2026 年北京市顺义区九年级二模数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026 年北京市顺义区九年级二模数学试卷（含解析）中考模拟，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达亿人．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：．
2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A. 圆锥B. 圆柱C. 长方体D. 三棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可．
【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，不符合题意；
B、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；
C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；
故选：C．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：由数轴可知，，
∴，，，
故只有选项D正确.
4. 如图，平分，于点，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直定义求出 ，利用角的和差关系求出 的度数，再根据角平分线的定义求出 的度数即可．
【详解】解： ，
．
，
．
平分 ，
．
5. 小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：列表如下
∵共有种等可能的结果，小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的有2种情况，
∴小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入系数列不等式即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
整理得 ，
解得 ．
7. 如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解．
【详解】解：作出圆心，连接
∴
∴
是正边形的两条邻边
正边形的一边所对的圆心角为
．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点（）在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数（）的图象交于点，交于点，连接，将沿翻折得到．给出下面四个结论：①连接，，则与的面积可能相等；②；③有且只有一个点，使得点在轴上；④连接，若点在轴上，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的几何意义、图形翻折的性质与代数推理，解题的关键是熟练运用反比例函数的坐标特征、翻折前后线段相等的性质，结合方程思想与代数变形逐一分析结论．解题时需先根据反比例函数求出点C、D的坐标，再利用翻折性质、面积公式、线段长度公式等对每个结论进行推导与验证．
【详解】解：函数（）的图象交于点，交于点，
，
由反比例函数的几何意义可得，，
，
，
若，则，即，
但，
令，得，
则，则，与矛盾，①错误；
由翻折得，，，
，，
，②正确；
若点在轴上，设，
，，
，，
解①：展开得，，
消去得，，
乘以得，；
解②：展开得，，
消去得，，
乘以得，；
联立化简得，，
把它看作关于的一元二次方程，，
解得，，
，
，
其中，可以取取值范围内的任意值，即满足条件的点有无数个，而不仅有一个点，③错误；
当点在轴上时，由③得，，
，
，
，
，
，即，
，
，④正确，
综上所述，正确的为②④．
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，即，
故答案为：．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．
10. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
11. 方程的解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，对所得结果进行检验，得到原方程的解．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，，
因此是原分式方程的解．
12. 某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示：
如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差计算公式计算两队方差，比较方差大小，方差越小身高越整齐，即可得到结果．
【详解】解：甲的平均数，
，
乙的平均数，，
∵，
∴，
∴甲队学生身高的方差更小，甲队学生身高更整齐．
13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________．
【答案】 ①.
（答案不唯一） ②.
（答案不唯一）
【解析】
【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可．
【详解】解：当，时，
可得：，满足条件，
，，
，即，
不满足，
可以说明该命题是假命题．
14. 如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°．
【答案】47
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用 “同弧或等弧所对的圆周角相等”， 得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导的大小．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值．
【详解】解：如图所示，连接各格点，
，，，
，
，，
，，
，
16. 两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下：
①两名同学轮流取棋子；
②每次至少取走一颗棋子；
③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定；
④取走最后一颗棋子的同学获胜．
例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子．
（1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子；
（2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子．
【详解】（1）已知总棋子数为，每次最多取颗，
由， ，余数为，
∴先手首次应该取走颗棋子．
剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走颗，先手可取走最后一颗获胜．
（2）已知总棋子数为，每次最多取颗，
由 ， ，余数为，
因此先手首次应该取走颗棋子．
剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】依次计算零指数幂、绝对值、特殊的三角函数值，化简二次根式即可求解．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【详解】解：
由①得，；
由②得，
∴原不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵
∴
．
20. 如图，在中，，分别是，的中点，于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在中，，
∵，分别是，的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知易证四边形是平行四边形，结合，即可证明结论；
（2）由（1）中结论可得，，结合，易证，进而证明，得到，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，即可得出结果．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：由（1）知四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21. 用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟．
【答案】分钟
【解析】
【分析】本题为二元一次方程组实际应用题，设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟 ，根据改进前后总充电时长和各阶段用时减少比例列方程，求解得到改进前快速充电用时，进而计算得到快速阶段减少的用时．
【详解】解：设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟．
根据题意可得
解得：
因此快速充电阶段减少的用时为 （分钟）
答：快速充电阶段用时减少了分钟．
22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）把和分别代入，运算即可；
（2）根据第一问的结果得到对应函数解析式，根据题意列出不等式，结合的条件，推导得到的取值范围．
【小问1详解】
解：把和分别代入可得：
，
解得：；
【小问2详解】
由(1)可知，，
∴，，
根据题意，当时，恒成立，
拆分不等式得
整理①得：， 要求所有都满足该不等式，因此，即，
整理②得：，
综上可得的取值范围是．
23. 某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)：
