山东省德州市庆云县2025-2026学年九年级二模数学试题（含解析）中考模拟

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1. 中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 如意纹B. 风车纹C. 柿蒂纹D. 冰裂纹
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
选项是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
2. 在下列四个数中，其中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A选项．是分数，属于有理数，
B选项．开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，
C选项．是有限小数，属于有理数，
D选项．，7是整数，属于有理数．
3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图，确定几何体，进行判断即可．
【详解】解：根据三视图，正面是一个长方形，左面也是长方形，上面是三角形，
该几何体为三棱柱
．
4. 如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，运用旋转的性质可得，即；最后根据点D的位置写出坐标即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵点D在第一象限，
∴．
5. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天．
【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件．
∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务，
∴．
故选：A．
6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（ ）
A. 7B. 14C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于， 由作图知，射线平分， 根据菱形的性质得到，根据角平分线的性质得到， 根据三角形面积的公式求解即可．
【详解】如图，过点作于，
由作图可知，射线平分，
四边形是菱形，
，
，
．
7. 如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长，使,连接，延长，交于，过点作，可知是等边三角形，根据两个角对应相等证明，进而根据相似三角形的性质可用来表示的长度，即可得到，可推导出，求出，即可表示出y关于x的函数．
【详解】解：延长，使,连接，延长，交于，过点作，
∵，，，
∴,,
∴是等边三角形，
,，
∵
∴
∴,
∴,
,
,
∵，
∴，
∵，
∴,,
,
∴，
∴，
∴，
，
，
则y关于x的函数为反比例函数，
∴只有B选项满足条件．
8. 如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可．
【详解】解：延长，交的延长线于点M，
∵是边的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是边上的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴．
9. 如图，以为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接，，点E在弦上，，过点B作的垂线交的延长线于点D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设半圆的圆心为，连接，过点作于点，先求出，在中，令则；在中，，;令，则，由得出，代入到中即可求解．
【详解】解：设半圆的圆心为，连接，过点作于点，
点C为半圆的中点，
，
，
，
，
为半圆的直径，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
设则,
,
令，则，
，
,
,
．
10. 对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论：
①一次函数是“2型闭函数”；
②若一次函数是“1型闭函数”，则；
③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则；
④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是．
其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可．
【详解】解：①对于一次函数
，随增大而增大
时，；时，，即，，
又，满足
①正确；
②对于一次函数，是“1型闭函数”，则
当时，随增大而增大，，得
当时，随增大而减小，，得
故或
②错误；
③对于反比例函数
，随增大而减小，
，
∴
函数是“k型闭函数”，
，约去得
，
③正确；
④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即
当时，函数在上，随着的增大而减小，
∴，
解得
当时，最大值在取得，最小值在取得，
∴，
∵，，
∴在上的值随着的增大而减小，
∴
∴；
当时，最大值在取得，最小值在取得，
∴，
∵，
∴在上，的值随着的增大而增大，
∴
∴；
当时，函数在上，随着的增大而增大，
∴，
解得
综上，，
④正确．
综上，正确结论为①③④．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
12. 如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心O的光线相交于点F（D，O，E共线）.若，，则的度数为______.
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质得，利用对顶角相等得，再根据三角形的外角性质求得．
【详解】解：如图，标记点H，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____．
【答案】2026
【解析】
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，即，
对所求代数式变形：，
是一元二次方程的两个实数根，
根据根与系数的关系可得，
代入得原式．
14. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，点A的横坐标为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，则k的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】先求出和的面积，再利用同底的三角形面积之比等于高之比可得点纵坐标，又知点坐标，则可求．
【详解】解：点在反比例函数上，横坐标为3，
，即的纵坐标为．
和有共同的底边，它们的高分别是点到轴的距离、点到轴的距离．
，，
同底三角形的面积比等于高的比：S△AOCS△DOC=yAOD=24=12，
∴OD=2yA=2k3，
，
∴12OD⋅xA=6 ，
∴12×2k3×3=6 ，
．
15. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求；②由“”可证，可得；③通过证明，可得，进而可得结论；④由外角的性质可求，由勾股定理可求，即可求．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点O作于K，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④错误，
综上，正确的结论是①②③．
三．大题（本大题共8小题，共90分）
16. 计算：
（1）计算：；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 【项目背景】
为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．
【数据收集与整理】
（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．
A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀．
（二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下．
一分钟限时跳绳比赛成绩统计表
【数据分析与应用】
（1）任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组；
（2）任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数；
（3）任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率．
【答案】（1）50；C
（2）（人）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数，进而根据中位数的定义求解即可；
（2）根据E组有5人，求得优秀率，再根据样本估计总体，即可求解；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：由题意知A组占，有5人，
所以掷实心球的女生的人数为：（人）．
C组有 人
所以E组有人，
将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组；
【小问2详解】
解：E组有5人，优秀率为
所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为 （人）
【小问3详解】
