江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
已知复数 z  2  i ，则 z  （ ）
5
A．1B．2C．
已知 AB  a  5b ， BC  2a  8b ， CD  3a  3b ，则（ ）
D．5
A 、 B 、 D 三点共线B． A 、 B 、C 三点共线
C． A 、C 、 D 三点共线D． B 、C 、 D 三点共线
sin20cs10  cs20sin10  （ ）
 3
2
3
2
C．  1． 1
D
22
已知向量a  1, 3 ， b  λ,1 ，若a  b 与a 垂直，则λ （ ）
A．13B．  1 3
C．11D．  1
2
6
已知V ABC 中， a  3 ， b ， B  45 ，则 A  （ ）
πB． πC． π或 5πD． π或 2π
636633
若csα csβ 1 ，cs α β   1 ，其中α，β 0, π ，则sinα sinβ＝（ ）
24
A． 5
2
B． 6
2
C． 5
4
D． 3
2
D 是Rt△ABC 斜边 BC 上一点，若 AB  AD, AC  3DC ，则sinABC 的值（ ）
A
． 1
2
B． 3
3
C． 2
2
D． 3
2
如图，在VABC 中，∠BAC  120∘ , AB  2, AC  1, D 是 BC 边上靠近 B 点的三等分点， E 是 BC 边上的动点，则 AE  CD 的取值范围为（ ）
A．  7 , 10 
B．  7 , 7 
C．  4 , 10 
D．  4 , 7 
73 
73 
 3 3 
 3 3 

二、多选题
下列等式成立的是（ ）
sin α β  sin α β  2 csαsin β
8sinαcsαcs 2αcs 4α sin 8α
csα
1 sinα
 tanα
2
1 cs 2α tan2 α
1 cs 2α
下列结论中正确的是（ ）
a
a c
c
若a 为非零向量，且 →  b  →  → ，则b  →
a, b
a
对向量非零向量 →，若a ∥ b ，则存在唯一实数λ使得 →  λb
在V ABC 中，若2OA  3OB  4OC  0 ，则△AOC 与V ABC 的面积之比为1: 3
已知 →  1, 2, b  1,1 ，且a 与 →  λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是  5 , 
aa 3

设V ABC 中角 A ， B ， C 所对的边长度分别为a ，b ， c ，满足sin2 A : sin2B : sin2C  4 : 5 : 6 ，则以下选项中正确的有（ ）
V ABC 为锐角三角形
若a 确定，则V ABC 的面积确定
cs2 A  3
4
2
sinA : sinB : sinC  2 7 : 5 : 3
三、填空题
→→→
若非零向量a ， b 的夹角为45∘ ，且 a  4 ， a  b  4 ，则b 在a 上的投影向量为．
化简3
2 tan 20
 2 cs 20 .
3
在等边三角形 ABC 的三边上各取一点 D ， E ， F ，满足 DE  3 ， DF  2， DEF  90 ，则三角形
ABC 的面积的最大值是．
四、解答题
已知复数 z  3m2 12  3m2  m 14i ，其中m  R ， i 为虚数单位.
若 z 为纯虚数，求m 的值；
若 z 在复平面内对应的点在第一象限，求m 的取值范围.
→→→→1 →
如图，在4  3 长方形网格中，向量a ， b 满足： a  1， b  2 ，向量c  ka  b ， d  2a  2 b .
→
在图中，以 A 为起点作向量d ，并求 d ；
若c 与d 共线，求实数k 的值；
若c 与d 垂直，求实数k 的值.
已知函数 f  x   3 tan x 1cs2 x  1 ，x  π ，π  ．
222 2

