安徽省鼎尖联考2026届高三最后一卷数学试卷含解析（word版）

这是一份安徽省鼎尖联考2026届高三最后一卷数学试卷含解析（word版），共7页。试卷主要包含了【答案】A，【答案】 B，【答案】 C，【答案】BCD等内容，欢迎下载使用。
填空题:每题 5 分, 共 15 分。
12. 12 13. 12 14. 1−1e,1−ln22
15. (13 分)
【答案】(1) 81125 (5 分) (2) 124125 (8 分)
【解析】(1)记面试结束的时候乙最终获得主播岗位为事件 A ，
乙获胜分为两种情况:
乙2:0 胜 (前两场乙连胜):概率为 352 ，
乙2:1 胜(前两场一胜一负，第三场乙胜):概率为 C21×25×35×35 ， (3 分)
∴PA=352+2×25×35×35=925+36125=81125 ; (5 分)
(2)依题意， X 的所有可能取值为 0,1,2, (6 分)
PX=0=1−252=925,
PX=1=25×35×35+35×25×35=36125,
PX=2=1−PX=0−PX=1=44125; (10 分)
∴X 的分布列为
(11 分)
则 EX=1×36125+2×44125=124125 . (13 分)
16.(15 分)
【答案】 1an=−2n+20 (4 分) (2)63(4 分)
(3) Tn=n22−32,n为奇数,n22−3n,n为偶数. (7 分)
【解析】(1)依题意, a2+a5=2a1+5d=26.S13=13a1+78d=78, (1 分)
解得 a1=18,d=−2, (3 分)
故 an=−2n+20 ; (4 分)
(2) bn=2−2n+22−22n−22+3 ,
i=121bi=220−2−20+3+218−2−18+3+⋯+2−18−218+3+2−20−220+3 (6 分)
=220+218+⋯+2−18+2−20−220+218+⋯+2−18+2−20+63=63 ; (8 分)
(3)依题意， cn=4n−5,n为奇数,−2n+1,n为偶数 (9 分)
当 n 为偶数时, cn−1+cn=4n−9−2n+1=2n−8 ,
此时 Tn=−4−0+4+⋯+2n−8=n2−6n2=n22−3n ; (12 分)
当 n 为奇数时, Tn=Tn+1−cn+1=n+12−6n+12+2n+1−1=n2−32=n22−32 ;
故 Tn=n22−32,n为奇数,n22−3n,n为偶数. (15 分)
17. (15 分)
【答案】( 1 ) fx 的单调递增区间为 0,+∞ ,递减区间为 −∞,0 (7 分)
(2) 43,+∞ (8 分)
【解析】(1)由题意得， f′x=2e2x−1+22x−1e2x−1−6mx2=2x2e2x−1−3mx ， (1 分)
故 f′12=2−32m=0 ,解得 m=43 , (2 分)
则 f′x=4xe2x−1−8x2=4xe2x−1−2x ,
令 ℎx=e2x−1−2x ,则 ℎ′x=2e2x−1−2 ,
令 ℎ′x=0 ,解得 x=12 , (4 分)
故当 x∈−∞,12 时, ℎ′x0 ,即 ℎx 在 12,+∞ 上单增;
故 ℎx≥ℎ12=0 恒成立, (6 分)
故当 x∈−∞,0 时, f′x0,fx 单调递增;
所以 fx 的单调递增区间为 0,+∞ ,递减区间为 −∞,0 ; (7 分)
(2)由(1)知， f′x=2x2e2x−1−3mxx>0 ，
fx 在 0,+∞ 上不单调 ⇔ 方程 2x2e2x−1−3mx=0 在 0,+∞ 上有变号解,
即 m=2e2x−13xx>0 在 0,+∞ 上有解,且解的两侧函数值符号相反. (8 分)
令 gx=2e2x−13x,x∈0,+∞ ,则 g′x=23⋅2x−1e2x−1x2 ,
令 g′x=0 ,解得 x=12 ,
故当 x∈0,12 时, g′x0,gx 单调递增, (12 分)
所以 gxmin=g12=43 , (13 分)
m=43 时, 2e2x−1−3mx=2e2x−1−2x≥0,f′x≥0,fx 在 0,+∞ 上单调递增,不符合题意,舍去. 当 x→0+ 时, gx→+∞ ,当 x→+∞,gx→+∞ , (14 分)
故实数 m 的取值范围为 43,+∞ . (15 分)
18. (17 分)
【答案】(1) 1+3+22 (4 分) (2)(i) 33 (7 分) (ii) 21111 (6 分)
【解析】( 1 )Rt △ABD 中，因为 AB=6,AD=2 ，
故 ∠ABD=30∘ ，故 BD=AB2+AD2=22 ，
所以 BC=CD=2 ; (1 分)
而 ∠CBD=45∘,cs∠ABC=cs∠ABD+∠CBD=6−24 , (2 分)
由余弦定理, AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC=4+23=3+12 ,
所以 AC=3+1 .
