半轴有交点
2．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=+6x+m，则m的值是 （ ）
A．-4或-14B．-4或14C．4或-14D．4或14
3．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×108B．21×106C．2.1×107D．2.1×106
4．点A 为数轴上表示-2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是（ ）
A．1 B．-6 C．2或-6 D．不同于以上答案
5．下列计算正确的是
A．a2·a2＝2a4 B．(－a2)3＝－a6 C．3a2－6a2＝3a2 D．(a－2)2＝a2－4
6．在半径等于5 cm的圆内有长为cm的弦，则此弦所对的圆周角为
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或120°
7．估计﹣1的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
8．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（ ）
A．34°B．56°C．66°D．54°
9．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上一点，过点做轴于点，若的面积为2，则的值是( )
A．-2B．2C．-4D．4
10．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）
A．和B．谐C．凉D．山
11．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界D．无法确定
12．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥-1且x≠1B．x≥-1C．x≠1D．-1≤x＜1
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在中，,,为边的高，点在轴上，点在轴上，点在第一象限，若从原点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动
连接，线段的长随的变化而变化，当最大时，______.当的边与坐标轴平行时，______.
14．如果a，b分别是2016的两个平方根，那么a+b﹣ab=___．
15．在一个不透明的空袋子里放入3个白球和2个红球，每个球除颜色外完全相同，小乐从中任意摸出1个球，摸出的球是红球，放回后充分摇匀，又从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ____ ．
16．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．
17．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：
方式1：如图1；
方式2：如图2；
若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是_______.有个边长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则的最大值为__________．
18．关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．若购买这批学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
20．（6分）关于x的一元二次方程x2＋（m－1）x－（2m＋3）＝1．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）写出一个m的值，并求出此时方程的根．
21．（6分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．该项绿化工程原计划每天完成多少米2？该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
22．（8分）如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD．BE平分∠ABC，点H是BC边的中点.连接DH，交BE于点G.连接CG.
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：
（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论.
23．（8分）如图，已知函数（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
若AC=OD，求a、b的值；若BC∥AE，求BC的长．
24．（10分）2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化．某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图．请你根据图中提供的信息完成下列问题：
（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数；
（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人？
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．
（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；
（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．
26．（12分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
求抛物线的解析式；如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．
27．（12分）已知，平面直角坐标系中的点A（a，1），t＝ab﹣a2﹣b2（a，b是实数）
（1）若关于x的反比例函数y＝过点A，求t的取值范围．
（2）若关于x的一次函数y＝bx过点A，求t的取值范围．
（3）若关于x的二次函数y＝x2+bx+b2过点A，求t的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解析】
利用一次函数的性质逐一进行判断后即可得到正确的结论．
【详解】
解：一次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，则，，若，则，故A错误；
把代入得，，则该函数图象必经过点，故B正确；
当时，，，函数图象过一二三象限，不过第四象限，故C错误；
函数图象向上平移一个单位后，函数变为，所以当时，，故函数图象向上平移一个单位后，会与x轴负半轴有交点，故D错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
2、D
【解析】
根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．
【详解】
∵一条抛物线的函数表达式为y=x2+6x+m，
∴这条抛物线的顶点为（-3，m-9），
∴关于x轴对称的抛物线的顶点（-3，9-m），
∵它们的顶点相距10个单位长度．
∴|m-9-（9-m）|=10，
∴2m-18=±10，
当2m-18=10时，m=1，
当2m-18=-10时，m=4，
∴m的值是4或1．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．
3、D
【解析】
2100000=2.1×106.
点睛:对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.
4、C
【解析】
解：∵点A为数轴上的表示-1的动点，①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为-1-4=-6；
②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为-1+4=1．
故选C．
点睛：注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加．与点A的距离为4个单位长度的点B有两个，一个向左，一个向右．
5、B
【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.
【详解】A. a2·a2＝a4 ，故A选项错误；
B. (－a2)3＝－a6 ，正确；
C. 3a2－6a2＝-3a2 ，故C选项错误；
D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，
故选B.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
6、C
【解析】
根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．
【详解】
如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD=，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=，
∴sin∠AOD=，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=∠AOB=60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选C．
【点睛】
此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
7、B
【解析】
根据，可得答案.
【详解】
解：∵，
∴，
∴
∴﹣1的值在2和3之间.
故选B.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，先确定的大小，在确定答案的范围.
8、B
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，
∴∠D=∠1=34°，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．
故选B．
考点：平行线的性质．
9、C
【解析】
根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题
【详解】
解：∵过点P作PQ⊥x轴于点Q，△OPQ的面积为2，
∴||=2，
∵k＜0，
∴k=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10、D
【解析】
分析：本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．
详解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“建”字相对的字是“山”．
故选：D．
点睛：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
11、C
【解析】
分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
详解：根据题意,将点A(0,2)代入
得：36a+2.6=2，
解得：
∴y与x的关系式为
当x=9时,
∴球能过球网，
当x=18时,
∴球会出界.
