2025-2026学年广西南宁市第一中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广西南宁市第一中学高二（下）期中数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=x2的准线方程是（ ）
A. y=-B. y=C. x=-D. x=
2.曲线在点x=1处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AB的中点，，则用向量，，表示向量应为（ ）
A. B.
C. D.
4.在等差数列{an}中，已知a2=6，am=8，am+4=12，则{an}的前m项和为（ ）
A. 22B. 24C. 25D. 26
5.某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A. 60种B. 90种C. 120种D. 150种
6.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”.已知P（A）=0.4，P（B）=0.3，，则P（A|B）=（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），n∈N*，每个点Pn均在函数y=x2（x＞0）的图象上.已知以点Pn为圆心的⊙Pn均与x轴相切，⊙Pn与⊙Pn+1外切，且xn+1＜xn，则（ ）
A. {xn}是等比数列，且公比为B. {xn}是等比数列，且公比为
C. 是等差数列，且公差为2D. 是等差数列，且公差为4
8.已知函数f（x）=（2x-s）lnx,g（x）=2tx-st（t≠0），若f（x）≥g（x）恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. （-∞，0）∪[2e,+∞）
C. （-∞，0）∪[e+1，+∞）D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量X的分布列为
则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数f（x）=xex，g（x）=a（x+1）（a∈R），则下列结论正确的有（ ）
A. 函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）
B. 函数f（x）的极小值点是
C. 当时，f（x）与直线y=m有2个公共点
D. 当a＞0时，f（x）与g（x）的图像有2个公共点
11.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是侧面CDD1C1（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点P，使得A1P⊥B1D
B. 若A1P∥平面AB1C，则线段A1P的最小值为
C. 若A1P与AD所成的角为，则点P的轨迹长度为
D. 若以A1为球心，为半径的球面与侧面CDD1C1的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2x-1）6的展开式中含x3的项的系数为______．
13.若3是函数f（x）=（x-2）（x-3）（x-a）的一个极值点，则f（0）= .
14.已知F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，点A是右支上的一点，且OA⊥AF.若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的斜率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（3n-1）（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、.
（1）求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率；
（2）若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，且PA=PC，PB=PD.
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）若AB=BD=2，，点E在线段PC上，且PE：EC=1：2，求平面ABE与平面BDE夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，过点P（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴，交椭圆C于另一点D（异于点A，B）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线BD过定点M，并求点M的坐标；
（3）求△ABM面积的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x-a）lnx-x.
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）设x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，求证：；
（3）设n∈N*，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】-160
13.【答案】-18
14.【答案】或
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】因为ABCD为菱形，AC∩BD=O，
所以O为AC的中点，也为BD的中点，
在△PAC中，PA=PC，所以PO⊥AC，
在△PBD中，PB=PD，所以PO⊥BD，
又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD
18.【答案】 直线BD过定点M（4，0）
19.【答案】单调递减区间为（0，1），单调递增区间（1，+∞） 证明：函数f（x）=（x-a）lnx-x的定义域为（0，+∞），
又，
因为x1，x2是f（x）的两个极值点，
所以，，即a=x1lnx1=x2lnx2，
令g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），则g′（x）=lnx+1，
当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0，
所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，
不妨假设，要证，只需证，
因为，所以，
因为g（x）在上单调递增，所以只需证，
又因为g（x1）=g（x2），所以只需证，
令，，
则，
因为，所以，
则，所以h′（x）＜0，
所以h（x）在上单调递减，，
所以，即 证明：由（1）可知，a=0时，f（x）=xlnx-x≥f（1）=-1，所以有x-xlnx≤1，
令对每个k=1，2，3，4，…，n，令，则，
则，所以2lnk≤k2-1，则，
所以=，得证 X
0
1
2
P
m