b．理论知识成绩在这一组的是：，
c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为________；
（2）记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）；
（3）在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下：
根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）．
【答案】（1）
（2） （3）丙
【解析】
【分析】（1）由中位数的定义求解即可；
（2）根据题意求出，平均数和中位数的定义估算出的范围，即可比较；
（3）根据加权成绩理论知识成绩实操技能成绩，分别求出四位同学的加权成绩，比较即可．
【小问1详解】
解：∵，且理论知识成绩在这一组的是：，
∴理论知识成绩从高到低排列，第和第位分别是，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得，，
∵实操技能成绩的平均成绩为，中位数为，
∴实操技能成绩超过平均数的人数为，
∴；
【小问3详解】
解：甲同学的加权成绩为（分），
乙同学的加权成绩为（分），
丙同学的加权成绩为（分），
丁同学的加权成绩为（分），
∵，
∴这四位学生中加权成绩最高的是丙．
24. 如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，，交于点．若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵ 是的切线，为切点，
∴，
∵是弦的中点，过圆心，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂径定理和切线的性质易证，结合，可得，即可证明结论；
（2）设，则，证明 是 的中位线，设，则，且，利用勾股定理得到，证明，推出，即可求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：如图，连接，
设 半径为r，
∵，
∴设，则，
∵点C 是中点，
∴，
由（1）得，
∴是的直径，，
∵，
∴，
又∵点是中点，C 是中点，
∴ 是 的中位线，
设，则，且，
在中，，即，
整理得，
在中，，即，
整理得，
∴，
又∵，
∴，
∴，​
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴的半径为．
25. 某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下：
已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快．
（1）写出表中的值（结果保留小数点后两位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当燃气灶旋钮旋转角度约为________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小；
②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是______．
【答案】（1）
（2）解：如图所示为所求：
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据结合题意解答即可；
（1）由表格数据描点之后，用光滑的曲线连线即可；
（3）根据表格数据结合题意解答即可．
【小问1详解】
解：时，V随α增大而增大，且增大速度越来越快（即相邻的V增量逐渐变大）：
时，，时，，增量为；
因此的增量大于，得；
的增量大于的增量，得，即，
∴；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：① 观察数据，在时取得最小值，因此约度（均合理）时燃气量最小，
② 火力最大（）时，要求燃气量至少低，
即满足，
函数在时，随增大而减小，
因此时，，时，；
函数在时，随增大而增大，并且增大的速度越来越快，
因此结合函数图象时，，时；
因此​的取值范围约为．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．
（1）求的值，并用含的式子表示；
（2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）把原点的坐标和代入即可求解；
（2）先确定抛物线经过点和，再分和两种情况，画出图形，在图形上找出点，依据抛物线与线段恰有一个公共点确定点，比较和的大小，建立不等式求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线（）经过点和点．
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴抛物线的解析式为： （），
∵当时，，当时，，
∴抛物线过点和，
分两种情况讨论：
当时，如图所示：
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴，
解得：，
∴；
当时，如图所示：
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴，
解得：，
∴；
综上分析可得：或．
27. 在中，，，点在射线上，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点与点不重合），过点作交直线于点．
（1）如图1，点与点重合，求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵点与点重合，由旋转的性质得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：如图，延长到点，使得，连结，
∵，即，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】
【分析】（1）证明，即可证明结论；
（2）延长到点，使得，连结，证明，再利用平行线的性质即可证明．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段．
（1）如图，在点，，中，点______是的关联点；
（2）已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______；
（3）直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴，寻找关联点的临界位置得出的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，即，据此即可判断的关联点；
（2）作与关于弦对称，得出点在上，连接，并延长交于点，，为最小值，为最大值，即可得出长的取值范围；
（3）由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点，
当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，由锐角三角函数求出此时的值，即可得出的取值范围，再由中最长的弦为直径得出关联线段长的最大值一定满足．
【小问1详解】
解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴，
我们来寻找关联点的临界位置：如图，点为上的一点，过点作的直径，
∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称，
∴，
∴，
∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的，
∵此时对称轴是的切线，不是的弦，
∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点，
∴若点是的关联点，则，
∵，，，
∴，，，
∴点，为关联点，不是关联点．
【小问2详解】
解：作与关于弦对称，如图所示：
∴上的点是的关联点，关联线段为弦，
连接，并延长交于点，，
∴为最小值，为最大值，
∵点，，
∴，
∴，，
∴．
【小问3详解】
解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，
∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点，
当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示：
∴，，
∵直线的解析式为，
令，得，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∴在中，，
∴，
∴当时，线段上存在的关联点，
∵中最长的弦为的直径，的直径为，
∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于
∵记这些点与的关联线段长的最大值为，
∴，
∵，
∴也一定成立，
综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足．考生须知
1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡交回．
小强
小明
甲
乙
甲
甲甲
乙甲
乙
甲乙
乙乙
甲队学生的身高
179
179
180
180
180
180
180
181
181
乙队学生的身高
178
179
179
180
180
180
180
181
182
平均数
中位数
理论知识
77
实操技能
76
78
甲
乙
丙
丁
理论知识
79
80
76
76
实操技能
80
80
84
83
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.71
0.48
0.31
0.20
0.14
0.13
0.15
0.22