故选C.
点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.
12、A
【解析】
分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
详解：根据题意得到：，
解得x≥-1且x≠1，
故选A．
点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、4
【解析】
（1）由等腰三角形的性质可得AD=BD，从而可求出OD=4，然后根据当O，D，C共线时，OC取最大值求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出CD，分AC∥y轴、BC∥x轴两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理列式计算即可．
【详解】
（1），
，
当O，D，C共线时，OC取最大值，此时OD⊥AB.
∵，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴ ；
（2）∵BC=AC，CD为AB边的高，
∴∠ADC=90°，BD=DA=AB=4，
∴CD==3，
当AC∥y轴时，∠ABO=∠CAB，
∴Rt△ABO∽Rt△CAD，
∴，即，
解得，t=，
当BC∥x轴时，∠BAO=∠CBD，
∴Rt△ABO∽Rt△BCD，
∴，即，
解得，t= ，
则当t=或时，△ABC的边与坐标轴平行．
故答案为t=或．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
14、1
【解析】
先由平方根的应用得出a，b的值，进而得出a+b=0，代入即可得出结论．
【详解】
∵a，b分别是1的两个平方根，
∴
∵a，b分别是1的两个平方根，
∴a+b=0，
∴ab=a×（﹣a）=﹣a2=﹣1，
∴a+b﹣ab=0﹣（﹣1）=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质．
15、
【解析】
【分析】袋子中一共有5个球，其中有2个红球，用2除以5即可得从中摸出一个球是红球的概率.
【详解】袋子中有3个白球和2个红球，一共5个球，
所以从中任意摸出一个球是红球的概率为：，
故答案为.
【点睛】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.
16、108°
【解析】
如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
【详解】
∵五边形是正五边形，
∴每一个内角都是108°，
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
∴∠COD=36°，
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为108°
【点睛】
本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.
17、18 1
【解析】
有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，利用4n+2的规律计算；把六个正六边形围着一个正六边按照方式2进行拼接可使周长为8，六边形的个数最多．
【详解】
解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4×4+2=18；
按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为1．
故答案为：18；1．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，以及图形的变化类规律总结问题，根据题意，得出规律是解决此题的关键．
18、k＜2且k≠1
【解析】
试题解析：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k-1≠0且△=（-2）2-4（k-1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）购买A型学习用品400件，B型学习用品600件．（2）最多购买B型学习用品1件
【解析】
（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．
（2）设最多可以购买B型产品a件，则A型产品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可．
【详解】
解：（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，由题意，得
，解得：．
答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件．
（2）设最多可以购买B型产品a件，则A型产品（1000﹣a）件，由题意，得
20（1000﹣a）+30a≤210，
解得：a≤1．
答：最多购买B型学习用品1件
20、（1）见解析；（2）x1＝1，x2＝2
【解析】
（1）根据根的判别式列出关于m的不等式，求解可得；
（2）取m＝－2，代入原方程，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）根据题意，△＝（m－1）2－4[－（2m＋2）]＝m2＋6m＋12＝（m＋2）2＋4，
∵（m＋2）2＋4＞1，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m＝－2时，由原方程得：x2－4x＋2＝1．
整理，得（x－1）（x－2）＝1，
解得x1＝1，x2＝2．
【点睛】
本题主要考查根的判别式与韦达定理，一元二次方程ax2＋bx＋c＝1（a≠1）的根与△＝b2－4ac有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝1时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜1时，方程无实数根．
21、 (1)2000；(2)2米
【解析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：﹣= 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；
（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；
（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状.
【详解】
解：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC
∴BE⊥AC
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠ABE（同角的余角相等）
又∵CD=BD
∴△ADC≌△FDB
（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC
∴AE=CE
则CE=AC
由（1）知：△ADC≌△FDB
∴AC=BF
∴CE=BF
（3）△ECG为等腰直角三角形，理由如下：
由点H是BC的中点，得GH垂直平分BC，从而有CG=BG，
则∠EGC=2∠CBG=∠ABC=45°，
又∵BE⊥AC，
故△ECG为等腰直角三角形.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，此题难度不是很大．
23、（1）a=，b=2；（2）BC=．
【解析】
试题分析：（1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值，再得出A、D点坐标，进而求出a，b的值；
（2）设A点的坐标为：（m，），则C点的坐标为：（m，0），得出tan∠ADF=，tan∠AEC=，进而求出m的值，即可得出答案．
试题解析：（1）∵点B（2，2）在函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=4，则y=，
∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为：（0，2），OD=2，
∵AC⊥x轴，AC=OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为：3，
∵点A在y=的图象上，∴A点的坐标为：（，3），
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，
∴，
解得：，b=2；
（2）设A点的坐标为：（m，），则C点的坐标为：（m，0），
∵BD∥CE，且BC∥DE，
∴四边形BCED为平行四边形，
∴CE=BD=2，
∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC，
∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=，
在Rt△ACE中，tan∠AEC=，
∴=，
解得：m=1，
∴C点的坐标为：（1，0），则BC=．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题.