求函数 f  x 的值域；
3
π 
若 f  x ，求cs 2x  6  的值．
3
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形 ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将 BD 连接，
设△ABD 中边 BD 所对的角为 A ，△BCD 中边 BD 所对的角为C ，经测量知 AB  BC  CD  2 ， AD  2 3 ．
若 A  30 ，求C ；
霍尔顿发现无论 BD 多长， 3 cs A  cs C 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
12
霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD 与△BCD 的面积分别为S1 和 S2 ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S 2  S 2 的最大值．
已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x)  a sin x  b cs x ，称向量OM  (a, b) 为函数 f ( x) 的相伴特征向量，
同时称函数 f ( x) 为向量OM 的相伴函数.
设函数 g(x)  sin  x  5π  sin  3π x  ，试求 g ( x) 的相伴特征向量OM ；
6  2

记向量ON  (1, 3) 的相伴函数为 f ( x) ，求当 f (x)  8 且 x  π π ， sin x 的值；
 , 
53 6 
已知 A(2, 3) ， B(2, 6) ， OT  ( 3,1) 为h(x)  m sin  x π 的相伴特征向量，φ(x)  h  x π ，请问
6  23 

在 y  φ( x) 的图象上是否存在一点 P，使得 AP  BP .若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
22  (1)2
4  1
5
【详解】| z |
2．A
–––→–––→–––→→→→→→→–––→
【详解】对于 A 选项， BD  BC  CD  2a  8b  3a  3b  a  5b  AB ，故 A 、 B 、 D 三点共线，A 对；
AB
对于 B 选项，因为 AB  a  5b ， BC  2a  8b ，故–––→ 、 BC 不一定共线，B 错；
 
–––→–––→–––→→→→→→→
对于 C 选项，因为 AC  AB  BC  a  5b  2a  8b  a 13b ， CD  3a  3b ，
所以 AC 、CD 不一定共线，C 错；
对于 D 选项，因为 BC  2a  8b ， CD  3a  3b ，则 BC 、CD 不一定共线，D 错.故选：A.
3．D
【详解】sin20cs10  cs20sin10  sin(20  10)  sin 30  1 ，
2
故选：D
4．A
→→→
【详解】a  b  λ1, 4 ，若a  b 与a 垂直，则a  b a  0 ，即： 1λ1  3 4  0 ，解得：λ 13 .
5．D
【详解】在V ABC 中，由正弦定理，得
a
sin A
b，
sin B
所以sin A  a sin B 
b
3 2
2 
6
3 ，又 B (0,π) ，所以 A  π 或 A 
3
2
2π.
3
故选：D 6．A
【详解】∵α,β 0, π ，则令sinα sinβ t t  0 ①，
∵ csα csβ 1 ②，
2
由①2＋②2 得2  2 cs α β  t 2  1 ，
4
又csα β   1 ，∴ t 2  5 ．
44
∴ t 5 ．
2
故选：A.
7．D
【详解】在Rt△ABC 中，令ABC θ，由 AB  AD ，则ADB  ABD θ，
ADC  π  ADB  π θ， CAD  π  BAD  π  (π  2θ)  2θ π ，
222
在VACD 中， AC 
3DC ，由正弦定理， sin(π θ) 
3 sin(2θ π) ，
2
3
即sinθ  3 cs 2θ，整理得2 3 sin2θ sinθ 0 ，
即(2 sinθ 3)( 3 sinθ1)  0 ，因sinθ 0 ，则有sinθ3 ，即sinABC 的值是 3 .
22
故选：D
–––→–––→–––→
AB |2  AC |2  | BC |2
–––→ –––→
2 AB AC
8．C
【详解】由csBAC   1 2
–––→
，解得 BC  7 .
设CE  λCB, 0  λ 1，
则

