甘肃武威市凉州区学校联考2026届高三模拟检测数学试卷（含解析）高考模拟

这是一份甘肃武威市凉州区学校联考2026届高三模拟检测数学试卷（含解析）高考模拟，共12页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上．
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，B＝则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合，再由交集的定义求解即可
【详解】因为，B＝，
所以，
故选：C
2. 复数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算及求模公式计算即可．
【详解】因为，
所以．
3. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得，恒成立，由即可求出.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以，恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是.
故选：B.
4. 已知，均为平面上的单位向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据单位向量的定义，和求出，再根据向量模长的计算方法，求出答案.
【详解】由题意知，，
可得，
，
故选：C.
5. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个
A. 44B. 45C. 54D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求出结果.
【详解】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字，
十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字，
为使个位上的数字小于十位上的数字，
当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况；
当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字，
较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有.
故满足题意的两位数共有个.
故选：B
6. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角公式进行弦化切即可得到答案.
【详解】.
故选：B.
7. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算可得结论.
【详解】因为，所以.
故选：C.
8. 已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知直线与圆相切或相离，可知圆心到直线的距离不小于圆的半径，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，
所以直线与圆相切或相离，则，解得.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 偶函数
C. 图象关于点中心对称
D. 在区间上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】化简函数的解析式，可得出，再利用余弦函数的基本性质逐项判断即可.
【详解】根据题意，，
所以函数，
所以函数是周期为的偶函数，A错误，B正确．
函数的图象关于点中心对称，C正确，
函数在区间上不单调，D错误．
故选：BC．
10. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法确定正确答案.
【详解】依题意可知，四棱锥是正四棱锥，设，
连接，则平面，
由于平面，所以，
由于，所以两两相互垂直，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
四边形是正方形，，
，，
所以，
，
，
，A选项错误.
，B选项错误.
，C选项正确.
，所以D选项正确.
故选：CD
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若随机变量，则
B. 残差和越小，模型的拟合效果越好
C. 根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
D. 数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性求出概率判断A；利用回归模型的拟合效果判断B；利用独立性检验思想判断C；求出第70百分位数判断D作答.
【详解】对于A，随机变量，由知，
，A正确；
对于B，因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，而残差和小，残差平方和不一定小，B错误；
C，由可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，C正确；
对于D，对数据从小到大重新排序，即：，共8个数字，
由，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 函数图象的对称中心是_________．
【答案】
【解析】
【分析】应用分离常数法得，结合分式型函数的性质确定对称中心.
【详解】由题设，故函数图象的对称中心为.
故答案为：
13. 数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.
【详解】由数列是递增的，则，即，
整理可得，由一次函数的单调性且，则，
解得.
故答案为：.
14. 已知奇函数满足：当时，，则________．
【答案】4052
【解析】
【分析】化简的表达式即可求得答案.
【详解】显然，注意到时，
于是．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若的面积等于，求的周长的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；
（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
【小问2详解】
解：依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
16. 如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，.

（1）证明：；
（2）求平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由四边形为矩形，平面可得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，写出点的坐标，求出向量，的坐标，利用数量积求出，从而得到.
（2）求出平面PBC的一个法向量和平面PQC的一个法向量，利用数量积公式求出，代入数据计算即可得到平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值.
【小问1详解】
四边形为矩形，平面，
则AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
所以，所以.
【小问2详解】
设平面PBC的一个法向量，
由（1）知，.
则取，得，，
所以平面BPC的一个法向量.
设平面PQC的一个法向量，
由（1）知，，
则取，得，，
所以平面PQC的一个法向量，
所以，
所以平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值为.

17. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可；
（2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解.
【小问1详解】
由题意知，
解得，
则椭圆的方程为．
【小问2详解】
易知四边形为平行四边形，设，
联立直线与椭圆消去并整理得，
由韦达定理得
，
因为与平行，所以这两条直线的距离，
则平行四边形的面积．
18. 2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：
（1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望.
【答案】（1），
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可；
（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，列出分布列求出数学期望即可．
【小问1详解】
这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为
，
.
【小问2详解】
根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，
故X可能的取值为0，1，2，
，，
，
所以X的分布列为：
所以X的数学期望为.
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域是，
当时，，
令得，所以函数在上单递递增；
令得，所以函数在上单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．
【小问2详解】
恒成立，等价于恒成立，
令，
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，
所以恒成立，等价于恒成立
令，问题等价于恒成立
①若时，恒成立，满足题意；
②若时，则，所以，不满足题意；
③若时，因为，令，得，
，，单调递减，，，单调递增，
所以在处取得最小值，
要使得，恒成立，只需，
解得
综上：
【解法二】恒成立，等价于，
令
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则， ，所以在上单调递增，
由，
函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递增，值域为；
所以，使得，不满足题意．
③若时，令，∴，
令，则在上单调递增，
函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为；
则，；，，；，，
所以，，，
，，单调递减，，，单调递增，
只需即可，
∴，∴，
令，，∴在上单调递增，
，∴时，，，，
所以在上单调递增，∴，
即，
综上：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
X
0
1
2
P