故 AC+BD=1+3+22 ; (4 分)
(2)(i)法一:以 BD 的中点 O 为坐标原点， OB ， OC 方向为 x ， y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ,
则 B2,0,0,C0,2,0,D−2,0,0 , (5 分)
设 A′x,y,z ,由 (1) 可知, A′B=6,A′C=6,A′D=2 ,

故 x−22+y2+z2=6,x2+y−22+z2=6,解得x=−22,y=−22,z=1,x+22+y2+z2=2,
则 A′−22,−22,1 ,
则 A′D=−22,22,−1 ,而 BD=−22,0,0 ,
设 n1=x,y,z 为平面 A′BD 的法向量,
则 n1⋅BD=−22x=0,n1⋅A′D=−22x+22y−z=0,
令 y=2 ,则 n1=0,2,1 ; (9 分)
取平面 BCD 的一个法向量 n2=0,0,1 ,设平面 A′BD 与平面 BCD 所成角为 θ ,
则 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=33 ; (11 分)

法二: 如图,作 A′F⊥BD,CE⊥BD ,
易知: A′F=62,EF=22,CE=2 .
从而: A′C=A′F+FE+EC ,两边平方: 6=32+12+1+A′F⋅EC , 解得: csA′F,EC=33 .
(ii)因为四个平面相互平行且相邻间距均为 d ，所以直线 A′B 被这四个平面截得的三段线段长度相等.
即平面 α2 (过 D ) 必过 A′B 靠近 A′ 的三等分点 P ，平面 α3 (过 C ) 必过 A′B 靠近 B 的三等分点 Q .
同时,因为平面 α2 过点 D ,平面 α4 过点 B ,且 α2,α3,α4 平行等距,
由平行线分线段成比例可知,中间的平面 α3 必过线段 BD 的中点 O (即坐标原点). (12 分)
由 (i) 可知, A′−22,−22,1,B2,0,0,C0,2,0 ,
OQ=OB+BQ=2,0,0+13−322,−22,1=22,−26,13, (13 分)
平面 α3 经过点 O,C,Q ,设平面 α3 的法向量为 m=a,b,c ,则 m⋅OC=0,m⋅OQ=0,
故 2b=0,22a−26b+13c=0, 取 m=2,0,−3 , (15 分)
因为平面 α4 过点 B 且平行于 α3 ,
所以相邻平面间的距离 d 等于点 B 到平面 α3 的距离.
d=OB⋅mm=21111,
(注: 同理可验证平面 α2 过 D 和 P ,且与 α3 平行,距离也为 d ,故四个平面满足题意.)