–––→ –––→–––→–––→ –––→–––→–––→
AE  CD  AC  CE  CD  AC  λCB 
2 –––→
CB 
2 –––→ –––→
AC  CB 
2 –––→2
λCB
2 –––→ –––→ –––→

 AC  AB  AC 
14 λ
33333
 2 –––→ –––→2 –––→2
144 14 4 10 
AC  AB  AC
33
 3 λ  3  3 λ  , .
 3 3 
故选：C
ABD
【详解】对于 A，sin(α β)  sin(α β)  sinαcsβ csαsin β (sinαcsβ csαsin β)  2 csαsin β，A
正确；
对于 B， 8sinαcsαcs 2αcs 4α 4 sin 2αcs 2αcs 4α 2 sin 4αcs 4α sin 8α，B 正确；
对于 C，取α π ，则 csα  0, tanα 1 ，C 错误；
21 sinα2
1 cs 2α2 sin2α2
对于 D，
1 cs 2α
 tan α，D 正确.
2 cs2α
故选：ABD
BC
→→ →
→→→
→→→→
【详解】A.若 a  b  a  c ，则a  b  c   0 ，则a  b  c 或b  c ，故 A 错误；
此为共线定理，故 B 正确；
令OA1  2OA, OB1  3OB, OC1  4OC, 因2OA  3OB  4OC  0 ，
则OA1  OB1  OC1  0 ，则O 为△A1B1C1 的重心，故SV A1OC1  SV B1OC1  SV A1OB1 ，
1 OA OC sin AOC
因 SV AOC
SV A OC
 2  1 ，
18
1 12 OA1 OC1 sin AOC
同理可得S 1 S, S
 1 S，
△ AOB6 △ A1OB1△BOC12 △B1OC1
1
则 S△ AOC  8  1 ，故 C 正确；
S△ ABC
1  1  13
86 12
→  λb  1 λ, 2  λ ，当a 与 →  λb 共线时，有1 λ 2  2  λ，得λ 0 ，
aa
→→→→→5
3
因a 与a  λb 的夹角为锐角，则a  λb  a  1 λ  2 2  λ  3λ 5  0 且a 与a  λb 不共线，则λ  且
λ 0 ，故 D 错误；故选：BC.
ABD
【详解】对于 A，在V ABC 中，因为sin2 A : sin2B : sin2C  4 : 5 : 6 ，令sin2 A  4t, sin2B  5t, sin2C  6t ，
显然t  0 ，若t  0 ，则sin 2 A  0 ，
因为0  A  π ，所以0  2 A  2π ，则π  2 A  2π ，
所以π
2
 A  π ，同理， π
2
 B  π ， π
2
 C  π ，与 A  B  C  π 矛盾，
若t  0 ，此时sin2C  0 ，
因为0  C  π ，所以0  2C  2π ，则0  2C  π ，
所以0  C  π ，同理， 0  A  π ， 0  B  π ，
222
即 A ， B ， C 为锐角，故V ABC 为锐角三角形，A 正确；对于 B，因为sin2 A : sin2B : sin2C  4 : 5 : 6 ，
所以sin 2B  5 sin 2 A ，①， sin 2C  3 sin 2 A ②
42
①+②得sin 2B  sin 2C  11 sin 2 A ，
4
所以2 sin  B  C cs  B  C   11  2 sin A cs A ，
4
因为 B  C  π  A ，
所以sin A cs  B  C   11 sin A cs A ，
4
因为0  A  π ，所以sin A  0 ，
2
所以cs B  C   11 cs A ，③
4
①-②得sin 2B  sin 2C   1 sin 2 A ，
4
所以2cs(? + ?)sin(? ― ?) = ― 1 × 2sin?cs?，
4
所以cs?sin(? ― ?) = 1sin?cs?，
4
因为0  A  π ，所以cs A  0 ，
2
所以sin(? ― ?) = 1sin?，④
4
11
4
由③④可得
cs?
2
1
4
+
sin?
2
= 1，
解得sin A  14 ，同理sin? = 5 2,sin? = 3，
484
若a 确定，则V ABC 唯一确定，则它的面积确定，B 正确；
对于 C，由 B 可知， sin A 
14 ，
4
 14 23
所以cs 2 A  1 2 sin2 A  1 2    ，C 错误；
 4 4
对于 D，由 B 可知，sin? = 14,sin? = 5 2,sin? = 3，
484
所以sin A : sin B : sin C 
a
14 : 5 2 : 3  2 7 : 5 : 3 2 ，D 正确.
484
→→→ 2→ 2→ →→ 2→
2
【详解】因为 a  b  4 ，所以 a  b  2 a  b cs 45∘  16  b  4b  16 ，
2
→
解得： b  4
→ →→ →
，所以a  b  a  b cs 45∘  16 ，
a  b  →
16 →→
所以b 在a 上的投影向量为 → 2
a
a  16 a  a .
1 /0.5
2
3
【详解】
2 tan 20
3
 2 cs 20  2 sin 20
cs 20
 2 cs 20
3 cs 20  2 cs 20 
2 sin 20
3 cs 20  2 sin 40 
2 sin 20
3 cs 20  4 sin 20 cs 20 2 sin 20
3 cs 20  2 sin(60  20) 2 sin 20
3 cs 20  2( 3 cs 20  1 sin 20)
 22
2 sin 20
 sin 20 2 sin 20
 1 .
2
2
故答案为: 1 .
3
7
3
【详解】因为 DE  3 ， DF  2
DF 2  DE2
3
设BED θ，θ 0, 2π  ，
， DEF  90 ，所以 EF ，
3



