2025届河北省廊坊市永清县高三第四次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2025届河北省廊坊市永清县高三第四次模拟考试数学试卷含解析，共58页。试卷主要包含了执行程序框图，则输出的数值为，已知函数，集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②点是函数的一个对称中心；
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．已知，若则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A．B．C．D．
5．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A．B．C．D．
6．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．360种
7．已知函数，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．3C．D．4
9．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
10．己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.
A．B．9C．5D．
12．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
14．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________．
15．（5分）已知函数，则不等式的解集为____________．
16．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）有最大值，且最大值大于.
（1）求的取值范围；
（2）当时，有两个零点，证明：.
(参考数据：)
18．（12分）已知，，求证：
（1）；
（2）.
19．（12分）已知数列和满足，，，，.
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求正整数的值.
20．（12分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望
21．（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有.
22．（10分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．
（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T，再代入最低点可求得解析式为，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为为对称中心，且最低点为，
所以A=3，且
由
所以，将带入得
，
所以
由此可得①错误，②正确，③当时，，所以与 有6个交点，设各个交点坐标依次为 ，则，所以③正确
所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．
2．C
【解析】
根据，得到有解，则，得，，得到，再根据，有，即，可化为，根据，则的解集包含求解，
【详解】
因为，
所以有解，
即有解，
所以，得，，
所以，
又因为，
所以，
即，
可化为，
因为，
所以的解集包含，
所以或，
解得，
故选：C
本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
3．B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
4．B
【解析】
如图，已知，，
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
5．C
【解析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.
【详解】
，，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，不满足条件，
输出.
故选：C
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
6．B
【解析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.
选.
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
7．C
【解析】
分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.
【详解】
,，
∴．
故选C．
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.
8．B
【解析】
由正弦定理及条件可得，
即.
，
∴，
由余弦定理得。
∴.选B。
9．D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
10．A
【解析】
根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.
【详解】
依题意如图所示：
取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，
取是的外心，作平面平面，
则是四棱锥的外接球球心，且，
设四棱锥的外接球半径为，则，而，
所以，
故选：A.
本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.
11．A
【解析】
根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.
【详解】
定点为,
，
当且仅当时等号成立，
即时取得最小值.
故选：A
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
12．B
【解析】
先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.
【详解】
解：当 时，，则;当时，
则.设 为函数图像上的两点，
当 或时，，不符合题意，故.
则在 处的切线方程为；
在 处的切线方程为.由两切线重合可知
，整理得.不妨设
则 ，由 可得
则当时， 的最大值为.
则在 上单调递减，则.
故选:B.
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可．
【详解】
解：因为是偶函数，所以时恒有，即，
所以，
所以，解得，，；
所以；
由，即，解得；
故，．
由，即，解得．
故，．
因为，所以，即，解得，
故答案为：．
本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．
14．5
【解析】
由，，且，得，解得，则，则．
15．
【解析】
易知函数的定义域为，且，则是上的偶函数．由于在上单调递增，而在上也单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，又在上单调递增，故知在上单调递增．令，知，则不等式可化为，即，可得，又，是偶函数，可得，由在上单调递增，可得，则，解得，故不等式的解集为．
16．-2
【解析】
试题分析：，
考点：等比数列性质及求和公式
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；
（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.
【详解】
（1）函数的定义域为，且.
当时，对任意的，，
此时函数在上为增函数，函数为最大值；
当时，令，得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，
即，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）当时，，定义域为，
，当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
由于函数有两个零点、且，，
，
构造函数，其中，
，
令，，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，则，则.
所以，函数在区间上单调递减，
，，
即，即，
，且，而函数在上为减函数，
所以，，因此，.
本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.
18．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）结合基本不等式可证明；
（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．
【详解】
（1）∵，
∴
，当且仅当a=b=c等号成立，
∴；
（2）由基本不等式，
∴，同理，，
∴，当且仅当a=b=c等号成立
∴．
本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．
19．（Ⅰ）,；（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可.
（Ⅱ）由题可知要求的最小值,再分析的正负即可得随的增大而增大再判定可知即可.
【详解】
（Ⅰ）因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故.
又当时, ,解得.
当时, …①
…②
①-②有,即.当时也满足.故为常数列,
所以.即.
故,
（Ⅱ）因为对,恒成立.故只需求的最小值即可.
设,则,
又,
又当时,时.
当时,因为
.
故.
综上可知.故随着的增大而增大,故,故
本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据题意求解的通项,并根据二项式定理分析其正负,从而得到最小项.属于难题.
20．（Ⅰ）； （Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.
【详解】
（Ⅰ）
（Ⅱ）可能取值为,
,
,
,
,
的分布列为
.
本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据公式得到，计算得到答案.
（2），根据裂项求和法计算得到，得到证明.
【详解】
（1）由已知得时，，故.
故数列为等比数列，且公比.
又当时，，..
（2）.
.
本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
22．（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）
【解析】
（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；
（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.
【详解】
（1）设，则
由知：
点在圆上
点的轨迹的方程为：
轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆
（2）设，由题意知的斜率存在
设，代入得：
则，解得：
设，，则
四边形为平行四边形
又 ∴，消去得：

顶点的轨迹方程为
本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.
0
1
2
3