浙江省四所名校2025-2026学年高一下学期5月月考试题 数学（含解析）

这是一份浙江省四所名校2025-2026学年高一下学期5月月考试题 数学（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．2
2．某地区运动会在甲、乙、丙三地共同举办，其中甲、乙、丙三地分别承担10，20，30个不同的比赛项目，现采用分层随机抽样的方式抽取6个项目检查赛前准备情况，则丙地应抽取比赛项目的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．6
3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ）
A．B．
C．D．
6．若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（ ）
A．平面内的所有直线都与直线异面B．平面内不存在与直线平行的直线
C．平面内的所有直线都与直线相交D．直线与平面一定有公共点
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，边长都为1且互相垂直的正方形和的对角线，上分别有一动点，，满足到点的距离等于到点的距离，则四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列选项中，正确的是（ ）
A．若向量，满足，则或
B．若非零向量与相等，则B，C重合
C．在平行四边形ABCD中，
D．若与是共线向量，且，则
11．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．平面平面D．平面平面
三、填空题
12．已知函数．若对任意实数都有，则的最小值为___________．
13．一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为___________km/h.
14．已知复数满足，且，则＝______．
四、解答题
15．已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足
(1)求a；
(2)若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值.
16．已知函数.
(1)求的最小正周期和对称中心；
(2)求在区间内的单调递增区间.
17．已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，D为边的中点，求的长.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，．
(1)证明：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求与平面所成角的正弦值．
19．如图，在三棱锥中，，点分别是棱上的动点（不含端点）．
(1)若平面，
①求的长度；
②求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若三棱锥的内切球半径，求长度的最小值．
1．B
【详解】，；
的虚部为.
2．C
利用分层抽样的特点可求答案.
【详解】甲、乙、丙三地分别承担比赛项目的比例为：；
采用分层随机抽样的方式抽取6个项目检查赛前准备情况，丙地应抽取比赛项目的个数为.
故选：C
3．A
【详解】由，则，故.
4．C
【详解】已知向量，，，
，解得．
5．B
【详解】设圆台的高为，则，
故圆台的体积为.
6．D
根据线面关系，以及线面平行的判定定理，判断正确选项即可.
【详解】直线不平行于平面，则可能为直线平面，或直线与平面相交，
所以A，B，C错误，D正确；
故选：D.
7．B
根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解.
【详解】由题意得，，.
又，解得，
∴，
.
故选:B.
8．C
【详解】过作，交于点，连接.
因为，，所以.
所以，所以.
又，，所以，.
设，，则，.
所以，
又平面平面，平面平面，
平面，则平面，所以为三棱锥的高，
所以，
当时，取得最大值，为.
故选：C
9．BCD
【详解】，所以A错误；
，所以B正确；
，所以C正确；
，所以D正确.
10．BC
【详解】对于A，向量满足，只说明向量的长度相等，而它们的方向是任意的，
因此向量不一定相等，也不一定互为相反向量，A错误；
对于B，非零向量与相等，则向量与的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点重合，B正确；
对于C，在中，向量与的长度相等，方向相同，因此，C正确；
对于D，当与同向时，，当与反向时，，D错误.
11．ABC
根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.
【详解】对于B，如图，
因为，
所以，又因为，，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于A，由B选项知，
又因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于C，由选项A知，平面，
因为平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，如图，
过点A作，垂足为，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，显然平面，
所以平面与平面不垂直，故D错误.
故选：ABC.
12．
由题意知是最小值、是最大值，先求出的周期，余弦函数最值相邻两点最小间距为半个周期，即可算出最小值为1.
【详解】已知函数，对任意实数都有.
由此可知为函数的最小值，为函数的最大值.
该余弦函数的角频率，根据周期公式可得周期.
余弦函数相邻的最小值点与最大值点之间的水平距离为周期的一半，即，因此的最小值为.
13．
利用勾股定理求得正确答案.
【详解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，
所以船实际航行的速度大小为km/h.
故答案为：
14．
先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答.
【详解】设，
又，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以
．
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）根据列出方程，结合点所在象限可得答案；
（2）根据根与系数的关系可求答案.
【详解】（1）由题意知复数z在复平面内对应的点为，
因为点Z在第一象限，所以，
由，得，
即 则 所以.
（2）由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根，可知是 的另一个复数根，
因此，解得.
所以
16．(1)最小正周期，对称中心为；
(2)和.
利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标；
（2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间.
【详解】（1）函数
，
所以的最小正周期，
令，解得：，此时，
的对称中心为；
（2）令，
解得，
的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为；
在区间内单调递增区间和.
17．(1)
(2)
（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可;
（2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可.
【详解】（1）因为,,且,
所以,
由正弦定理可得:，即,
由余弦定理得:，所以,
又,所以.
（2）因为,
由三角形面积公式得:，解得,
因为D为边的中点，所以，
在中，，
即，所以.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论；
（2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直；
（3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解．
【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点，
则，
在和中，，则三个内角均对应相等，故，
相似比为，
，即，
已知，则，
由平行线分线段成比例定理可得，
又分别为的中点，
，．
（2）在矩形中，，
，则，
，则，
，
，即，
底面，底面，故，
，且平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（3）
平面，即平面，
即为与平面所成的角，
由（2）知，，
已知，，，
，
在中，．
19．(1)①；②
(2)
（1）①由平面，得到，且，再由，在直角中，即可求解；
②由①求得为的中点，得到和到平面的距离相等，由平面，得到到平面的距离为，利用余弦定理求得的长，进而求得与平面所成的角；
（2）根据题意，得到点在的角平分线上，且，设，求得，设，求得的表达式，再由，求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：①由平面，因为平面，可得，
又因为，且，所以，
因为平面，可得，
又因为且，所以，且.
②由①知：，因为，所以为的中点，
所以到平面的距离等于点到平面的距离，
又由平面，所以到平面的距离为，
在中，由余弦定理得，
即，
设与平面所成的角为，则.
（2）解：因为，设点在平面的射影为，
则点在的角平分线上，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以 ，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
在直角中，可得，
在直角中，，
在直角中，可得，
，则，
所以,
设，可得，
在中，由余弦定理得，
同理可得：，，
设，可得,
代入整理得，
由VD−AMN=VA−DMN=13×S△DMN⋅AA'=13×34xy×26，
又由VD−AMN=13S表面积⋅r=13⋅(34xy+332x+332y+S△AMN)×64，
所以13×34xy×26=13×64⋅(34xy+332x+332y+S△AMN)，
可得S△AMN=734xy−332x−332y，
将其代入，
整理得，即3xy=5(x+y)−6
又由MN2=x2+y2−2xycs60∘=x2+y2−xy=(x+y)2−3xy=(x+y)2−5(x+y)+6，
因为，所以xy=5(x+y)−63≤(x+y)24，
即3(x+y)2−20(x+y)+24≥0，解得x+y≥2(5+7)3或x+y≤2(5−7)3（舍去），
当且仅当x=y=5+73时，等号成立，
此时取得最小值，可得为等边三角形，即的最小值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
B
D
B
C
BCD
BC
题号
11









答案
ABC