2025届贵阳市修文县高三下学期第一次联考数学试卷含解析

这是一份2025届贵阳市修文县高三下学期第一次联考数学试卷含解析，共42页。试卷主要包含了如果，那么下列不等式成立的是，已知是虚数单位，若，则，在等差数列中，若，则，已知，，则，向量，，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．执行如下的程序框图，则输出的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A．1B．C．D．
6．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
7．在等差数列中，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．10
8．已知，，则（ ）
A．B．C．3D．4
9．向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知集合，则全集则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
12．设函数，则，的大致图象大致是的( )
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．
14．在中，已知，，则A的值是______.
15．如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，，则的面积为______.
16．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线C:x24py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.
18．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.
20．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.
从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；
试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.
21．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：
y与x可用回归方程 （ 其中，为常数）进行模拟．
（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．
（Ⅱ）据统计，10月份的连续11天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图所示．
（i）若从箱数在内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在内的概率；
（ⅱ）求这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）
参考数据与公式：设，则
线性回归直线中，，．
22．（10分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.
【详解】
如图所示：
确定一个平面，
因为平面平面，
所以，同理，
所以四边形是平行四边形.
即正方体被平面截的截面.
因为，
所以，
即
所以
由余弦定理得：
所以
所以四边形
故选：B
本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
2．D
【解析】
使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】
解：，
又
解得，所以
故选：D
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
3．A
【解析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.
【详解】
满足，执行第一次循环，，；
成立，执行第二次循环，，；
成立，执行第三次循环，，；
成立，执行第四次循环，，；
成立，执行第五次循环，，；
成立，执行第六次循环，，；
成立，执行第七次循环，，；
成立，执行第八次循环，，；
不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
4．D
【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
5．C
【解析】
对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
对任意的总有恒成立
，对恒成立，
令，
可得
令，得
当，
当
，，
故
令，得
当时，
当，
当时，
故选：C.
本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.
6．A
【解析】
直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.
【详解】
解：将两边同时乘以，得
故选：A
考查复数的运算及其模的求法，是基础题.
7．C
【解析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
8．A
【解析】
根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
解得
则.
故选：A.
本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.
9．D
【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.
【详解】
故选：D
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
10．A
【解析】
根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.
【详解】
如下图所示，平面，从而平面，
易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∴结合四个选项可知，只有正确.
故选：A.
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
11．D
【解析】
化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.
【详解】
由，
则，故，
由知，，因此，
，，
，
故选:D
本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.
12．B
【解析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.
【详解】
对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，
因为,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；
对于选项D:因为,故选项D排除;
对于选项C:因为,故选项C排除;
故选:B
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】
解：复数为纯虚数,
解得．
故答案为：．
本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.
14．
【解析】
根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得.
【详解】
，，即，
，，则，
，，，则.
故答案为：
本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.
15．
【解析】
先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.
【详解】
依题意可得，由正弦定理得，即，由图可
知是钝角，所以，，在三角形ABD中，，
，在三角形ADC中，由正弦定理得即，
所以，，故，，，故的面积为
.
故答案为：.
本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.
16．
【解析】
由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．
【详解】
∵，∴，解得或，
时，满足题意，
时，，方向相反，不合题意，舍去．
∴．
故答案为：1．
本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）当G点横坐标为整数时，S不是整数．
【解析】
（1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；
（2）先求解弦长，再分别求解点到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.
【详解】
（1）设，则，
抛物线C的方程可化为，则，
所以曲线C在点A处的切线方程为，
在点B处的切线方程为，
因为两切线均过点G，所以，
所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，
又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为；
（2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为，
即，
将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，
所以，，解得，
因为直线AB的斜率，所以，
且，
线段AB的中点为M，
所以直线EM的方程为：，
所以E点坐标为(0，)，
直线AB的方程整理得，
则G到AB的距离，
则E到AB的距离，
所以，
设，因为p是质数，且为整数，所以或，
当时，，是无理数，不符题意，
当时，，
因为当时，，即是无理数，所以不符题意，
当时，是无理数，不符题意，
综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明后可得平面，从而得，结合已知得线面垂直；
（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为，为中点，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以，又，，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，则
，，，，，.
设平面的法向量，则
，即，令，则；
设平面的法向量，则
，即，令，则，
所以.
故锐二面角的余弦值为.
本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；
（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
（1），,又，，,
而、分别是、的中点，， 故面,
又且，故四边形是平行四边形,面,
又，是面内的两条相交直线, 故面面.
（2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则
，
，，,
设是平面PAB的法向量,，
令，则,,
直线NE与平面所成角的余弦值为.
本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.
20．；①详见解析；②应该批发一大箱.
【解析】
酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为，设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.
①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况，分别求出相应概率，列出分布列，求出的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况，分别求出相应概率，由此求出的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，，从而早餐应该批发一大箱.
【详解】
解：根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为.
设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.
所以.
①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为
所以（元）
若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为
所以（元）.
②根据①中的计算结果，，
所以早餐店应该批发一大箱.
本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.
21．（Ⅰ）1131；（Ⅱ）（i）；（ⅱ）125箱
【解析】
（Ⅰ）根据参考数据得到和，代入得到回归直线方程，，
再代入求成本，最后代入利润公式；
（Ⅱ）（ⅰ）首先分别计算水果箱数在和内的天数，再用编号列举基本事件的方法求概率；（ⅱ）根据频率分布直方图直接计算结果.
【详解】
（Ⅰ）根据题意，，
所以，所以．又，所以．
所以时，（千元），
即该新奇水果100箱的成本为8314元，故该新奇水果100箱的利润．
（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在内的天数为
设这两天分别为a，b，水果箱数在内的天数为，设这四天分别为A，B，C，D，
所以随机抽取2天的基本结果为，，，，，，，，，，
，，，，，共15种．满足恰有1天的水果箱数在内的结果为
，，，，，，，，共8种，
所以估计恰有1天的水果箱数在内的概率为 ．
（ⅱ）这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为（箱）．
本题考查考查回归直线方程，统计，概率，均值的综合问题，意在考查分析数据，应用数据，解决问题的能力，属于中档题型.
22．．
【解析】
试题分析：，所以．
试题解析：
B．因为，
所以．
x
1
3
4
1
2
y
5
1．5
2
2．5
8
0.54
1.8
1.53
0.45