则BDE  2π θ， CEF  π θ， CFE  2π   π θ  π θ，
323 26
BEDE

BE
3  2
3
3
在VBDE 中由正弦定理sin BDE  sin B ，即sin  2π θ，
 3
2
所以 BE  2 3 sin  2π θ ，
 3

CEEF
CE 2
3
3
在△CEF 中由正弦定理sin CFE  sin C ，即sin  π θ，
 6
2
所以CE  2 sin  π θ ，所以 BC  BE  CE  2 3 sin  2π θ  2 sin  π θ
 6 3 6

 2 3 sin 2π csθ cs 2π sinθ  
πθ
πθ
33
 2 sin 6 cscs 6 sin 

 2 3 sinθ 4 csθ 2 7 sin(θφ) （其中tanφ 2 3 ），
3
7
所以 BC 2
，则S
 1 BC 2 sin π 3 BC 2 3 (2 7 )2  7，
max
△ ABC
3
2344
即三角形 ABC 的面积的最大值是7 3 ．
3
故答案为： 7
15．（1）2；（2） , 2 ∪  7 ,  .
 3

【详解】（1）∵ z 为纯虚数，
3m2 12  0
∴ 
3m2
 m 14  0
，解得m  2
（2）由 z 在复平面内对应的点在第一象限，
3m2 12  07

∴ 3m2  m 14  0 ，解得m  2 或m  3
∴实数m 的取值范围为, 2 ∪  7 , 
 3
→
16．(1)作图见解析， d

5
；
k  4 ；
k  1
【详解】（1）如图所示：
→
d 

1 → 2
 2a  b 
→

2

4a  2a  b  b
→
2
→ →1 →2
4
4  1  22
4
5
→→1 →

；
因为c  ka  b ， d  2a  2 b ，且c 与d 共线，
k  1
所以 2 1
2
，解得k  4 ；
→→1 →
因为c  ka  b ， d  2a  2 b ，且c 与d 垂直，
→ →→→  →1 → 

所以c  d  ka  b  2a 
b  ，
2 
→2
1  → →
1 →2
22
，
2ka
  2 k  a  b  b

 2k  1  22  0 ，
2
解得k  1 .
17．(1)   1 ， 3 
 22 

(2)  2 2
3
【详解】（1） f  x  
3 tan x 1cs2 x  1 ＝
3 sin x  cs x
22  cs2 x  1
222

cs x22

2
xx2 x
1
1π 
3
6
＝ 3 sin cs  cs  ＝sin x cs x ＝sin  x   ，
222222
因为 x  π ，π  ，所以 x  π  2π 7π  ，所以
  π 
 13 
，

 2
63 ， 
sin  x
6   ， 
6 
 
22 
即函数 f  x 的值域为  1 ， 3  .
 22 

3
π x  π  2π 7π 
6
3
3
（2）由 f  x  sin  x 

 ，

，  ，
66 
1 
3 
2
 3 

π 6
6
得cs x    

 ，
3
π 
 π π 
π 
π π 
所以cs 2x  6   cs 2  x  6   2   sin 2  x  6   2 sin  x  6 cs  x  6 
 
2  3 6 2 2
＝3  
3    3 .

