2025届紫金县高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2025届紫金县高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知向量，，若，则，直线与抛物线C，已知，且，则的值为，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若不相等的非零实数，，成等差数列，且，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．2D．
2．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）
①数列的任意一项都是正整数；
②数列存在某一项是5的倍数.
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①②都正确D．①②都错误
3． “”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．-8D．8
5．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为
A．B．C．D．
6．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（ ）
A．1B．或0C．1或0D．2或0
8．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ）
A．B．C．D．
11．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
12．若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A．或B．C．D．或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是 ．
14．若为假，则实数的取值范围为__________.
15．若满足，则目标函数的最大值为______.
16．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，M、N分别为、的中点.
​
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
18．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.
（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.
19．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：
表1：新农合门诊报销比例
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．
（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？
（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．
20．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1） 证明:；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
21．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.
22．（10分）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面平面ABCD.
（1）证明：平面PNB；
（2）问棱PA上是否存在一点E，使平面DEM，求的值
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由题意，可得，，消去得,可得，继而得到，代入即得解
【详解】
由，，成等差数列，
所以，又，，成等比数列，
所以，消去得，
所以，解得或，
因为，，是不相等的非零实数，
所以，此时，
所以．
故选：A
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
2．A
【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.
【详解】
因为,是方程的两个不等实数根,
所以,,
因为,
所以
,
即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,
又,,
所以,,,
以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;
若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,
由,,依次计算可知,
数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,
故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;
故选:A.
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
3．B
【解析】
先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
4．B
【解析】
先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.
【详解】
由向量，，
则，
，
又，则，解得.
故选：B
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.
5．D
【解析】
设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．
【详解】
设，，联立，得
则，
则
由，得
设，则 ，
则点到直线的距离
从而
．
令
当时，；当时，
故，即的最小值为
本题正确选项：
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.
6．A
【解析】
由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.
【详解】
因为，所以，又，所以，
，所以.
故选：A.
本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
7．C
【解析】
求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；
【详解】
解：∵（），
∴，∴当时，由得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以是极小值，∴只需，
即.令，则，∴函数在上单
调递增.∵，∴；
当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0.
故选：C
本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.
8．D
【解析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.
【详解】
由余弦定理得：，
整理可得：，.
故选：.
本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.
9．D
【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.
【详解】
解：因为直线与直线垂直，所以，.
又为直线倾斜角，解得.
故选：D.
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.
10．C
【解析】
分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.
详解：由题得.
当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，
因为对区间内的任意实数，都有，
所以，
所以
故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.
当1≤a