青州市2025年高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份青州市2025年高三下学期联合考试数学试题含解析，共58页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知.给出下列判断，复数的虚部是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）
A．B．C．D．
2．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）
A．400米B．480米
C．520米D．600米
5．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ）
A．4B．8C．9D．27
7．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知.给出下列判断：
①若，且，则；
②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．复数的虚部是 ( )
A．B．C．D．
10．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
12．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，，若，则数列的前n项和______．
14．函数的定义域为______.
15．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____
16．已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.
18．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II）设，若，，成等比数列，求的值．
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．
（1）求线段长的最小值；
（2）求点的轨迹方程．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线 的方程．
21．（12分）已知函数．
当时，求不等式的解集；
，，求a的取值范围．
22．（10分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
将四面体沿着劈开，展开后如下图所示：
最短路径就是的边．
易求得，
由，知
，
由余弦定理知
其中，
∴
故选：C
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
2．D
【解析】
画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．
【详解】
画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，
设，结合图形可得或，
由题意得点A,B的坐标分别为，
∴，
∴或，
∴的取值范围为．
故选D．
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．
3．A
【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】
由成等比数列得，即，已知，解得.
故选：.
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
4．B
【解析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：
由题意可得，解得；
且满足，
故解得塔高米，即塔高约为480米.
故选：B
本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
5．B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
6．D
【解析】
设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.
【详解】
设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，
作正四面体的高为，
则，
，
，
设内切球的半径为，内切球的球心为，
则，
解得：；
设外接球的半径为，外接球的球心为，
则或，，
在中，由勾股定理得：
，
，解得，
，

故选：D
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.
7．B
【解析】
考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.
【详解】
因为的图象上关于原点对称的点有2对，
所以时，有两个不同的实数解.
令，则在有两个不同的零点.
又，
当时，，故在上为增函数，
在上至多一个零点，舍.
当时，
若，则，在上为增函数；
若，则，在上为减函数；
故，
因为有两个不同的零点，所以，解得.
又当时，且，故在上存在一个零点.
又，其中.
令，则，
当时，，故为减函数，
所以即.
因为，所以在上也存在一个零点.
综上，当时，有两个不同的零点.
故选：B.
本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.
8．B
【解析】
对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】
因为，所以周期.
对于①，因为，所以，即，故①错误；
对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；
对于③，令，可得，则，
因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，
所以，即，解得，故③正确；
对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.
故选：B.
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.
9．C
【解析】
因为 ，所以的虚部是 ，故选C.
10．C
【解析】
试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C．
考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．
11．B
【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．
【详解】
因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，
所以向量，共线且方向相反，
所以，即充分性成立；
反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立．
所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件．
故选B．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．
12．D
【解析】
根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
,求得的通项，进而求得,得通项公式，利用等比数列求和即可.
【详解】
由题为等差数列，∴,∴,∴,∴,故答案为
本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.
14．
【解析】
对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.
【详解】
对函数有意义，
即.
故答案为：
本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.
15．
【解析】
根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
解得.
故答案为：
本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
16．1
【解析】
试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以，
所以．故答案为1．
【考点】等差数列的基本性质
【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
【解析】
将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.
【详解】
因为直线的极坐标方程为，
所以直线的普通方程为，
又因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的直角坐标方程为，
联立方程,解得或，
因为，所以舍去，
故点的直角坐标为.
本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
18．（I），；（II）.
【解析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得 即
可得
即
解得
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
19．（1）（2）
【解析】
（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.
（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.
【详解】
解曲线的方程化成直角坐标方程为
即
圆心，半径，曲线为过定点的直线，
易知在圆内，
当时，
线段长最小为
当点与点不重合时，
设
，
化简得
当点与点重合时，也满足上式，
故点的轨迹方程为
本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.
20． (1)见解析(2)
【解析】
（1）将消去参数t可得直线的普通方程，利用x=ρcsθ， 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案．
【详解】
（1）由消去参数t得（），
由得曲线C的直角坐标方程为：
（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，
圆心到直线的距离为，
∴，即，整理得
，∵，∴，，，
所以直线l的方程为：．
本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．
21．（1）； （2）.
【解析】
（1）当时，，
①当时，，
令，即，解得，
②当时，，显然成立，所以，
③当时，，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
因为，有成立，
所以只需，
解得，
所以a的取值范围为．
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
22． (Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
【详解】
(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故.
本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.