故相邻两个平面间的距离为 21111 . (17 分)
19. (17 分)
【答案】 1x26+y23=1 (4 分)
(2) i25分 (ii) 存在定点 R1,−1 ,使得 RQ 为定值 5 (8 分)
【解析】(1) tan75∘=tan45∘+30∘=1+331−33=3+13−1=2+3 ,
则 12−c=2+3 ,解得 c=3 ,即 a2−b2=3 ;
而 4a2+1b2=1 ,联立两式,解得 a2=6,b2=3 ,
故椭圆 C 的方程为 x26+y23=1 ; (4 分)
(2)(i)依题意，直线 l1:y−1=2x−2 ，即 y=2x−3 ； (5 分)
联立 y=2x−3,x26+y23=1,
得 3x2−8x+4=0 ,解得 x=2 (对应点 P ) 或 x=23 ; (7 分)
将 x=23 代入直线方程得 y=−53 ,故 A23,−53 ,
故 △OPA 的面积 S=12×32×1+53=2 ; (9 分)
(ii) 依题意,直线 AB 存在斜率,设直线 AB 方程是 y=kx+b ,
联立 x26+y23=1 ,消去 y 得, 1+2k2x2+4kbx+2b2−6=0 , (10 分)
Δ=16k2b2−42b2−61+2k2>0,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−61+2k2 , (11 分)
直线 PA:y−1=y1−1x1−2x−2 ,令 x=0 ,得 yM=2−2y1x1−2+1 ,
同理 yN=2−2y2x2−2+1 , (12 分)
依题意知 yM+yN=0 ,即 2−2y1x1−2+2−2y2x2−2+2=0 ,
1−y1x2−2+1−y2x1−2+x1−2x2−2=0,
1−kx1−bx2−2+1−kx2−bx1−2+x1−2x2−2=0,
1−2kx1x2+2k−b−1x1+x2+4b=0, (13 分)
1−2k2b2−6+2k−b−1−4kb+4b1+2k2=0,
整理得 b2+2kb+6k+2b−3=0 ,即 b+32k+b−1=0 , (14 分)
若 2k+b−1=0 ,则直线 AB 过点 P2,1 ,不合题意,舍去; (15 分)
若 b+3=0 ,则直线 AB 过点 0,−3 ,
令 D0,−3 ,则点 Q 在以 PD 为直径的圆上, (16 分)
所以当 R 为 PD 的中点,即以 PD 为直径的圆的圆心时, RQ 等于圆的半径,
故存在定点 R1,−1 ，使得 RQ 为定值、 5 . (17 分)
【注】: 以上各解答题,如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分。
【详解】
1.【答案】A
【解析】设圆锥 SO 的底面半径为 r ,则 V=13πr2⋅ℎ=13πr2=3π ,解得 r=3 ,故所求母线长为 32+12 =10 ,故选 A.
2.【答案】 C
【解析】依题意, tanα=−73 ,故 tan2α=2tanα1−tan2α=−1431−499=2120 ,故选 C.
3.【答案】 B
【解析】依题意, A=x∣5lg2x>1=x∣lg2x>0=lg21={x∣x>1} ,
B={x∣2x+1x−2ft ,即 t>x ,与假设矛盾;
假设 t>x ,因为 y=fx 单调递增,所以 fx>ft ,即 x>t ,与假设矛盾;
故 t=x ,则 fx=x 在 2,4 上有解,即 1−a=lnxx 在 2,4 上有解,
令 gx=lnxx ,则 g′x=1−lnxx2=0 ,则 x=e ,则 gx 在 2,e 上单调递增,在 (e,4] 上单调递减,
ge=1e,g2=ln22,g4=ln44=ln22 ,所以 ln22≤1−a≤1e ,解得 1−1e≤a≤1−ln22 .1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
B
C
D
C
A
D
BD
BCD
BCD
X
0
1
2
PX
925
36125
44125
抽奖顺序
A
B
第一次
2
4
4
10
10
14
14
第二次
5
10
14
4
14
4
10
第三次
7
14
10
14
4
10
4
甲总奖励
0
40
20
40
40
20