2025届会理县高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2025届会理县高三下学期一模考试数学试题含解析，共42页。试卷主要包含了不等式组表示的平面区域为，则，明代数学家程大位，在展开式中的常数项为等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ）
A．B．
C．，两种情况都存在D．存在某一位置使得
3．已知是函数的极大值点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．40B．60C．80D．100
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A．B．C．D．
6．不等式组表示的平面区域为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）
A．B．C．D．
8．设a，b，c为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不修要条件
9．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．在展开式中的常数项为
A．1B．2C．3D．7
11．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A．B．C．D．
12．设复数满足，则（ ）
A．1B．-1C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．
14．已知，(，)，则＝_______．
15．若在上单调递减，则的取值范围是_______
16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．
18．（12分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
19．（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
20．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.
（1）求证：平面.
（2）判断与平面的位置关系，并证明.
21．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．
22．（10分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得
【详解】
解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，
．
为数列的前项和，则．
故选：．
本题考查等差数列性质与等差数列前项和.
(1)如果为等差数列，若，则 ．
(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.
2．A
【解析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．
【详解】
由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．
设，则有，，，
可得，．
，
，；
，；
，
，，
．
综上可得，．
故选：．
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
3．B
【解析】
方法一：令，则，，
当，时，，单调递减，
∴时，，，且，
∴，即在上单调递增，
时，，，且，
∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，∴时，，所以，
这与是函数的极大值点矛盾．
综上，．故选B．
方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．
4．D
【解析】
由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】
由题意，成绩X近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，求得，
所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，
故选:.
本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.
5．C
【解析】
由双曲线定义得，，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P一定在左支上.
由及，得，，
再结合M为的中点，得，
又因为OM是的中位线，又，且，
从而直线与双曲线的左支只有一个交点.
在中.——①
由，得. ——②
由①②，解得，即，则渐近线方程为.
故选：C.
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
6．D
【解析】
根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，
其中 ，，
设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍，
由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，
当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，
故AB错误；
设，则的几何意义为点与点连线的斜率，
由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；
故选：D.
本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.
7．C
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
，；，；，；
，；，此时不满足，跳出循环，
输出结果为，由题意，得．
故选:
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
8．B
【解析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：，，为正数，
当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，
若，则，即，
即，即，成立，即必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．
9．D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
10．D
【解析】
求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。
【详解】
展开项中的常数项及含的项分别为：
,，
所以展开式中的常数项为：.
故选：D
本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。
11．B
【解析】
考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈3 2 是
第二圈7 3 是
第三圈15 4 是
第四圈31 5 否
故最后当i＜5时退出，
故选B．
12．B
【解析】
利用复数的四则运算即可求解.
【详解】
由.
故选：B
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.
【详解】
向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称
关于对称
即：
本题正确结果：
本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.
14．
【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得，平方可得.
【详解】
∵，∴，
则，平方可得．
故答案为：.
本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15．
【解析】
由题意可得导数在恒成立，解出即可．
【详解】
解：由题意，，
当时，显然，符合题意；
当时，在恒成立，
∴，
∴，
故答案为：．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
16．
【解析】
由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.
【详解】
解：因为，为正三角形，
所以，
因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，
因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，
所以球的体积为
故答案为：
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）见解析
【解析】
（1）设，求出后由二次函数知识得最小值，从而得，即得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，设，利用三点共线，求得，
然后验证即可．
【详解】
解：（1）设，则，
所以，
因为．
所以当时，值最小，
所以，解得，（舍负）
所以，
所以椭圆的方程为，
（2）设直线的方程为，
联立，得．
设，则，
设，因为三点共线，又
所以，解得．
而所以直线轴，即．
本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，采取设而不求思想，设，设直线方程，应用韦达定理，得出，再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形．
18．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；
（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证．
【详解】
（1）∵，分别是，的中点
∴
∵平面，平面
∴平面.
（2）∵为正三角形，且D是的中点
∴
∵平面平面，且平面平面，平面
∴平面
∵平面
∴
∵且
∴
∵，平面，且
∴平面.
本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．
19．（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】
（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.
【详解】
（1）证明：∵椭圆经过点，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时椭圆的离心率.
（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.
当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由，得，
.
设，，则，.
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴到直线的距离.
综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.
本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
20．（1）见解析（2）平面.见解析
【解析】
（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；
（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
，为边的中点，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
在内，，为所在边的中点，
，
又，，
平面.
（2）判断可知，平面，
证明如下：
连接交于点，连接.
、、分别为边、、的中点，
.
又是的重心，
，
，
平面，平面，
平面.
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
21．（1）．（2）的方程为．
【解析】
（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．
（2）令，令直线，联立，
得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。
【详解】
解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，
设点，则，
整理得.
（2）令，易知直线不与轴重合，
令直线，与联立得，
所以有，
由，故，即，
从而，
解得，即。
所以直线的方程为。
本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。
22． (Ⅰ). (Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．
【详解】
(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福
(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为
；；
；
所以随机变量的分布列为：
所以的期望
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．