24、（1）图见解析；（2）126°；（3）1．
【解析】
（1）利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例，即可得出被调查学生的人数，由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数，再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数-了解程度达到B等的学生数-了解程度达到C等的学生数-了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数，依此数据即可将条形统计图补充完整；
（2）根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°，即可求出结论；
（3）利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例，即可得出结论．
【详解】
（1）48÷40%=120（人），
120×15%=18（人），
120-48-18-12=42（人）．
将条形统计图补充完整，如图所示．
（2）42÷120×100%×360°=126°．
答：扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°．
（3）1500×=1（人）．
答：该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有1人．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计图及扇形统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
25、（1）DD′=1，A′F= 4﹣；（2）；（1）．
【解析】
（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题；
②如图①中，连接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解决问题；
（2）由△A′DF∽△A′D′C，可推出DF的长，同理可得△CDE∽△CB′A′，可求出DE的长，即可解决问题；
（1）如图③中，作FG⊥CB′于G，由S△ACF=•AC•CF=•AF•CD，把问题转化为求AF•CD，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD∽△FAC，即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，
∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=1∠A′D′C=∠ADC=90°．
∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，
∴DD′=CD=1．
②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，
∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF=∠DCD′=10°．
在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF=，
∴D′F=，∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣．
（2）如图②中，在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，
∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2．∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，
∴△A′DF∽△A′D′C，∴，∴，
∴DF=．
同理可得△CDE∽△CB′A′，∴，∴，
∴ED=，∴EF=ED+DF=．
（1）如图③中，作FG⊥CB′于G．∵四边形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=1．
∵S△CEF=•EF•DC=•CE•FG，
∴CE=EF，∵AE=EF，∴AE=EF=CE，∴∠ACF=90°．
∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴，
∴AC2=AD•AF，∴AF=．
∵S△ACF=•AC•CF=•AF•CD，
∴AC•CF=AF•CD=．
26、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）
【解析】
（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；
（2）作CH⊥EF于H，设N的坐标为（1，n），证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围；
（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点H（﹣x1，y1），设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点（0，﹣2）．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，
把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，作CH⊥EF于H，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），
设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0
∵∠MNC＝90°，
∴∠CNH+∠MNF＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MNF，
又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，
∴Rt△NCH∽△MNF，
∴，即
解得：m＝n2+3n+1＝，
∴当时，m最小值为；
当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝1．
∴m的取值范围是．
（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，
∴H（﹣x1，y1），
∵y＝kx+2，y＝x2，
消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，
x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，
设直线HQ表达式为y＝ax+t，
将点Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，
∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，
∴a＝x2﹣x1，
∵＝（ x2﹣x1）x2+t，
∴t＝﹣2，
∴直线HQ表达式为y＝（ x2﹣x1）x﹣2，
∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、（2）问通过相似三角形建立m与n的函数关系式是解题的关键．
27、（1）t≤﹣；（2）t≤3；（3）t≤1．
【解析】
（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得a的值；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．
（2）把点A的坐标代入一次函数解析式求得a=；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．
（3）把点A的坐标代入二次函数解析式求得以a2+b2=1-ab；然后利用非负数的性质得到t的取值范围．
【详解】
解：（1）把A（a，1）代入y＝得到：1＝，
解得a＝1，
则t＝ab﹣a2﹣b2＝b﹣1﹣b2＝﹣（b﹣）2﹣．
因为抛物线t＝﹣（b﹣）2﹣的开口方向向下，且顶点坐标是（，﹣），
所以t的取值范围为：t≤﹣；
（2）把A（a，1）代入y＝bx得到：1＝ab，
所以a＝，
则t＝ab﹣a2﹣b2＝﹣（a2+b2）+1＝﹣（b+）2+3≤3，
故t的取值范围为：t≤3；
（3）把A（a，1）代入y＝x2+bx+b2得到：1＝a2+ab+b2，
所以ab＝1﹣（a2+b2），
则t＝ab﹣a2﹣b2＝1﹣2（a2+b2）≤1，
故t的取值范围为：t≤1．
【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数以及二次函数的性质．代入求值时，注意配方法的应用．