18．(1)答案见解析 (2)验证见解析，1 (3)14
【详解】（1）由 AB  2 ， AD  2 3 ． A  30 ，
2
在△ABD 中，由余弦定理得 BD2  AB2  AD2  2 AB  AD cs A  22  2 3 2  2  2  2 3  3  4 ,
所以 BD  2 .
又 BC  CD  2 ，所以△BCD 是等边三角形，所以C  60 ；
在△ABD 中，由余弦定理得
BD2  AB2  AD2  2 AB  AD cs A  16  8 3 cs A,
在△BCD 中，由余弦定理得 BD2  BC 2  CD2  2BC  CD cs C  8  8 cs C ，
∴16  8 3 cs A  8  8cs C
所以 3 cs A  cs C  1 为定值；
S1
 1 AB  AD sin A  2 3 sin A，S
22
 1 BC  DC sin C  2 sin C ，
2
12
则S 2  S 2  16  12 cs2 A  4 cs2 C  ，
由（2）知： 3 cs A  cs C 1，∴ 3 cs A  1  cs C
12
代入上式得： S 2  S 2  16 12 cs2 A  4  3 cs A 12  24 cs2 A  8 3 cs A 12. ，
3 
2
24 cs A
配方得： S 2  S 2  14 ，

126 
∵ C 0, π,1  cs C  1
又 3 cs A 1  cs C , 3 cs A  cs C 1  0
所以当cs A 
3 时， S 2  S 2 取到最大值 14．
12
6
19．（1）   3 , 3  ；（2） 4  3 3 ；（3）存在，点 P(0, 2) .
2 2 10

解：（1）Q g(x)  sin  x  5π  sin  3π x   sin x cs 5π cs x sin 5π cs x
6  266

 g(x)   3 sin x  3 cs x  g ( x) 的相伴特征向量––––→
 3 , 3  .
22OM    22 

向量ON  (1, 3) 的相伴函数为 f (x)  sin x  3 cs x ，
Q f (x)  sin x  3 cs x  2 sin  x  π  8 ，sin  x  π  4 .
3 53 5
Q x  π π

π  ππ3
 ,  ， x   0,  ，cs x    .
3 6 
32 
3 5
sin x  sin  x π π  1 sin  x π  3 cs  x π  4  3 3 .
3 3 2
3 2
3 10

由OT  ( 3,1) 为h(x)  m sin  x π 3 m sin x  1 m cs x 的相伴特征向量知：
6 22

m  2 .
 23
所以φ(x)  h  x π  2 sin  x π π  2 sin  x π  2 cs x .
    
23
6
22
2

1 Q A(2, 3), B(2, 6)
2
设 P  x, 2 cs x  ，，


–––→

1–––→1
，，
2
2
AP   x  2, 2 csx  3

BP   x  2, 2 csx  6 

又Q AP  BP ， AP  BP  0 (x  2)(x  2)   2 cs 1 x  3 2 cs 1 x  6   0 .
22

x2  4  4 cs2 1 x 18 cs 1 x 18  0 ，
22
19 225
 2 cs x    x2 (*)
22 4
Q2  2 cs 1 x  2 ， 13  2 cs 1 x  9   5 ，
22222
2519 2169
22
  2 cs x   .
44
又Q 25  x2  25 ，
44

19 22525
 当且仅当 x  0 时，  2 cs x   和 x2 同时等于，这时(*) 式成立.
22 44
 在 y  h(x) 图像上存在点 P(0, 2) ，使得 AP  BP .