由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，画树状图如下：
共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种，
∴恰好抽到选手的概率为．
18. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
【方案设计】
要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户．
【数据收集】
如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．
【问题提出】
（1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长；
（2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）解即可；
（2）先解得到，再解得到，则，即可求解．
【小问1详解】
解：如图2，在中，，
，
，
的长为；
【小问2详解】
解：如图3，在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
∴遮阳篷的长为．
19. 为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元．
（1）租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？
（2）经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用．
【答案】（1）租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元
（2）租用大型客车15辆，小型客车10辆，才能使费用最少，最少为元
【解析】
【分析】（1）设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列出关于的不等式组，求出的值，表示出总费用求解即可；
【小问1详解】
由题意，设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元，
∴9x+6y=61508x+12y=7800，
，．
答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元；
【小问2详解】
由题意，大型客车辆，则小型客车辆，
∴a−25−a≥5a≤225−a，
，
又为整数，
或16，
又，且，
随增大而增大，
当时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：（辆），
最少费用：（元）．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）若为直线上一动点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
（2）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分两种情况：当在线段上时，当点在延长线时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：一次函数与反比例函数的图象交于点A1,6,Bn,−2，
∴m=1×6=−2n ，
∴m=6,n=−3 ，
反比例函数的表达式为y2=6x,B−3,−2，
把点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：①当在线段上时，如图1，过点作轴，过点作于点，过点作于点．
则，
设，
∵，
∴△PBM∽△ABN ，
∴PMAN=BPBA，
，
∴PMAN=BPBA=13，
∴13=2a+68，
解得：，
点的坐标为；
②当点在延长线时，如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点．
则，
设，
∵，
∴△ABG∽△APF ，
∴BEPF=ABAP，
，
∴BEPF=ABAP=12，
∴41−a=12，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或；
21. 如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点F．若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可得，然后根据直径所对的圆周角是直角和两直线平行内错角相等可推出，进而可证得结论；
（2）通过证明和，得到，然后设，，则，根据比例式代入解方程即可解答．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵为半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接交于点F．
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
22. 已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点．
（1）当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________；
（2）若．
①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值；
②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值．
【答案】（1）
（2）①1；1
【解析】
【分析】（1）将，，代入，把抛物线化为顶点式即可；
（2）①过M点作轴于点N，过P点作轴于点E，先证，进而得到，再代入抛物线求解；
②过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．由，可知当C，D，Q三点共线，且CQ⊥PG 时，取得最小值，即取得最小值，过点P作直线与直线成角，过点C作交x轴于F，解直角三角形得到F点坐标为3a,0，可求出直线的解析式为y=3x−3a ，再求出直线的解析式为y=3x−4a−3，然后根据进行求解．
【小问1详解】
解：∵，，，，
∴，
∴该抛物线顶点P的坐标为；
【小问2详解】
解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E．
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴
∴，
在和中，
∠OMN=∠POE∠MNO=∠OEPOM=OP，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴P点坐标为，
∵P为抛物线的顶点，
∴P点坐标为，
∴，
∴M点坐标为，
将，代入，得：
a−2a+c=−24a−4a+c=1，
解得：，
∴c的值为1；
②∵2DC+DP=2DC+12DP，
∴当取得最小值时，的值最小．
由①知，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∴C点坐标为，顶点P坐标为，
∵，
∴，
如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．
在中，，
∴，
∴当C，D，Q三点共线，且CQ⊥PG 时，取得最小值，即取得最小值，
在中，，
∴CH=2CQ=2×1+32=1+3，即，
过点C作交x轴于F，
∴，
在中，，即33=OF3a，
∴，即F点坐标为3a,0，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为y=3x−3a ，
∵，
∴设直线的解析式为，
把P1,−4a代入得：−4a=3+m ，
解得：m=−4a−3，
∴直线的解析式为y=3x−4a−3，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在中，．
（1）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数；
（2）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）理由见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）通过旋转性质可得，，则，，求出，所以；
（）过作交于点，则，再证明，所以，，通过勾股定理得，则；
（）根据题意得点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，则当三点共线时，有最大值，由折叠性质可得：，故有点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，所以当三点共线时，有最小值，设，过作于点，过作于点，则，求得AH=DH=12a ，，，所以，然后通过即可求解．
【小问1详解】
解：如图，
∵绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，，之间的数量关系为：，
证明：过作交于点，则，
∵，
∴，
由（）得，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，
∵，
∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，
∴当三点共线时，有最大值，
由折叠性质可得：，
∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，
∴当三点共线时，有最小值，
设，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
如图，过作于点，过作于点，则，
∴AH=DH=12a ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
成绩（个/分钟）
人数